Az iránytű és vonalzó használatával történő építés szabályai. Rajz körzővel és vonalzóval

Ha teljesen természetes, hogy a szerszámok szélesebb választékának feltételezésével az építési problémák szélesebb köre is megoldható, akkor előre lehet látni, hogy éppen ellenkezőleg, a szerszámokra vonatkozó korlátozások mellett, a megoldható problémák osztálya szűkülni fog. Annál figyelemreméltóbbnak kell tekinteni az olaszok felfedezését Mascheroni (1750-1800):minden körzővel és vonalzóval végrehajtott geometriai konstrukció csak egy körzővel végezhető el. Természetesen ki kell kötni, hogy két adott ponton vonalzó nélkül valójában lehetetlen egyenest húzni, így ezt az alapkonstrukciót nem fedi le Mascheroni elmélete. Ehelyett azt kell feltételezni, hogy egy egyenes adott, ha annak két pontja adott. De egyetlen iránytű segítségével meg lehet találni két így meghatározott egyenes metszéspontját, vagy egy egyenesnek a körrel való metszéspontját.

Mascheroni felépítésének talán legegyszerűbb példája egy adott AB szakasz megkettőzése. A megoldást a 174-175. oldalon már megadtuk. Továbbá a 175-176. oldalon megtanultuk, hogyan kell ezt a szegmenst kettéosztani. Most nézzük meg, hogyan oszthatjuk fel egy O középpontú AB kör ívét. Íme ennek a szerkezetnek a leírása (47. ábra). Az AO sugárral két A és B középpontú ívet rajzolunk. Az O pontból ezekre az ívekre rakunk le két olyan OP és OQ ívet úgy, hogy OP = OQ = AB... Ezután megtaláljuk az ívnek a P középponttal és PB sugárral való metszéspontját R, valamint az ívet a Q középponttal és a QA sugárral. Végül az VAGY szakaszt sugárnak véve leírjuk a P vagy Q középpontú ívet az AB ívvel való metszéspontig - a metszéspont és az AB ív kívánt felezőpontja. A bizonyítást gyakorlatként az olvasóra bízzuk.

Mascheroni alapállítását lehetetlen lenne bizonyítani úgy, hogy minden egyes körzővel és vonalzóval végrehajtott konstrukciónál rámutatunk arra, hogyan lehet egyetlen körzővel végrehajtani: elvégre számtalan lehetséges konstrukció létezik. De ugyanezt a célt érjük el, ha megállapítjuk, hogy az alábbi alapkonstrukciók mindegyike megvalósítható egyetlen iránytűvel:

1. Rajzolj egy kört, ha a középpontja és a sugara meg van adva.
2. Keresse meg két kör metszéspontját.
3. Keresse meg egy egyenes és egy kör metszéspontját.
4. Keresse meg két egyenes metszéspontját.

Bármely geometriai konstrukció (a szokásos értelemben, iránytű és vonalzó feltételezésével) ezen elemi konstrukciók véges sorozatának végrehajtásából áll. Az, hogy ezek közül az első kettő egy iránytűvel megvalósítható, az közvetlenül világos. A bonyolultabb 3. és 4. konstrukciókat az előző bekezdésben tárgyalt inverziós tulajdonságokkal hajtjuk végre.

Térjünk át a 3. konstrukcióra: megkeressük ennek a C körnek a metszéspontjait az A és B pontokon átmenő egyenessel. Rajzolunk olyan íveket, amelyeknek A és B középpontja és sugara AO és BO, kivéve az O pontot. , a P pontban metszik egymást. Ezután a C körhöz képest megszerkesztjük a P ponttal ellentétes Q pontot (lásd a 174. oldalon leírt konstrukciót). Végül rajzoljunk egy Q középpontú és QO sugarú kört (minden bizonnyal metszi C-t): a C kör X és X "metszéspontja lesz a kívánt. Ennek bizonyításához elegendő megállapítani, hogy minden pont X és X" azonos távolságra van O-tól és P-től (ahogyan az A és B pontok esetében is, ezek analóg tulajdonsága közvetlenül következik a konstrukcióból). Valóban, elég csak arra utalni, hogy a Q ponttal ellentétes pont az X és X pontoktól "a C kör sugarával egyenlő távolságra van (lásd 173. oldal). Érdemes megjegyezni, hogy a Az X, X" és O pontokon átmenő kör az AB fordított egyenes a C körhöz képest, mivel ez a kör és az AB egyenes ugyanazokban a pontokban metszi C-t. (Az inverzió során az alapkör pontjai mozdulatlanok maradnak.) A jelzett konstrukció csak akkor kivitelezhetetlen, ha az AB egyenes áthalad a C középponton. Ekkor azonban a metszéspontok a 178. oldalon leírt konstrukció segítségével megtalálhatók, mivel a a C ívek felezőpontjai, amelyeket akkor kapunk, ha egy tetszőleges B középpontú kört rajzolunk, amely a B 1 és B 2 pontokban metszi C-t.

A körrajzolás módszere, a "két adott pontot összekötő egyenes inverze azonnal a 4. feladatot megoldó konstrukciót ad. Adják meg az egyeneseket A, B és A", B pontok "(50. ábra) Rajzold tetszőleges C kört, és a fenti módszerrel az AB és A "B" egyenesekkel inverz köröket fogunk alkotni. Ezek a körök az O pontban metszik egymást, és még egy Y pontban, az Y ponttal ellentétes X pont a kívánt metszéspont. pont: hogyan kell megépíteni, azt már fentebb kifejtettük. Hogy melyik X a kívánt pont, ez jól látszik abból, hogy Y az egyetlen pont, amely ellentétes egy olyan ponttal, amely egyszerre tartozik mind az AB, mind az A „B” egyeneshez, ezért a az Y-vel szemben lévő X pontnak egyszerre kell feküdnie az AB-n és az A "B"-n ...

Ez a két konstrukció véget vet az egyenértékűség bizonyításának Mascheroni konstrukciói, amelyekhez csak körző használható, és a hagyományos geometriai konstrukciók körzővel és egyenes éllel.

Nem törődtünk az itt megfontolt egyéni problémák megoldásának kecsességével, hiszen a Mascheroni-konstrukciók belső értelmének megismerése volt a célunk. De példaként feltüntetjük egy szabályos ötszög felépítését is; pontosabban arról beszélünk, hogy egy körön találunk öt olyan pontot, amely egy szabályos beírásos ötszög csúcsaiként szolgálhat.

Legyen A tetszőleges pont a K körön. Mivel egy szabályos hatszög oldala egyenlő a kör sugarával, nem lesz nehéz a K-n lévő B, C, D pontokat úgy elhalasztani, hogy AB = BC = CD = 60 ° (51. ábra). Rajzoljon íveket A és D középpontokkal, amelyek sugara egyenlő AC; metszi egymást az X pontban. Ekkor, ha O a K középpontja, az A középpontú és OX sugarú ív metszi K-t az F pontban, amely a BC ív közepe (lásd 178. oldal). Ezután a K sugárral egyenlő sugárral írjuk le az F középpontú íveket, amelyek a G és H pontokban metszik K-t. Legyen Y egy olyan pont, amelynek távolsága G és H pontoktól egyenlő OX, és amelyet X-től elválaszt középpontja O. Ebben az esetben az AY szakasz mint alkalommal a kívánt ötszög oldala. A bizonyítás gyakorlatként kerül az olvasó elé. Érdekes megjegyezni, hogy az építkezés során csak három különböző sugarat használnak.

1928-ban Elmslev dán matematikus egy koppenhágai könyvesboltban talált egy példányt egy könyvből, a Euclides Danicus 1672-ben adta ki egy ismeretlen szerző G. Morom. A címlapból arra lehetett következtetni, hogy ez csak az euklideszi „elemek” egyik változata, talán szerkesztői kommentárral ellátva. De közelebbről megvizsgálva kiderült, hogy teljes megoldást tartalmaz a Mascheroni-problémára, amelyet jóval Mascheroni előtt találtak.

Feladatok. A következőkben Mohr építkezéseinek leírását adjuk. Ellenőrizze, hogy helyesek-e. Miért lehet azzal érvelni, hogy megoldják a Mascheroni-problémát?

Mascheroni eredményeiből ihletet merítve, Jacob Steiner (1796-1863) kísérletet tett olyan konstrukciók tanulmányozására, amelyek egyetlen vonalzóval is végrehajthatók. Természetesen a vonalzó önmagában nem visz túl egy adott numerikus mező határain, ezért nem elegendő minden geometriai konstrukciót a klasszikus értelmében végrehajtani. De annál figyelemreméltóbbak azok az eredmények, amelyeket Steiner ért el az általa bevezetett korlátozással - hogy csak egyszer használja az iránytűt. Bebizonyította, hogy a síkon minden konstrukció, amely körzővel és vonalzóval végezhető, egy vonalzóval is végrehajtható, feltéve, hogy egyetlen rögzített kör van a középponttal. Ezek a konstrukciók projektív módszerek alkalmazását jelentik, és később lesz leírva (lásd 228. oldal).

* Nem nélkülözheti a kört, és ráadásul egy középpontot. Például, ha egy kör adott, de a középpontja nincs megadva, akkor egy vonalzóval lehetetlen megtalálni a középpontot. Ezt most be fogjuk igazolni, utalva azonban egy későbbiekben megállapítandó tényre (lásd: 252. o.): a síknak olyan önmagába való átalakulása van, hogy a) az adott kör mozdulatlan marad, b) minden egyenes megy egyenesbe, )-vel a rögzített kör középpontja nem marad mozdulatlan, hanem elmozdul. Egy ilyen transzformáció léte arról tanúskodik, hogy egy adott kör középpontját nem lehet egyetlen vonalzóval megszerkeszteni. Valójában bármilyen is legyen az építési eljárás, ez több különálló szakaszból áll, amelyek az egyenes vonalak megrajzolásából és azok egymással vagy egy adott körrel való metszéspontjainak megtalálásából állnak. Most képzeljük el, hogy az egész ábra egésze egy kör, és minden vonalzó mentén a középpont megalkotásakor húzott vonal egy transzformációnak van kitéve, amelynek létezését itt feltételeztük. Ekkor egyértelmű, hogy az átalakítás után kapott szám is kielégítené a konstrukciós követelményeket; de az ábrával jelzett konstrukció az adott kör középpontjától eltérő pontba vezetne. Ez azt jelenti, hogy a kérdéses konstrukció lehetetlen.

Főiskolai YouTube

1 / 5

✪ 7. osztály, 22. lecke, Konstrukciók körzővel és vonalzóval

✪ Geometry 7 Circle Draw iránytűvel és vonalzóval

✪ Rajzolj egy háromszöget a két oldalra és egy szöget közöttük

✪ Geometria 7 Példák építési problémákra

✪ 7. évfolyam, 23. lecke, Példák építési feladatokra

Feliratok

Példák

Felezési probléma... Egy iránytű és egy vonalzó segítségével oszd fel ezt a szakaszt AB két egyenlő részre. Az egyik megoldás az ábrán látható:

• Rajzolj kört körzővel úgy, hogy a középpont a pontokban legyen Aés B sugár AB.
• A metszéspontok megtalálása Pés K két konstruált kör (ív).
• Rajzoljon egy szakaszt vagy egy vonalat a vonalzó mentén a pontokon keresztül Pés K.
• Keresse meg a szakasz kívánt felezőpontját AB- metszéspont ABés PQ.

Formális meghatározás

Az építési feladatok során a következő objektumok halmazát veszik figyelembe: a sík összes pontja, a sík összes egyenese és a sík összes köre. A probléma feltételei között kezdetben objektumok halmazát adjuk meg (megkonstruálandónak tekintjük). A megépített objektumok készletéhez hozzá lehet adni (építeni):

1. tetszőleges pont;
2. tetszőleges pont egy adott egyenesen;
3. tetszőleges pont egy adott körön;
4. két adott egyenes metszéspontja;
5. adott egyenes és adott kör metszéspontjai / érintőpontjai;
6. két meghatározott kör metszéspontja / érintőpontja;
7. adott ponton átmenő tetszőleges egyenes;
8. két megadott ponton átmenő egyenes;
9. tetszőleges kör, amelynek középpontja egy adott pont;
10. tetszőleges kör, amelynek sugara megegyezik két meghatározott pont távolságával;
11. egy kör, amelynek középpontja a megadott pontban van, és amelynek sugara megegyezik a két megadott pont távolságával.

Ezen műveletek véges számú felhasználásával kell létrehozni egy másik objektumkészletet, amelyek adott kapcsolatban állnak az eredeti halmazzal.

Az építési probléma megoldása három lényeges részből áll:

1. Egy adott halmaz felépítési módszerének leírása.
2. Annak bizonyítása, hogy a leírt módon megszerkesztett halmaz valóban egy adott kapcsolatban van az eredeti halmazzal. A konstrukció bizonyítása általában a tétel szokásos bizonyításaként történik, axiómák és más bizonyított tételek alapján.
3. A leírt konstrukciós módszer elemzése a kezdeti feltételek különböző változataira való alkalmazhatóság szempontjából, valamint a leírt módszerrel kapott megoldás egyedisége vagy nem egyedisége szempontjából.

Ismert feladatok

Egy másik jól ismert és megoldhatatlan probléma iránytű és vonalzó segítségével, hogy három adott szögfelező hosszúságból háromszöget hozzunk létre. Ez a feladat még egy saroktriszekciót végrehajtó eszközzel is megoldhatatlan, mint például a tomahawk.

Megengedett vonalszakaszok körző és vonalzó segítségével történő megépítéshez

Ezen eszközök segítségével lehetőség van egy hosszúságú vonalszakasz létrehozására:

A megadott szegmensek hosszának szorzatával, hányadosával és négyzetgyökével számszerűen megegyező hosszúságú szakasz létrehozásához meg kell adni egy egységszegmenst a szerkesztési síkon (vagyis egy 1 hosszúságú szakaszt). A gyökerek kinyerése más természetes fokokkal rendelkező szegmensekből, amelyek nem 2 hatványa, iránytű és vonalzó segítségével lehetetlen. Így például lehetetlen hosszúságú szegmenst megszerkeszteni egy iránytű és egy vonalzó segítségével egy egységszegmensből. Ez a tény különösen azt jelenti, hogy a kocka megkettőzésének problémája eldönthetetlen.

Lehetséges és lehetetlen konstrukciók

Formális szempontból bármely konstrukciós probléma megoldása valamilyen algebrai egyenlet grafikus megoldására redukálódik, és ennek az egyenletnek az együtthatói az adott szakaszok hosszához kapcsolódnak. Ezért azt mondhatjuk, hogy a konstrukciós probléma valamilyen algebrai egyenlet valódi gyökereinek megtalálására redukálódik.

Ezért kényelmes egy szám felépítéséről beszélni - egy bizonyos típusú egyenlet grafikus megoldásáról.

A szegmensek lehetséges felépítése alapján a következő konstrukciók lehetségesek:

• Lineáris egyenletek megoldásainak felépítése.
• Másodfokú egyenletek megoldásaira redukáló egyenletek megoldásainak felépítése.

Más szóval, lehetséges csak számtani kifejezésekkel megegyező szegmenseket létrehozni az eredeti számok négyzetgyökéből (adott szegmenshosszak).

Fontos megjegyezni, hogy elengedhetetlen a megoldás kifejezése négyzet gyökerek, nem tetszőleges fokú gyökök. Még ha egy algebrai egyenletnek van is megoldása gyökökben, ez nem jelenti azt a lehetőséget, hogy a megoldásával megegyező szakaszt készítsünk iránytűvel és vonalzóval. A legegyszerűbb egyenlet: x 3 - 2 = 0, (\ displaystyle x ^ (3) -2 = 0,) a kocka megkettőzésének híres problémájához kapcsolódik, amely erre a köbös egyenletre redukálódik. Mint fentebb említettük, ennek az egyenletnek a megoldása ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) nem építhető meg körzővel és vonalzóval.

A szabályos 17-szög megalkotásának képessége az oldala középső szögének koszinuszának kifejezéséből következik:

cos ⁡ (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ left ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ right)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ négyzet (17))) - (\ négyzetméter (34-2 (\ négyzet (17)))) - 2 (\ négyzetméter (34 + 2 (\ négyzet (17)))))),) ami viszont egy alakegyenlet redukciójának lehetőségéből következik x F n - 1 = 0, (\ megjelenítési stílus x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,) ahol F n (\ displaystyle F_ (n))- bármely Fermat-prím, a változó másodfokú egyenletté történő megváltoztatásával.

Változatok és általánosítások

• Konstrukciók egy iránytűvel. A Mohr-Mascheroni tétel szerint egyetlen iránytűvel bármilyen körzővel és vonalzóval megszerkeszthető figura megszerkeszthető. Ebben az esetben egy egyenest megépítettnek tekintünk, ha két pontot adunk meg rajta.
• Rajzolj egy vonalzóval. Nyilvánvaló, hogy egy vonalzó segítségével csak projektív invariáns konstrukciók hajthatók végre. Különösen,
  • még egy szakaszt sem lehet két egyenlő részre osztani,
  • az adott kör középpontját sem lehet megtalálni.

De,

• ha van a síkon egy korábban megrajzolt kör egy vonalzóval megjelölt középponttal, akkor ugyanazokat a konstrukciókat hajthatja végre, mint egy körzővel és egy vonalzóval (

Az ebben a bekezdésben található anyagok tanórán kívüli tevékenységekben használhatók. Előadás és hallgatói beszámoló formájában egyaránt bemutatható a hallgatóknak.

Évszázadokon keresztül nagy figyelmet fordítottak azokra a problémákra, amelyeket régóta „az ókor híres problémáiként” ismertek. Általában három híres probléma szerepel ezen a néven:

1) a kör négyzetre emelése,

2) a sarok triszekciója,

3) a kocka megkettőzése.

Mindezek a feladatok az ókorban az emberek gyakorlati szükségleteiből fakadtak. Létezésük első szakaszában számítási problémaként működtek: egyes "receptek" szerint kiszámították a szükséges mennyiségek hozzávetőleges értékét (kör területe, kerülete stb.). E problémák történetének második szakaszában jelentős változások mennek végbe azok jellegében: geometriai (konstruktív) problémákká válnak.

Az ókori Görögországban ebben az időszakban a klasszikus megfogalmazásokat kapták:

1) építsünk egy négyzetet, amely megegyezik a megadott körrel;

2) osszuk fel a megadott szöget három egyenlő részre;

3) építsünk egy új kocka élét, amelynek térfogata a megadott kocka kétszerese lenne.

Mindezeket a geometriai konstrukciókat iránytű és vonalzó segítségével végezték el.

Népszerűségük növekedéséhez e feladatok egyszerű megfogalmazása és a megoldásuk felé vezető „leküzdhetetlen nehézségek” is hozzájárultak. Az ókori görög tudósok, hogy szigorú megoldásokat találjanak ezekre a problémákra, számos fontos eredményt értek el a matematika terén, amelyek hozzájárultak a szétszórt matematikai ismeretek független deduktív tudománnyá való átalakulásához (a pitagoreusok, a chioszi Hippokratész és az Arkhimédész távoztak). akkoriban különösen feltűnő nyoma).

A kocka megkettőzésének problémája.

A kocka megkettőzésének problémája a következő: egy adott kocka élének ismeretében alkossunk egy olyan élt, amelynek térfogata kétszerese ennek a kockának.

Legyen a az adott kocka élének hossza, x - a kívánt kocka élének hossza. Legyen az adott kocka térfogata, és a kívánt kocka térfogata, akkor a kocka térfogatának kiszámítására szolgáló képlet szerint azt kapjuk, hogy: =, és mivel a feladat feltételének megfelelően jön a az egyenlethez.

Az algebrából ismert, hogy az egész együtthatós redukált egyenlet racionális gyökei csak egészek lehetnek, és az egyenlet szabad tagjának osztói között szerepelhetnek. De a 2-es szám osztói csak a +1, -1, +2, -2 számok, és egyik sem felel meg az eredeti egyenletnek. Következésképpen az egyenletnek nincs racionális gyökere, ami azt jelenti, hogy a kocka megkettőzésének problémája nem oldható meg iránytűvel és vonalzóval.

A kocka megkettőzésének problémája iránytűvel és vonalzóval csak megközelítőleg oldható meg. Íme az egyik legegyszerűbb módja ennek a probléma körülbelüli megoldásának.

Legyen AB = BC = a, és ABBC. Építünk AD = AC, majd CD 1%-os pontossággal. Valóban, CD 1.2586… Ugyanakkor = 1,2599….

A kör négyzetre emelésének problémája.

A probléma megoldhatatlanságának igazolása iránytű és vonalzó segítségével.

A kör négyzetre emelésének problémája a következő: építsünk egy körrel egyenlő méretű négyzetet.

Legyen az adott kör sugara, legyen a kívánt négyzet oldalhossza. Akkor innen.

Következésképpen a kör négyzetre emelésének problémája megoldódik, ha megszerkesztünk egy hosszúságú szakaszt. Ha egy adott kör sugarát egységnyi szakasznak vesszük (= 1), akkor az anyag egy egységnyi szakasz mentén egy hosszúságú szakasz megalkotására redukálódik.

Tudniillik az egységszegmens ismeretében csak azokat a szegmenseket tudjuk megszerkeszteni iránytűvel és vonalzóval, amelyek hosszát racionális számokkal fejezzük ki racionális műveletek véges halmazával és négyzetgyökök kinyerésével, és ezért algebrai számok. Ebben az esetben nem minden algebrai szám kerül felhasználásra. Például nem húzhat vonalat hosszúsággal stb.

1882-ben Lindemann bebizonyította, hogy transzcendentális. Ebből következik, hogy körzővel és vonalzóval nem lehet hosszúságú szakaszt megszerkeszteni, ezért ezekkel az eszközökkel a kör négyzetre emelésének problémája megoldhatatlan.

A probléma hozzávetőleges megoldása iránytű és vonalzó segítségével.

Tekintsük a vonalszakaszok közelítő felépítésének egyik módszerét. Ez a technika a következő. Osszuk el a C ponttal egy AB kör negyedét, amelynek középpontja az O pontban van, sugara pedig fele. A CD átmérő folytatásán tegyük félre a sugárral egyenlő DE szakaszt. Az E pontból addig rajzoljuk az EA és EB sugarakat, amíg a C pontban nem metszik az érintőt. Az AB levágási szakasz megközelítőleg egyenlő az AB ív hosszával, a megkettőzött szakasz pedig a félkörrel.

Ennek a közelítésnek a relatív hibája nem haladja meg a 0,227%-ot.

Szögtriszekciós probléma.

A probléma megoldhatatlanságának igazolása iránytű és vonalzó segítségével.

Egy szög felosztásának problémája a következő: oszd három egyenlő részre a megadott szöget.

A feladat megoldására korlátozzuk magunkat 90-nál nem nagyobb szögekre. Ha tompaszög, akkor = 180-, ahol<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Vegyük észre, hogy (egységnyi szegmens jelenlétében) a (90) szög megalkotásának problémája egyenértékű az x = cos szakasz megalkotásának problémájával. Valójában, ha a szöget megszerkesztjük, akkor az x = cos szakasz felépítése egy derékszögű háromszög felépítésére redukálódik a hipotenuzusból és a hegyesszögből.

Vissza. Ha egy x szakaszt szerkesztünk, akkor az x = cos szög szerkesztése egy derékszögű háromszögre redukálódik a befogó és a láb mentén.

Legyen - a megadott szög, - a szükséges szög, így =. Ekkor cos = cos 3. Ismeretes, hogy cos 3 = 4cos-3cos. Ezért a cos = és cos = beállításával a következő egyenlethez jutunk:

cos = 4cos-3cos,

A szakasz, és így a szög is csak akkor szerkeszthető meg, ha ennek az egyenletnek van legalább egy racionális gyöke. De ez nem minden esetben van így, és ezért a szög háromszakaszának problémája általában véve nem oldható meg iránytű és egyenes él segítségével. Például. = 60-nál = 1-et kapunk, és a kapott egyenlet a következő alakot ölti:. Könnyű ellenőrizni, hogy ennek az egyenletnek nincs racionális gyöke, ami azt jelenti, hogy egy 60-os szöget nem lehet három egyenlő részre osztani egy iránytű és egy vonalzó segítségével. Így a szög háromszakaszának problémája nem oldható meg körzővel és általában vonalzóval.

A probléma hozzávetőleges megoldása iránytű és vonalzó segítségével.

Tekintsük Albert Durer (1471-1528) által javasolt egyik módszert a probléma közelítő megoldására iránytűvel és vonalzóval.

Legyen adott az ASB szög. Az S csúcsból tetszőleges sugarú kört írunk le, és a sarok oldalainak metszéspontjait az AB húrral összekötjük a körrel. Ezt az akkordot három egyenlő részre osztjuk az R és R pontokban (A R = R R = RB). Az A és B pontokból, mint az A R = RB sugarú középpontokból írjuk le a kört T és T pontokban metsző íveket. Végezzük el az RSAB-t. Az A S = BS sugarakkal az AB U és U pontokban metsző íveket rajzolunk. Az AT, SS és TB ívek egyenlőek egymással, mivel egyenlő húrok húzzák össze őket.

Az X és X szög hárommetszeti pontjainak meghatározásához Dürer az RU és RU szakaszokat három egyenlő részre osztja PV és PV pontokkal. Ezután AV és BV sugarakkal rajzoljunk íveket, amelyek az X és X pontokban metszik a kört. Ezeket a pontokat S-vel összekötve megkapjuk ennek a szögnek a három egyenlő részre való felosztását, jó közelítéssel a valódi értékekhez.

Ősidők óta ismert.

Építési feladatokban a következő műveletek lehetségesek:

• Jelölje meg önkényesnek pont egy síkon, egy pont az egyik megszerkesztett egyenesen, vagy két szerkesztett egyenes metszéspontja.
• Keresztül iránytűk rajzoljunk egy kört, amelynek középpontja a megszerkesztett pontban van, és sugara megegyezik a két már megszerkesztett pont távolságával.
• Keresztül uralkodók húzz egy egyenest, amely átmegy a két szerkesztett ponton.

Ebben az esetben az iránytű és a vonalzó ideális eszköznek tekinthető, különösen:

1. Egy egyszerű példa

Egy szakasz felezése

Feladat. Használjon iránytűt és vonalzót a szakasz felosztásához AB két egyenlő részre. Az egyik megoldás az ábrán látható:

• Iránytű segítségével megszerkesztünk egy kört, amelynek középpontja egy pont A sugár AB.
• Építs egy kört, amelynek középpontja egy pont B sugár AB.
• A metszéspontok megtalálása Pés K két épített kör.
• Vonalzóval rajzoljunk egy szakaszt, amely összeköti a pontokat Pés K.
• Keresse meg a metszéspontot ABés PQ. Ez a szakasz kívánt felezőpontja AB.

2. Szabályos sokszögek

Az építési módszerek helyesek n-gonok és .

4. Lehetséges és lehetetlen konstrukciók

Minden konstrukció nem más, mint valamilyen egyenlet megoldása, és ennek az egyenletnek az együtthatói az adott szakaszok hosszához kapcsolódnak. Ezért kényelmes egy szám felépítéséről beszélni - egy bizonyos típusú egyenlet grafikus megoldásáról.

A gyomor-bélrendszeri követelmények keretein belül a következő konstrukciók lehetségesek:

Más szóval, csak az aritmetikai kifejezésekkel megegyező számokat állíthat össze az eredeti számok négyzetgyökével (szegmenshossz). Például,

5. Változatok és általánosítások

6. Érdekes tények

• GeoGebra, Kig, KSEG - olyan programok, amelyek lehetővé teszik, hogy iránytűvel és vonalzóval építsenek.

Irodalom

• A. Adler. A geometriai konstrukciók elmélete, Németből fordította G. M. Fikhtengolts. Harmadik kiadás. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
• I. Alexandrov, Geometriai építési problémák gyűjteménye, Tizennyolcadik kiadás, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
• B. I. Argunov, MB Balk.

Geometriai építési feladatok

Iránytű és vonalzó használata

8-A osztályos tanuló

Felügyelő: Moszkeva V.N.,

matematika tanár

Nyizsnyij Novgorod

Bevezetés

A vizualizáció, a képzelet inkább a művészethez tartozik, a szigorú logika a tudomány kiváltsága. A pontos következtetés szárazsága és a vizuális kép élénksége - "a jég és a tűz nem különbözik annyira egymástól". A geometria ezt a két ellentétet egyesíti.

A. D. Alekszandrov

Iskolába járva ne felejtsünk el körzőt, vonalzót és szögmérőt tenni a portfóliónkba. Ezek az eszközök segítenek helyesen és gyönyörűen rajzolni. Ezeket az eszközöket mérnökök, építészek, munkások, ruha- és lábbelitervezők, építők és tájtervezők használják. Számítógépek ugyan vannak, de az építkezésen, a kertben még nem használod.

A gép pillanatok alatt azonnal rajzol. Egy matematikusnak elég sok időt kell töltenie ahhoz, hogy a gép számára érthető nyelven elmagyarázza neki, mit kell tennie - írjon egy programot, és írja be a gépbe, ezért a tervezők gyakran a legegyszerűbb és legősibb megoldással dolgoznak. eszközök - iránytű és vonalzó.

Mi lehetne könnyebb? Egyenes élű sima tábla - vonalzó, egyik végén két hegyes rúd megkötve - iránytű. Vonalzó segítségével húzz egyenest két megadott ponton. Iránytű segítségével adott középpontú és adott sugarú köröket rajzolunk, ezzel egyenértékű szakaszt elhalasztunk.

Az iránytűt és a vonalzót több mint 3 ezer éve ismerik, ismerték már, 200-300 évvel ezelőtt díszekkel, mintákkal díszítették. De ennek ellenére továbbra is rendszeresen kiszolgálnak minket. A legegyszerűbb szerszámok rengeteg konstrukcióhoz elegendőek. Az ókori görögök úgy gondolták, hogy ezekkel az eszközökkel bármilyen ésszerű építkezést meg lehet valósítani, mígnem fel nem fedezték az ókor három jelentős feladatát: "kör négyzetbe állítása", "szög hárommetszete", "kocka megkettőzése".

Ezért munkám témáját az emberi tevékenység számos területén kortársnak és az emberi tevékenység szempontjából fontosnak tartom.

Mindenki jól tudja, hogy a matematikát a legkülönbözőbb szakmákban és élethelyzetekben használják. A matematika nem könnyű tantárgy. A geometriát pedig a legtöbb diák "nehéznek" nevezi. Az építési problémák különböznek a hagyományos geometriai problémáktól.

A konstrukciós problémák megoldása sokkal teljesebben és élesebben fejleszti a geometriai gondolkodást, mint a számítási feladatok megoldása, és munkaszenvedélyt válthat ki, ami fokozott kíváncsiságot és vágyat vált ki a geometria tanulmányozása bővítésére, elmélyítésére.

A gazdag történelmi múlt ellenére az építési problémák megoldásának problémája a 21. században is aktuális marad. Korunkban a számítógépes technológiák gyorsan fejlődnek a geometriai objektumok rajzolására szolgáló grafikus szerkesztők használatával. A geometriai objektumok létrehozásának eszközei az új számítógépes technológiák megjelenése miatt megváltoztak. Azonban, mint az ókorban, a geometriai objektumok felépítésének fő elemei a kör és az egyenes vonal, más szóval az iránytű és a vonalzó. Az új számítógépes technológiák megjelenésével új építési problémák merültek fel ugyanazon objektumok - egy vonal és egy kör - használatával. Éppen ezért az építési problémák megoldásának problémája még sürgetőbbé válik.

A geometriai program csak a legegyszerűbb technikák és építési módszerek tanulmányozását foglalja magában. De ezeknek a technikáknak a használata gyakran nehéz. Kutatásom tárgyát ezért körző és vonalzó segítségével megszerkesztett geometriai alakzatok képezik.

Munkám célja: fontolja meg a geometriai alakzatok megalkotásának különféle módjait iránytű és vonalzó segítségével.

Kutatási módszerek:

ü A már meglévő építési módok elemzése

ü Új módszerek keresése, könnyen használható (GMT és Steiner konstrukció)

Feladatok:

ü jobban megértse a különböző építési módokat

ü követni ennek a geometriadarabnak a fejlődését a matematika történetében

ü továbbra is fejleszti a kutatói készségeket.

A geometrikus építés történetéből iránytűvel és vonalzóval.

A geometriai konstrukciók eszközeinek hagyományos korlátozottsága az ókorba nyúlik vissza. Euklidész (Kr. e. 3. század) "Kezdetek" című könyvében szigorúan ragaszkodik az iránytű és vonalzó által végzett geometriai konstrukciókhoz, bár a műszerek nevét sehol nem említi. A korlátok a jelek szerint azzal kapcsolatosak, hogy ezek az eszközök helyettesítették a kötelet, amely eredetileg vonalak rajzolására és körök leírására is szolgált. De sok történész-matematikus azzal magyarázza Eukleidész anyagválogatását, hogy Platón és a pitagoreusok nyomán csak az egyenest és a kört tartotta "tökéletes" vonalnak.

A geometriai formák megalkotásának művészete nagyon fejlett volt az ókori Görögországban. Az ókori görög matematikusok 3000 évvel ezelőtt két eszköz segítségével hajtották végre építkezéseiket: egy sima, egyenletes élű tábla - egy vonalzó és két hegyes pálca, amelyek az egyik végére voltak kötve - egy iránytű. Ezek az egyszerű eszközök azonban elegendőek voltak a különféle konstrukciók széles választékának elkészítéséhez. Még az ókori görögöknek is úgy tűnt, hogy ezekkel az eszközökkel bármilyen intelligens konstrukció megvalósítható, mígnem három későbbi híres feladattal szembesültek.

Régóta bármilyen egyenes alakzatot egy körző és egy vonalzó segítségével alakítottak át vele egyenértékű tetszőleges egyenes alakzattá. Különösen minden egyenes vonalú alakot alakítottak át azonos méretű négyzetté. Ezért egyértelmű, hogy az ötlet a probléma általánosítására jelent meg: egy iránytű és egy vonalzó segítségével olyan négyzetet hozzunk létre, amelynek területe megegyezik az adott kör területével. Ezt a feladatot a kör négyzetre emelésének nevezzük. Ennek a feladatnak a nyomai egészen az időszámításunk előtti második évezred ókori görög és babiloni emlékeiig láthatók. Közvetlen helyszíne azonban a Kr.e. V. századi görög művekben található.

Az ókor további két problémája már évszázadok óta felkeltette a kiváló tudósok figyelmét. Ez a kocka megkettőzésének problémája. Ez abból áll, hogy egy körzővel és egy vonalzóval egy kockát készítünk, amelynek térfogata kétszer akkora, mint ennek a kockának. Megjelenését azzal a legendával kötik, hogy az Égei-tengeren fekvő Delos szigetén a jósda, hogy megmentse a lakosságot a pestisjárványtól, elrendelte az oltár kocka alakú megduplázását. A szög háromszögelosztásának harmadik problémája pedig arról szól, hogy egy szöget három egyenlő részre osztunk egy iránytű és egy vonalzó segítségével.

Ez a három probléma, az ókor úgynevezett 3 híres klasszikus problémája, két évezred óta vonzza a kiváló matematikusok figyelmét. És csak a 19. század közepén igazolódott be ezek eldönthetetlensége, vagyis ezeknek a konstrukcióknak csak egy körzővel és egy vonalzóval való lehetetlensége. A matematikában ezek voltak az első eredmények a feladatok megoldhatatlanságára vonatkozóan, amikor a megoldási eszközöket megjelölték. Ezeket nem a geometria, hanem az algebra segítségével kapták meg (az egyenletek nyelvére fordítva), ami ismét a matematika egységét hangsúlyozta. Nem engedve a megoldásnak, ezek a problémák jelentős eredményekkel gazdagították a matematikát, a matematikai gondolkodás új irányaihoz vezettek.

Egy másik érdekes feladat az iránytűvel és vonalzóval történő szerkesztéshez egy adott számú oldalú szabályos sokszög felépítése. Az ókori görögök tudták, hogyan kell szabályos háromszöget, négyzetet, szabályos ötszöget és 15 szöget építeni, valamint az összes sokszöget, amelyet az oldalak megkettőzésével kapnak, és csak azokat. Csak 1796-ban a nagy német matematikus, CF Gauss fedezte fel a módot egy szabályos 17 szög megszerkesztésére iránytű és vonalzó segítségével, és feltüntette N összes értékét, amelynél a jelzett eszközökkel szabályos N-szöget lehet építeni. . Carl Gauss, a Göttingeni Egyetem elsőéves hallgatója megoldotta a matematika több mint 2000 éve kudarcot vallott problémáját. Így bebizonyosodott, hogy nem lehet körzővel és vonalzóval megszerkeszteni a helyes 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 stb. négyzetek.

Továbbfejlesztették az iránytűvel és vonalzóval történő építés elméletét. Válasz érkezett arra a kérdésre, hogy megoldható-e a probléma a két vizsgált eszköz közül csak az egyikkel, és ez elég váratlan. Egymástól függetlenül a dán G. More 1672-ben és az olasz L. Maskeroni 1797-ben bebizonyította, hogy bármely iránytűvel és vonalzóval megoldott építési probléma pontosan megoldható egyetlen iránytű használatával. Hihetetlenül hangzik, de így van. A 19. században pedig bebizonyosodott, hogy minden körzővel és vonalzóval végzett építés csak egy vonalzóval kivitelezhető, feltéve, hogy az építési síkon egy bizonyos kör van megadva és annak középpontja meg van jelölve.

3. A legegyszerűbb feladatok geometriai alakzatok készítéséhez iránytű és vonalzó segítségével

Tekintsük azokat az alapvető (elemi) konstrukciókat, amelyekkel leggyakrabban találkozunk az építési problémák megoldásának gyakorlatában. Az ilyen jellegű problémákkal már az iskolai kurzus első fejezetei foglalkoznak.

Építés 1. A megadottal megegyező szakasz felépítése.

Adott: hosszúságú szegmens a.

Épít: a hosszúságú AB szakasz.

Épít:

Építés 2. Az adott szöggel egyenlő szöget szerkeszt.

Adott:∟AOB.

Épít:∟ KMN egyenlő ∟ AOB-val.

Épít:

Építés 3. Szakasz felosztása (szakasz közepének felépítése).

Adott: AB szegmens.

Épít: Az O pont az AB közepe.

Épít:

Építés 4. A szög felezése (a szög felezőjének ábrázolása).

Adott:∟ ABC.

Épít:ВD a ∟АВС felezőszöge.

Épít:

Építés 5. Egy adott ponton átmenő egyenesre merőlegest rajzol.

a) Adott: a vonal, A pont a.

Épít:

egyenes a.

Épület:

b) Adott: egyenes a, pont A a.

Épít: Az A ponton áthaladó, erre merőleges egyenes vonal

egyenes a.

Épít:

6. épület... Egy adott egyenessel párhuzamos és egy adott ponton áthaladó egyenest szerkeszt.

Adott: egyenes a, pont A a.

Épít: Az A ponton átmenő egyenes, párhuzamos az a egyenessel.

I. módszer (két merőlegesen keresztül).

Épít:

II. módszer (paralelogrammán keresztül).

Épít:

Építés 7. Háromszöget hoz létre három oldalról.

Adott: a, b, c hosszúságú szakaszok.

Épít:Δ ABC.

Épít:

Építés 8. Háromszöget hoz létre két oldal mentén, és szöget zár be közöttük.

Adott: b, c hosszúságú szakaszok, α szög.

Épít: ABC háromszög.

Épít:

Építés 9. Háromszöget hoz létre egy oldal és két szomszédos sarok mentén.

Adott: c hosszúságú szakasz, α és β szög.

Épít:ΔABC.

Épít:

Építés 10.Érintővonalat hoz létre egy adott ponton átmenő körhöz.

Adott: kör (O), azon kívül az A pont.

Épít: az A ponton átmenő ω (O) kör érintője.

Épít:

A vizsgált feladatok komponensként szerepelnek a bonyolultabb problémák megoldásában, ezért a jövőben a főbb konstrukciók szakaszait nem ismertetjük.

Az építési problémák megoldása négy részből áll:

1. Feltételezve, hogy a feladat megoldódott, kézzel közelítő rajzot készítünk a kívánt ábráról, majd alaposan megvizsgáljuk a megrajzolt ábrát, megpróbálva olyan összefüggéseket találni a feladat adatai és a kívánt adatok között, amelyek segítségével csökkenthető. a problémát másoknak, akik korábban ismerték. A problémamegoldásnak ezt a legfontosabb részét, melynek célja a megoldási terv elkészítése, az ún elemzés.

2. Ha így találnak megoldási tervet, akkor annak megfelelően hajtanak végre. Építkezés.

3. Bizonyíték - a terv helyességének ellenőrzésére ismert tételek alapján igazolják, hogy a kapott ábra a feladat minden követelményét kielégíti.

4. Tanulmány - két kérdés teszi fel őket:

1) Lehetséges megoldás bármilyen adattal?

2) Hány megoldás létezik?

Tekintsük ezeknek a szakaszoknak az alkalmazását a következő probléma megoldásának példáján.

Feladat: Szerkesszünk háromszöget, ismerjük b alapját, az alappal szomszédos A szöget és a két oldaloldal s összegét.

Elemzés: Tegyük fel, hogy a probléma megoldódott, pl. talált ilyen ΔABS-t, amelyhez az alap AC = b, ∟BAC = Aés AB + BC = s... Tekintsük most a kapott rajzot. Oldal MINT, egyenlő b, ∟BAC = A, tudjuk, hogyan kell építeni. Tehát a másik oldalon kell megtalálni ∟A egy ilyen pont V hogy az összeg AB + BC egyenlő s... Folytatás AB, tegye félre a szegmenst HIRDETÉS egyenlő s... Most a kérdés arra a pontra kerül, hogy az egyenesen HIRDETÉS találni egy ilyen pontot V amely egyformán távol lenne tőle VAL VELés D... Egy ilyen pontnak, mint tudjuk, a szakaszra húzott merőlegesen kell feküdnie CD közepén keresztül. Pont V ennek a merőlegesnek a metszéspontjában található HIRDETÉS.

Épít:

1. Építünk ∟A egyenlő az adott szöggel

2. Oldalán halasztjuk AC = bés AD = s

3. Egy szakasz közepén keresztül CD merőlegest rajzolni LENNI

4. LENNIátlép HIRDETÉS azon a ponton V

5. Csatlakoztassa a pontokat Vés VAL VEL

6. ΔABC a kívánt.

Bizonyíték:

Tekintsük a kapott ΔABC-t, amelyben ∟A egyenlő az adott szöggel (a konstrukció #1. pontja szerint). Oldal AC = b(2. pont) és a pártok ABés Nap add össze s-t (2., 3., 4. tétel). Ezért a háromszögek egyenlőségének 1. kritériuma szerint ΔABS a kívánt.

Tanulmány:

1.Az összes adat birtokában lehetséges a megoldás?

A konstrukciót tekintve azt látjuk, hogy a feladat semmilyen adattal nem megoldható. Valóban, ha az s összeg túl kicsire van állítva b-hez képest, akkor a merőleges LENNI nem lépheti át a szakaszt HIRDETÉS(vagy metszi a folytatását a D ponton túl), ebben az esetben a feladat nem lesz megoldható.

És konstrukciótól függetlenül látható, hogy a feladat lehetetlen, ha s< b vagy s = b, mert nem létezhet olyan háromszög, amelyben a két oldal összege kisebb vagy egyenlő lenne a harmadik oldallal.

2. Hány megoldás létezik?

Abban az esetben, ha a probléma lehetséges, csak egy megoldása van, pl. csak egy háromszög felel meg a feladat követelményeinek, mivel a merőleges metszéspontja LENNI egyenes vonallal HIRDETÉS csak egy ponton lehet.