Mikä on luonnollinen logaritmi 1 2. Mikä on logaritmi
ottaa usein numeron e = 2,718281828 . Logaritmeja tässä kannassa kutsutaan luonnollinen. Kun suoritetaan laskutoimituksia luonnollisilla logaritmeilla, on tavallista operoida etumerkillä ln, mutta ei Hirsi; samalla kun numero 2,718281828 , jotka määrittelevät perustan, eivät osoita.
Toisin sanoen sanamuoto näyttää tältä: luonnollinen logaritmi numeroita X on eksponentti, johon luku nostetaan e, Saada haltuunsa x.
Niin, ln(7,389...)= 2 koska e 2 =7,389... . Itse luvun luonnollinen logaritmi e= 1 koska e 1 =e, ja yksikön luonnollinen logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, koska e 0 = 1.
Itse numero e määrittää monotonirajoitetun sekvenssin rajan
laskenut sen e = 2,7182818284... .
Melko usein, jotta numero voidaan kiinnittää muistiin, vaaditun numeron numerot liitetään johonkin jäljellä olevaan päivämäärään. Numeron yhdeksän ensimmäisen numeron muistamisen nopeus e desimaalipilkun jälkeen kasvaa, jos huomaat, että 1828 on Leo Tolstoin syntymävuosi!
Tähän mennessä luonnollisista logaritmeista on olemassa melko täydellisiä taulukoita.
luonnollinen log-graafi(toiminnot y=ln x) on seurausta eksponentin kaaviosta peilikuvana suhteessa suoraan y = x ja näyttää tältä:
Luonnollinen logaritmi löytyy jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle a käyrän alla olevana alueena y = 1/x alkaen 1 ennen a.
Tämän muotoilun alkeisluonne, joka sopii yhteen monien muiden luonnollista logaritmia sisältävien kaavojen kanssa, oli syy nimen "luonnollinen" muodostumiseen.
Jos analysoimme luonnollinen logaritmi, reaalimuuttujan todellisena funktiona, niin se toimii käänteinen funktio eksponentiaaliseksi funktioksi, joka pelkistää identiteeteiksi:
ln(a)=a (a>0)
ln(e a)=a
Analogisesti kaikkien logaritmien kanssa luonnollinen logaritmi muuntaa kertolaskun yhteenlaskuksi, jakamisen vähennykseksi:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritmi löytyy jokaiselle positiiviselle kannalle, joka ei ole yhtä suuri kuin yksi, ei vain e, mutta muiden kantojen logaritmit eroavat luonnollisesta logaritmista vain vakiokertoimella, ja ne määritellään yleensä luonnollisella logaritmilla.
Analysoituaan luonnollinen log-graafi, saamme, että se on olemassa muuttujan positiivisille arvoille x. Se kasvaa monotonisesti määrittelyalueellaan.
klo x → 0 luonnollisen logaritmin raja on miinus ääretön ( -∞ ).At x → +∞ luonnollisen logaritmin raja on plus ääretön ( + ∞ ). Vapaana x logaritmi kasvaa melko hitaasti. Mikä tahansa tehotoiminto x a positiivisella eksponentilla a kasvaa nopeammin kuin logaritmi. Luonnollinen logaritmi on monotonisesti kasvava funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja.
Käyttö luonnolliset logaritmit erittäin rationaalista korkeamman matematiikan kulkua. Siten logaritmin käyttö on kätevää etsimään vastaus yhtälöihin, joissa tuntemattomat esiintyvät eksponenteina. Luonnollisten logaritmien käyttö laskelmissa mahdollistaa suuren määrän matemaattisia kaavoja helpottaa huomattavasti. peruslogaritmit e ovat läsnä useiden fysikaalisten ongelmien ratkaisemisessa ja sisältyvät luonnollisesti yksittäisten kemiallisten, biologisten ja muiden prosessien matemaattiseen kuvaukseen. Siten logaritmeja käytetään laskemaan vaimenemisvakio tunnetulle puoliintumisajalle tai laskemaan vaimenemisaika radioaktiivisuusongelmia ratkaistaessa. Heillä on johtava rooli monilla matematiikan ja käytännön tieteiden osilla, niitä käytetään rahoituksen alalla ratkaisemaan useita ongelmia, mukaan lukien korkokorkojen laskeminen.
Ennen kuin tutustut luonnollisen logaritmin käsitteeseen, harkitse vakioluvun $e$ käsitettä.
Numero $e$
Määritelmä 1
Numero $e$ on matemaattinen vakio, joka on transsendentaalinen luku ja on yhtä suuri kuin $e \noin 2,718281828459045\ldots$.
Määritelmä 2
transsendentti on luku, joka ei ole kokonaislukukertoimien polynomin juuri.
Huomautus 1
Viimeinen kaava kuvaa toinen ihana raja.
Myös numeroa e kutsutaan Eulerin numerot, ja joskus Napier numerot.
Huomautus 2
Numeron $e$ ensimmäisten merkkien muistamiseksi käytetään usein seuraavaa lauseketta: "$2$, $7$, kahdesti Leo Tolstoi". Tietenkin, jotta voit käyttää sitä, sinun on muistettava, että Leo Tolstoi syntyi $1828$. Juuri nämä luvut toistuvat kahdesti luvun $e$ arvossa kokonaisluvun $2$ ja desimaaliluvun jälkeen. $7 $.
Luonnollista logaritmia tutkiessamme aloimme pohtimaan luvun $e$ käsitettä juuri siksi, että se on logaritmin $\log_(e)a$, jota yleisesti kutsutaan luonnollinen ja kirjoita muodossa $\lna$.
luonnollinen logaritmi
Usein laskelmissa käytetään logaritmeja, jotka perustuvat numeroon $e$.
Määritelmä 4
Kutsutaan logaritmi, jonka kanta on $e$ luonnollinen.
Nuo. luonnollinen logaritmi voidaan merkitä muodossa $\log_(e)a$, mutta matematiikassa on yleistä käyttää merkintää $\ln a$.
Luonnollisen logaritmin ominaisuudet
Koska minkä tahansa kannan logaritmi yksiköstä on yhtä suuri kuin $0$, sitten yksikön luonnollinen logaritmi on yhtä suuri kuin $0$:
Luvun $e$ luonnollinen logaritmi on yhtä suuri kuin yksi:
Kahden luvun tulon luonnollinen logaritmi on yhtä suuri kuin näiden lukujen luonnollisten logaritmien summa:
$\ln(ab)=\lna+\lnb$.
Kahden luvun osamäärän luonnollinen logaritmi on yhtä suuri kuin näiden lukujen luonnollisten logaritmien erotus:
$\ln\frac(a)(b)=\lna-\ln b$.
Luvun potenssin luonnollinen logaritmi voidaan esittää eksponentin ja sublogaritmisen luvun luonnollisen logaritmin tulona:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Esimerkki 1
Yksinkertaista lauseke $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$.
Ratkaisu.
Käytä osoittajan ja nimittäjän ensimmäiseen logaritmiin tuotteen logaritmin ominaisuus ja osoittajan ja nimittäjän toiseen logaritmiin - asteen logaritmin ominaisuus:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln5+\lne-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
avaa sulut ja anna vastaavat termit ja käytä myös ominaisuutta $\ln e=1$:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln5+1-\ln5)=2$.
Vastaus: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Esimerkki 2
Etsi lausekkeen $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ arvo.
Ratkaisu.
Käytämme logaritmien summan kaavaa:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Vastaus: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Esimerkki 3
Laske logaritmisen lausekkeen arvo $2 \lg 0.1+3 \ln e^5$.
Ratkaisu.
Käytä tutkinnon logaritmin ominaisuutta:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15 = 13 dollaria.
Vastaus: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Esimerkki 4
Yksinkertaista logaritminen lauseke $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
soveltaa ensimmäiseen logaritmiin osamääräisen logaritmin ominaisuus:
$=6(\ln3-\lne)-6 \ln 3=$
avaa sulut ja anna vastaavat termit:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3 = -6 $.
Vastaus: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6 $.
Numeron e perusteella: ln x = log e x.
Luonnollista logaritmia käytetään laajalti matematiikassa, koska sen derivaatalla on yksinkertaisin muoto: (ln x)′ = 1/x.
Perustuu määritelmät, luonnollisen logaritmin kanta on luku e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Funktion y = kuvaaja ln x.
Luonnollisen logaritmin kuvaaja (funktiot y = ln x) saadaan eksponentin kuvaajasta peiliheijastuksella suoran y = x ympäriltä.
Luonnollinen logaritmi määritellään x:n positiivisille arvoille. Se kasvaa monotonisesti määrittelyalueellaan.
Kuten x → 0 luonnollisen logaritmin raja on miinus ääretön ( - ∞ ).
Kuten x → + ∞, luonnollisen logaritmin raja on plus ääretön ( + ∞ ). Suurella x:llä logaritmi kasvaa melko hitaasti. Mikä tahansa potenssifunktio x a, jolla on positiivinen eksponentti a, kasvaa nopeammin kuin logaritmi.
Luonnollisen logaritmin ominaisuudet
Määritelmäalue, arvojoukko, ääripäät, lisäys, vähennys
Luonnollinen logaritmi on monotonisesti kasvava funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Luonnollisen logaritmin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.
ln x arvoja
log 1 = 0
Luonnollisten logaritmien peruskaavat
Käänteisfunktion määritelmästä johtuvat kaavat:
Logaritmien pääominaisuus ja sen seuraukset
Peruskorvauskaava
Mikä tahansa logaritmi voidaan ilmaista luonnollisina logaritmeina käyttämällä kantamuutoskaavaa:
Näiden kaavojen todistukset on esitetty "Logaritmi"-osiossa.
Käänteinen funktio
Luonnollisen logaritmin käänteisluku on eksponentti.
Jos sitten
Jos sitten .
Johdannainen ln x
Luonnollisen logaritmin johdannainen:
.
Moduulin x luonnollisen logaritmin derivaatta:
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Kaavojen johtaminen >>>
Integraali
Integraali lasketaan integroimalla osien mukaan:
.
Niin,
Lausekkeet kompleksilukuina
Tarkastellaan kompleksisen muuttujan z funktiota:
.
Ilmaistaan kompleksimuuttuja z moduulin kautta r ja argumentti φ
:
.
Käyttämällä logaritmin ominaisuuksia saamme:
.
Tai
.
Argumenttia φ ei ole yksiselitteisesti määritelty. Jos laitamme
, jossa n on kokonaisluku,
silloin se on sama luku eri n:lle.
Siksi luonnollinen logaritmi kompleksisen muuttujan funktiona ei ole yksiarvoinen funktio.
Power-sarjan laajennus
Laajennus tapahtuu:
Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
Tunti ja esitys aiheista: "Luonnolliset logaritmit. Luonnollisen logaritmin kanta. Luonnollisen luvun logaritmi"
Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.
Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 11
Interaktiivinen käsikirja luokille 9-11 "Trigonometria"
Interaktiivinen käsikirja luokille 10-11 "Logaritmit"
Mikä on luonnollinen logaritmi
Kaverit, viime tunnilla opimme uuden erikoisnumeron - e. Tänään jatkamme työskentelyä tämän numeron kanssa.Olemme tutkineet logaritmeja ja tiedämme, että logaritmin kanta voi olla joukko lukuja, jotka ovat suurempia kuin 0. Tänään tarkastellaan myös logaritmia, joka perustuu lukuon e. Tällaista logaritmia kutsutaan yleensä luonnolliseksi logaritmiksi . Sillä on oma merkintätapansa: $\ln(n)$ on luonnollinen logaritmi. Tämä merkintätapa vastaa: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentiaalinen ja logaritminen funktio ovat käänteisiä, jolloin luonnollinen logaritmi on funktion käänteisfunktio: $y=e^x$.
Käänteisfunktiot ovat symmetrisiä suoran $y=x$ suhteen.
Piirretään luonnollinen logaritmi piirtämällä eksponentiaalinen funktio suoran $y=x$ suhteen.
On syytä huomata, että funktion $y=e^x$ kaavion tangentin kaltevuus pisteessä (0;1) on 45°. Tällöin luonnollisen logaritmin kaavion tangentin kaltevuus pisteessä (1; 0) on myös yhtä suuri kuin 45°. Molemmat tangentit ovat samansuuntaisia linjan $y=x$ kanssa. Piirretään tangentit: 
Funktion $y=\ln(x)$ ominaisuudet
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Ei ole parillinen eikä pariton.
3. Kasvua koko määrittelyalueen yli.
4. Ei rajoitettu ylhäältä, ei rajoitettu alhaalta.
5. Ei ole enimmäisarvoa, ei ole minimiarvoa.
6. Jatkuva.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Kupera ylöspäin.
9. Erottuva kaikkialla.
Korkeamman matematiikan aikana se on todistettu käänteisfunktion derivaatta on annetun funktion derivaatan käänteisluku.
Todistukseen ei ole paljon järkeä, kirjoitetaan vain kaava: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Esimerkki.
Laske funktion derivaatan arvo: $y=\ln(2x-7)$ pisteessä $x=4$.
Ratkaisu.
Yleensä funktiotamme edustaa funktio $y=f(kx+m)$, voimme laskea tällaisten funktioiden derivaatat.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Lasketaan derivaatan arvo vaaditussa pisteessä: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Vastaus: 2.
Esimerkki.
Piirrä tangentti funktion $y=ln(x)$ kuvaajalle pisteessä $x=e$.
Ratkaisu.
Muistamme hyvin funktion kaavion tangentin yhtälön pisteessä $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Lasketaan tarvittavat arvot peräkkäin.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangenttiyhtälö pisteessä $x=e$ on funktio $y=\frac(x)(e)$.
Piirretään luonnollinen logaritmi ja tangentti. 
Esimerkki.
Tutki monotonisuuden ja ääripäiden funktiota: $y=x^6-6*ln(x)$.
Ratkaisu.
Toiminto $D(y)=(0;+∞)$.
Etsi annetun funktion derivaatta:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivaata on olemassa kaikille x:lle määritelmäalueelta, silloin ei ole kriittisiä pisteitä. Etsitään kiinteät pisteet:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Piste $х=-1$ ei kuulu määritelmäalueeseen. Sitten meillä on yksi kiinteä piste $х=1$. Etsi kasvun ja laskun välit: 
Piste $x=1$ on minimipiste, sitten $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Vastaus: Funktio pienenee segmentillä (0;1], funktio kasvaa säteellä $)