Cr 4 a négyzetgyök tulajdonságait alkalmazva. Aritmetikai négyzetgyök (8. osztály)
Ebben a cikkben a legfontosabbakat ismertetjük gyökér tulajdonságai... Kezdjük az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságaival, adjuk meg azok megfogalmazását és adjunk bizonyítást. Ezt követően az aritmetika n-edik gyökének tulajdonságaival foglalkozunk.
Oldalnavigáció.
Négyzetgyök tulajdonságai
Ezen a ponton a következő fővel fogunk foglalkozni az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságai:
Mindegyik írt egyenlőségben a bal és a jobb oldal felcserélhető, például az egyenlőség átírható 
... Ebben az "inverz" formában az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságait alkalmazzuk, amikor kifejezések egyszerűsítése amilyen gyakran "közvetlen" formában.
Az első két tulajdonság bizonyítása a számtani négyzetgyök definícióján alapul és tovább. És a számtani négyzetgyök utolsó tulajdonságának alátámasztásához emlékezni kell.
Kezdjük tehát azzal két nem negatív szám szorzata számtani négyzetgyökének tulajdonságának bizonyítása:. Ehhez a számtani négyzetgyök definíciója szerint elég megmutatni, hogy egy olyan nemnegatív szám, amelynek négyzete egyenlő a · b-vel. Csináljuk. Egy kifejezés értéke nem negatív, mint a nem negatív számok szorzata. A két szám szorzatának fokának tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását 
, és mivel a számtani négyzetgyök definíciója szerint és, akkor.
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy k nemnegatív tényező a 1, a 2, ..., a k szorzatának számtani négyzetgyöke egyenlő ezen tényezők számtani négyzetgyökének szorzatával. Igazán, . Ez az egyenlőség azt jelenti.
Íme néhány példa: és.
Most pedig bizonyítsuk be a hányados számtani négyzetgyökének tulajdonsága:. A természetes fokozatú hányados tulajdonság lehetővé teszi az egyenlőség felírását 
, a 
, és van egy nem negatív szám. Ez a bizonyíték.
Például, és 
.
Ideje szétszedni egy szám négyzetének aritmetikai négyzetgyökének tulajdonsága, egyenlőség formájában úgy írják, hogy. Ennek bizonyításához vegyünk két esetet: a≥0-ra és a-ra<0 .
Nyilvánvaló, hogy az egyenlőség a≥0 esetén érvényes. Az is könnyen belátható, hogy a<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 és (-a) 2 = a 2. Ily módon 
, a bizonyításhoz szükséges.
Íme néhány példa: 
és 
.
A négyzetgyök imént bebizonyított tulajdonsága lehetővé teszi a következő eredmény igazolását, ahol a tetszőleges valós szám, m pedig tetszőleges. Valójában az a tulajdonsága, hogy egy hatványt hatványra emelünk, lehetővé teszi, hogy az a 2 m teljesítményt az (a m) 2 kifejezéssel helyettesítsük, akkor 
.
Például, 
és 
.
Az n-edik gyökér tulajdonságai
Először is soroljuk fel a főbbeket n-edik gyök tulajdonságai:
Minden írott egyenlőség érvényben marad, ha felcseréljük bennük a bal és a jobb oldalt. Ebben a formában is gyakran használják őket, főleg a kifejezések egyszerűsítésére, átalakítására.
A gyök összes zöngés tulajdonságának bizonyítása az n-edik fokú számtani gyök definícióján, a fok tulajdonságain és a szám modulusának meghatározásán alapul. Bizonyítsuk be őket fontossági sorrendben.
Kezdjük a bizonyítással a termék n-edik gyökerének tulajdonságai ... A nem negatív a és b esetén a kifejezés értéke szintén nem negatív, mint a nem negatív számok szorzata. A szorzat natúrfokozatú tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását 
... Az n-edik fokú aritmetikai gyök definíciója szerint, és ezért 
... Ez bizonyítja a szóban forgó gyökér tulajdonságát.
Ezt a tulajdonságot hasonlóan igazoljuk k tényező szorzatára: nemnegatív számokra a 1, a 2, ..., a n, 
és .
Íme példák a termék n-edik gyökér tulajdonságának használatára: 
és .
Bizonyítsuk be a hányados gyökének tulajdonsága... A≥0 és b>0 esetén a feltétel teljesül, és 
.
Mutassunk példákat: 
és 
.
Továbblépni. Bizonyítsuk be szám n-edik gyökének tulajdonsága az n-edik hatványra... Vagyis ezt be fogjuk bizonyítani 
minden valódi a és természetes m. A≥0 esetén van és, ami az egyenlőséget bizonyítja, és az egyenlőséget nyilvánvalóan. A<0
имеем и 
(az utolsó passzus a fokozat páros kitevős tulajdonsága miatt érvényes), ami az egyenlőséget bizonyítja, ill. igaz abból a tényből fakadóan, hogy a páratlan fok gyökeréről beszélve vettük 
bármely nem negatív számra c.
Íme példák az elemzett root tulajdonság használatára: and 
.
Áttérünk a gyökér tulajdonságának bizonyítására a gyökérből. Felcseréljük a jobb és a bal oldal helyét, azaz igazoljuk az egyenlőség érvényességét, ami az eredeti egyenlőség érvényességét jelenti. Egy nem negatív a szám esetén az alak gyökének gyöke egy nem negatív szám. Emlékezve a fok hatványra emelésének tulajdonságára, és a gyök definícióját használva felírhatjuk a forma egyenlőségeinek láncolatát. 
... Ez bizonyítja a gyökér tulajdonságát a szóban forgó gyökérből.
Hasonló módon bizonyítható a gyökér tulajdonsága gyökérből gyökből stb. Igazán, 
.
Például, 
és .
Bizonyítsuk be a következőket. gyökkitevőt rövidítő tulajdonság... Ehhez a gyök definíciója értelmében elegendő megmutatni, hogy van egy nem negatív szám, amely n · m hatványra emelve egyenlő m-rel. Csináljuk. Nyilvánvaló, hogy ha az a szám nem negatív, akkor az a szám n-edik gyöke nemnegatív szám. Ahol 
, ami befejezi a bizonyítást.
Nézzünk egy példát az elemzett root tulajdonság használatára:.
Bizonyítsuk be a következő tulajdonságot - a forma fokának gyökének tulajdonságát 
... Nyilvánvaló, hogy a≥0 esetén a fokszám egy nem negatív szám. Sőt, az n-edik foka egyenlő egy m-rel, sőt,. Ez bizonyítja a vizsgált végzettség tulajdonságát.
Például, 
.
Menjünk tovább. Bizonyítsuk be, hogy bármely a és b pozitív számra melyik a feltételre , azaz a≥b. Ez pedig ellentmond a feltételnek a
Példaként bemutatjuk a helyes egyenlőtlenséget 
.
Végül hátra van az n-edik gyök utolsó tulajdonságának bizonyítása. Bizonyítsuk be először ennek a tulajdonságnak az első részét, azaz bebizonyítjuk, hogy m> n és 0 esetén Hasonlóképpen ellentmondásos módon bebizonyosodott, hogy m> n és a> 1 esetén a feltétel teljesül. Mondjunk példákat a gyök bizonyított tulajdonságának konkrét számokban való alkalmazására. Például az egyenlőtlenségek és igazak.
, azaz a n ≤a m. És a kapott egyenlőtlenség m> n és 0 esetén
Bibliográfia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. évfolyamnak oktatási intézmények.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdete: Tankönyv 10-11 évfolyamos oktatási intézmények számára.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (útmutató műszaki iskolákba jelentkezők számára).
\ (\ sqrt (a) = b \), ha \ (b ^ 2 = a \), ahol \ (a≥0, b≥0 \)
Példák:
\ (\ sqrt (49) = 7 \) mivel \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0,04) = 0,2 \) mivel \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)
Hogyan lehet kivonni egy szám négyzetgyökét?
Egy szám négyzetgyökének kivonásához fel kell tennünk magunknak a kérdést: milyen számot ad a négyzetben a gyök alatti kifejezés?
például... A gyökér kibontása: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0,001) \); d) \ (\ négyzet (1 \ frak (13) (36)) \)
a) Milyen négyzetes szám adja a \ (2500 \) értéket?
\ (\ négyzet (2500) = 50 \)
b) Mekkora négyzetszám adja a \ (\ frac (4) (9) \) értéket?
\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)
c) Milyen négyzetes szám adja a \ (0,0001 \) értéket?
\ (\ sqrt (0,0001) = 0,01 \)
d) Milyen négyzetes szám ad \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? A kérdés megválaszolásához rosszra kell fordítanod.
\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ négyzet (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)
Megjegyzés: Bár \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), válaszoljon a kérdésekre is , de ezeket nem veszik figyelembe, mivel a négyzetgyök mindig pozitív.
A gyökér fő tulajdonsága
Mint tudják, a matematikában minden cselekvésnek az ellenkezője van. Az összeadásnak kivonás, a szorzásnak pedig osztása van. A négyzetre emelés inverze a négyzetgyök. Ezért ezek a műveletek kioltják egymást:
\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)
Ez a leggyakrabban használt gyökér fő tulajdonsága (beleértve az OGE-t is)
Példa ... (az OGE feladata). Keresse meg a \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \ kifejezés értékét
Megoldás :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)
Példa ... (az OGE feladata). Keresse meg a \ kifejezés értékét ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)
Megoldás:
Válasz: \ (86-2 \ négyzetméter (85) \)Természetesen, ha négyzetgyökkel dolgozik, másokat is kell használnia.
Példa
... (az OGE feladata). Keresse meg a \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \ kifejezés értékét
Megoldás:
Válasz: \(220\)
4 szabály, amit mindig elfelejtenek
A gyökér nem mindig kerül lekérésre
Példa: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ négyzetméter (200) \), \ (\ négyzetméter (0,1) \) stb. - nem mindig lehet egy számból kivonni a gyökeret és ez normális!
Szám gyöke, szám is
Nem szükséges hivatkozni a \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \) -ra, valahogy különösen. Ezek számok, de nem egész számok, igen, de a mi világunkban nem mindent egész számokban mérnek.
A gyökér csak a nem negatív számokból nyerhető ki
Ezért a tankönyvekben nem fog látni ilyen bejegyzéseket: \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \) stb.
Cím: Önálló és próbamunka algebrából és geometriából 8. évfolyamra.
A kézikönyv a 8. évfolyam algebra és geometria tantárgyának minden fontosabb témakörében önálló és ellenőrző munkákat tartalmaz.
A művek három nehézségi fokozat 6 változatából állnak. A didaktikai anyagok a tanulók differenciált önálló munkájának megszervezésére szolgálnak.
TARTALOM
ALGEBRA 4
P-1 Racionális kifejezés. Redukáló frakciók 4
C-2 Törtek összeadása és kivonása 5
K-1 Racionális törtek. Törtek összeadása és kivonása 7
C-3 Törtek szorzása és osztása. Tört felemelése 10 hatványára
C-4 Racionális kifejezés transzformáció 12
С-5 Inverz arányosság és grafikonja 14
К-2 Racionális törtek 16
C-6 18 aritmetikai négyzetgyöke
C-7 Egyenlet x2 = a. Függvény y = y [x 20
С-8 Egy szorzat négyzetgyöke, tört, hatvány 22
K-3 Aritmetikai négyzetgyök és tulajdonságai 24
C-9 Négyzetgyökben kifejezett szorzó bevezetése és eltávolítása 27
C-10 Négyzetgyököt tartalmazó kifejezések konvertálása 28
K-4 A számtani négyzetgyök tulajdonságainak alkalmazása 30
P-11 Befejezetlen másodfokú egyenletek 32
С-12 A 33. másodfokú egyenlet gyökeinek képlete
С-13 Feladatmegoldás másodfokú egyenletekkel. Vieta tétele 34
K-5 másodfokú egyenletek 36
P-14 Törtracionális egyenletek 38
С-15 Tört racionális egyenletek alkalmazása. Problémamegoldás 39
K-6 Törtracionális egyenletek 40
C-16 Numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai 43
K-7 Numerikus egyenlőtlenségek és tulajdonságaik 44
С-17 Lineáris egyenlőtlenségek egy változóval 47
С-18 Lineáris egyenlőtlenségek rendszerei 48
K-8 Lineáris egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségrendszerek egy változóval 50
С-19 fok negatív indikátorral 52
K-9 54-es egész számmal
К-10 Éves teszt 56
GEOMETRIA (Pogorelov szerint) 58
С-1 A paralelogramma tulajdonságai és jelei. "58
C-2 Téglalap. Rombusz. 60. tér
K-1 62. párhuzamos
С-3 Thalész tétel. A 63-as háromszög középvonala
C-4 Trapéz. A 66-os trapéz középvonala
K-2 Trapéz. Háromszög és trapéz felezővonala ... 68
C-5 70. Pitagorasz-tétel
С-6 A Pitagorasz-tétellel ellentétes tétel. Merőleges és ferde 71
C-7 Háromszög egyenlőtlenség 73
K-3 Pitagorasz-tétel 74
C-8 Derékszögű háromszög megoldás 76
C-9 Trigonometrikus függvények tulajdonságai 78
К-4 Derékszögű háromszög (általánosító teszt) 80
С-10 A szakasz felezőpontjának koordinátái. Pontok közötti távolság. A 82 kör egyenlete
C-11 Egy egyenes egyenlete 84
K-5 Descartes koordináták 86
С-12 Mozgás és tulajdonságai. Központi és axiális szimmetria. 88. kanyar
S-13. Párhuzamos átvitel 90
С-14 vektor koncepció. Vektorok egyenlősége 92
С-15 Műveletek vektorokkal koordináta formában. Kollineáris vektorok 94
С-16 Műveletek geometriai formájú vektorokkal 95
C-17 Dot termék 98
K-6 vektorok 99
К-7 Éves vizsga 102
GEOMETRIA (Atanasyan szerint) 104
С-1 A paralelogramma tulajdonságai és jelei 104
C-2 Téglalap. Rombusz. 106. tér
К-1 négyszögek 108
С-3 Egy téglalap területe, négyzet 109
С-4 Egy paralelogramma, rombusz, 111-es háromszög területe
С-5 Trapéz terület 113
C-6 Pitagorasz 114. tétel
K-2 négyzetek. Pitagorasz-tétel 116
C-7 Hasonló háromszögek meghatározása. Egy háromszög szögfelező tulajdonsága 118
С-8 A háromszögek hasonlóságának jelei 120
K-3 Háromszögek hasonlósága 122
С-9 A hasonlóság alkalmazása a problémamegoldásban 124
C-10 Egy derékszögű háromszög oldalai és sarkai közötti kapcsolat 126
К-4 A hasonlóság alkalmazása a problémamegoldásban. Egy derékszögű háromszög oldalainak és szögeinek aránya 128
С-11 A 130-as kör érintője
С-12 Középpont és feliratos sarkok 132
С-13 Tétel a metsző akkordok szakaszainak szorzatáról. A háromszög csodálatos pontjai 134
С-14 Beírt és körülírt körök 136
K-5 kerülete 137
C-15 Vektor összeadás és kivonás 139
С-16 Egy vektor szorzása 141-gyel
С-17 A 142-es trapéz középvonala
K-6 vektorok. Vektorok alkalmazása problémamegoldásra 144
К-7 Éves vizsga 146
VÁLASZOK 148
IRODALOM 157
ELŐSZÓ
.
1. Egy viszonylag kis méretű könyv a 8. osztályos algebra és geometria teljes kurzusának teljes tesztkészletét tartalmazza (beleértve a záróteszteket is), így óránként elegendő egy könyvkészlet beszerzése.
A teszt dolgozatok tanórára, önálló munkára készültek - témától függően 20-35 percre. A könyv használatának kényelmét szolgálja, hogy az egyes önálló és tesztmunkák címe tükrözi a tárgyát.
2. A gyűjtemény az ismeretek differenciált ellenőrzését teszi lehetővé, mivel a feladatok három A, B és C komplexitási szint között vannak elosztva. Az A szint a kötelező programkövetelményeknek, a B - az átlagos komplexitási szintnek, a C szintű feladatoknak A matematika iránt fokozottan érdeklődő tanulók számára készült, valamint osztálytermekben, iskolákban, gimnáziumokban és felsőfokú matematikát tanuló középiskolákban való használatra. Minden szinten van 2 szomszédos egyenértékű lehetőség (ahogy általában a táblára vannak írva), így elég egy könyv az asztalon a leckéhez.
Töltsön le ingyenesen egy e-könyvet kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
Töltse le az Önálló munkák és tesztek algebrából és geometriából című könyvet a 8. osztály számára. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, gyors és ingyenes letöltés.
- Önálló és ellenőrző munka geometriából 11. évfolyamon. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Önálló és próbamunka algebrából és geometriából a 9. osztály számára. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Önálló és ellenőrző munkák algebráról és geometriáról, 8. osztály, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013