Find et grundlæggende system af løsninger til et system af lineære ligninger. Grundlæggende beslutningssystem (casestudie)

Vi vil fortsætte med at polere teknikken elementære transformationer på den homogent system af lineære ligninger.
I de første afsnit kan materialet virke kedeligt og almindeligt, men dette indtryk bedrager. Der vil være en masse ny information ud over at videreudvikle teknikkerne, så prøv ikke at forsømme eksemplerne i denne artikel.

Hvad er et homogent system af lineære ligninger?

Svaret tyder på sig selv. Et system af lineære ligninger er homogent, hvis det frie led af hver systemets ligninger er lig nul. For eksempel:

Det er helt klart et homogent system er altid kompatibelt, det vil sige, at den altid har en løsning. Og frem for alt det såkaldte trivielt opløsning ... Trivielt, for dem, der slet ikke forstår betydningen af ​​adjektivet, betyder bespontov. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ... Hvorfor slå om busken, lad os finde ud af, om dette system har andre løsninger:

Eksempel 1

Opløsning: for at løse et homogent system, er det nødvendigt at skrive system matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form. Bemærk venligst, at det ikke er nødvendigt at skrive den lodrette bjælke og nulkolonnen af ​​gratis medlemmer her - trods alt, uanset hvad du gør med nuller, forbliver de nuller:

(1) Den første linje ganget med –2 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med –3 blev lagt til den tredje linje.

(2) Den anden linje ganget med -1 blev tilføjet til den tredje linje.

At dividere den tredje række med 3 giver ikke meget mening.

Som et resultat af elementære transformationer blev et ækvivalent homogent system opnået , og ved at anvende Gauss-metodens omvendte forløb er det nemt at verificere, at løsningen er unik.

Svar:

Lad os formulere et oplagt kriterium: det homogene system af lineære ligninger har kun triviel løsning, hvis systemmatrix rang(i dette tilfælde 3) er lig med antallet af variable (i dette tilfælde - 3 stk.).

Vi varmer op og indstiller vores radiomodtager til bølgen af ​​elementære transformationer:

Eksempel 2

Løs et homogent system af lineære ligninger

For endelig at konsolidere algoritmen, lad os analysere den endelige opgave:

Eksempel 7

Løs et homogent system, skriv svaret på vektorform.

Opløsning: vi skriver systemets matrix ned og ved hjælp af elementære transformationer bringer vi det til en trinvis form:

(1) Tegnet på den første linje blev ændret. Endnu en gang gør jeg opmærksom på en teknik, som er blevet stødt på mange gange, og som giver dig mulighed for betydeligt at forenkle den næste handling.

(1) Den første linje blev tilføjet til 2. og 3. linje. Den første linje ganget med 2 blev lagt til den 4. linje.

(3) De sidste tre linjer er proportionale, to af dem er udgået.

Som et resultat opnås en standard trinmatrice, og løsningen fortsætter langs det riflede spor:

- grundlæggende variabler;
- frie variabler.

Lad os udtrykke de grundlæggende variabler i form af frie variable. Fra 2. ligning:

- erstatning i 1. ligning:

Så den generelle løsning er:

Da der i det betragtede eksempel er tre frie variable, indeholder grundsystemet tre vektorer.

Erstat de tre værdier ind i den generelle løsning og få en vektor, hvis koordinater opfylder hver ligning i det homogene system. Og igen gentager jeg, at det er yderst ønskeligt at kontrollere hver resulterende vektor - det vil ikke tage meget tid, men det vil spare hundrede procent fra fejl.

For en triplet af værdier find vektoren

Og endelig for trojkaen vi får den tredje vektor:

Svar: , hvor

De, der ønsker at undgå brøkværdier, kan overveje tripler. og få et tilsvarende svar:

Apropos brøker. Lad os se på matrixen opnået i opgaven og stil os selv et spørgsmål - er det muligt at forenkle den videre løsning? Her udtrykte vi jo først grundvariablen gennem brøker, derefter gennem brøker grundvariablen, og jeg må sige, processen var ikke den nemmeste og ikke den mest behagelige.

Anden løsning:

Tanken er at prøve vælge andre grundvariable... Lad os se på matricen og lægge mærke til to i den tredje kolonne. Så hvorfor ikke få et nul i toppen? Lad os udføre endnu en elementær transformation:

Lade M 0 er mængden af ​​løsninger til det homogene system (4) af lineære ligninger.

Definition 6.12. Vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s der er løsninger af et homogent system af lineære ligninger kaldes et grundlæggende sæt af løsninger(forkortet FNR) if

1) vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s lineært uafhængige (dvs. ingen af ​​dem kan udtrykkes i forhold til de andre);

2) enhver anden løsning af et homogent system af lineære ligninger kan udtrykkes i form af løsninger Med 1 ,Med 2 , …, med s.

Bemærk, at hvis Med 1 ,Med 2 , …, med s- enhver f.n.r., så udtrykket k 1 × Med 1 + k 2 × Med 2 + … + k p× med s hele sættet M 0 løsninger af system (4), derfor kaldes det overblik over systemløsningen (4).

Sætning 6.6. Ethvert ubestemt homogent system af lineære ligninger har et grundlæggende sæt af løsninger.

Måden at finde det grundlæggende sæt af løsninger er som følger:

Find den generelle løsning af et homogent system af lineære ligninger;

Konstruer ( n – r) særlige løsninger af dette system, mens værdierne af frie ukendte skal danne en enhedsmatrix;

Skriv en generel oversigt over løsningen inkluderet i M 0 .

Eksempel 6.5. Find et grundlæggende sæt af løsninger til følgende system:

Opløsning... Lad os finde en generel løsning på dette system.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ I dette system, fem ukendte ( n= 5), hvoraf to er de vigtigste ukendte ( r= 2), tre frie ukendte ( n – r), det vil sige, at det grundlæggende løsningssæt indeholder tre løsningsvektorer. Lad os bygge dem. Vi har x 1 og x 3 - vigtigste ukendte, x 2 , x 4 , x 5 - gratis ukendte

Værdier af gratis ukendte x 2 , x 4 , x 5 danner identitetsmatrixen E tredje orden. Vi har de vektorer Med 1 ,Med 2 , Med 3 form f.n.r. dette system. Så vil sættet af løsninger af dette homogene system være M 0 = {k 1 × Med 1 + k 2 × Med 2 + k 3 × Med 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).

Lad os nu afklare betingelserne for eksistensen af ​​ikke-nul-løsninger af et homogent system af lineære ligninger, med andre ord betingelserne for eksistensen af ​​et grundlæggende sæt af løsninger.

Et homogent system af lineære ligninger har ikke-nul-løsninger, det vil sige, det er ubestemt, hvis

1) rangeringen af ​​systemets hovedmatrix er mindre end antallet af ukendte;

2) i et homogent system af lineære ligninger er antallet af ligninger mindre end antallet af ukendte;

3) hvis antallet af ligninger i et homogent system af lineære ligninger er lig med antallet af ukendte, og determinanten af ​​grundmatricen er lig med nul (det vil sige | EN| = 0).

Eksempel 6.6... Ved hvilken værdi af parameteren -en homogent system af lineære ligninger har ikke-nul løsninger?

Opløsning... Lad os sammensætte hovedmatrixen for dette system og finde dets determinant: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - -en- 4. Determinanten af ​​denne matrix er lig med nul for -en = –4.

Svar: –4.

7. Aritmetik n-dimensionelt vektorrum

Basale koncepter

I de foregående afsnit har vi allerede stødt på konceptet med et sæt reelle tal arrangeret i en bestemt rækkefølge. Det er en række (eller kolonne) matrix og en løsning til et system af lineære ligninger med n ukendt. Disse oplysninger kan opsummeres.

Definition 7.1. n-dimensionel aritmetisk vektor kaldes et bestilt sæt af n reelle tal.

Midler -en= (en 1, en 2, ..., en n), hvor en jegÎ R, jeg = 1, 2, …, n- generelt billede af vektoren. Nummer n hedder dimension vektor, og tallene a jeg kaldte det koordinater.

For eksempel: -en= (1, –8, 7, 4,) er en femdimensionel vektor.

Hele sættet n-dimensionelle vektorer betegnes normalt som R n.

Definition 7.2. To vektorer -en= (en 1, en 2, ..., en n) og b= (b 1, b 2, ..., b n) af samme dimension er lige hvis og kun hvis deres tilsvarende koordinater er ens, dvs. a 1 = b 1, a 2 = b 2, ..., a n= b n.

Definition 7.3.Summen to n-dimensionelle vektorer -en= (en 1, en 2, ..., en n) og b= (b 1, b 2, ..., b n) kaldes en vektor -en + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ b n).

Definition 7.4. Efter produkt reelle tal k per vektor -en= (en 1, en 2, ..., en n) kaldes en vektor k× -en = (k× a 1, k× a 2,..., k× a n)

Definition 7.5. Vektor O= (0, 0, ..., 0) kaldes nul(eller nul-vektor).

Det er nemt at kontrollere, at handlingerne (operationerne) med at tilføje vektorer og gange dem med et reelt tal har følgende egenskaber: " -en, b, c Î R n, " k, lÎ R:

1) -en + b = b + -en;

2) -en + (b+ c) = (-en + b) + c;

3) -en + O = -en;

4) -en+ (–-en) = O;

5) 1 × -en = -en 1 ÎR;

6) k×( l× -en) = l×( k× -en) = (l× k)× -en;

7) (k + l)× -en = k× -en + l× -en;

8) k×( -en + b) = k× -en + k× b.

Definition 7.6. En masse R n med operationerne af addition af vektorer givet på det og deres multiplikation med et reelt tal kaldes aritmetisk n-dimensionelt vektorrum.

Løsningen af ​​systemer af lineære algebraiske ligninger (SLAE) er uden tvivl det vigtigste emne i det lineære algebrakursus. Et stort antal problemer fra alle grene af matematikken er reduceret til at løse lineære ligningssystemer. Disse faktorer forklarer årsagen til at oprette denne artikel. Artiklens materiale er udvalgt og struktureret, så du med dens hjælp kan

• vælg den optimale metode til at løse dit system af lineære algebraiske ligninger,
• studere teorien om den valgte metode,
• løse dit system af lineære ligninger ved i detaljer at overveje de analyserede løsninger af typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse af artiklens materiale.

Først giver vi alle de nødvendige definitioner og begreber og introducerer notationen.

Dernæst vil vi overveje metoder til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger, hvor antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte variable, og som har en unik løsning. Lad os først dvæle ved Cramers metode, for det andet vise en matrixmetode til løsning af sådanne ligningssystemer og for det tredje analysere Gauss-metoden (metoden til successiv eliminering af ukendte variable). For at konsolidere teorien vil vi helt sikkert løse flere SLAE'er på forskellige måder.

Derefter vender vi os til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger af generel form, hvor antallet af ligninger ikke falder sammen med antallet af ukendte variable, eller systemets hovedmatrix er degenereret. Lad os formulere Kronecker - Capelli-sætningen, som giver os mulighed for at etablere kompatibiliteten af ​​SLAE'er. Lad os analysere løsningen af ​​systemer (i tilfælde af deres kompatibilitet) ved hjælp af begrebet en grundlæggende mindre af en matrix. Vi vil også overveje Gauss-metoden og beskrive i detaljer eksemplernes løsninger.

Vi vil helt sikkert dvæle ved strukturen af ​​den generelle løsning af homogene og inhomogene systemer af lineære algebraiske ligninger. Lad os give begrebet et fundamentalt system af løsninger og vise, hvordan den generelle løsning af en SLAE er skrevet ved hjælp af vektorer af det fundamentale system af løsninger. For en bedre forståelse, lad os se på et par eksempler.

Afslutningsvis betragter vi ligningssystemer, der reducerer til lineære, såvel som forskellige problemer, i hvis løsning SLAE'er opstår.

Sidenavigation.

Definitioner, begreber, betegnelser.

Vi vil overveje systemer af p lineære algebraiske ligninger med n ukendte variable (p kan være lig med n) af formen

Ukendte variable, - koefficienter (nogle reelle eller komplekse tal), - frie led (også reelle eller komplekse tal).

Denne form for SLAE-notation kaldes koordinere.

V matrixform notation, dette ligningssystem har formen,
hvor - systemets hovedmatrix - matrixkolonnen med ukendte variable - matrixkolonnen af ​​frie medlemmer.

Tilføjer vi til matricen A som (n + 1) kolonne matrixkolonnen af ​​frie led, så får vi den s.k. udvidet matrix systemer af lineære ligninger. Normalt er den udvidede matrix angivet med bogstavet T, og kolonnen af ​​frie medlemmer er adskilt af en lodret linje fra resten af ​​kolonnerne, dvs.

Ved at løse et system af lineære algebraiske ligninger er et sæt værdier af ukendte variable, der konverterer alle systemets ligninger til identiteter. Matrixligningen for de givne værdier af de ukendte variable bliver også til en identitet.

Hvis et ligningssystem har mindst én løsning, så kaldes det samling.

Hvis ligningssystemet ikke har nogen løsninger, så kaldes det inkonsekvent.

Hvis SLAE har en unik løsning, så kaldes den et bestemt; hvis der er mere end én løsning, så - udefineret.

Hvis de frie led i alle systemets ligninger er lig med nul , så kaldes systemet homogen, Ellers - heterogen.

Løsning af elementære systemer af lineære algebraiske ligninger.

Hvis antallet af ligninger i systemet er lig med antallet af ukendte variable, og determinanten af ​​dets hovedmatrix ikke er lig med nul, vil sådanne SLAE'er blive kaldt elementære... Sådanne ligningssystemer har en unik løsning, og i tilfælde af et homogent system er alle ukendte variable lig med nul.

Vi begyndte at studere sådanne SLAE'er i gymnasiet. Når vi løste dem, tog vi en ligning, udtrykte en ukendt variabel i form af andre og substituerede den i de resterende ligninger, så tog vi den næste ligning, udtrykte den næste ukendte variabel og substituerede den i andre ligninger, og så videre. Eller de brugte additionsmetoden, det vil sige, de tilføjede to eller flere ligninger for at eliminere nogle ukendte variable. Vi vil ikke dvæle ved disse metoder i detaljer, da de i virkeligheden er modifikationer af Gauss-metoden.

De vigtigste metoder til løsning af elementære systemer af lineære ligninger er Cramers metode, matrixmetode og Gauss-metode. Lad os analysere dem.

Løsning af lineære ligningssystemer ved Cramers metode.

Antag, at vi skal løse et system af lineære algebraiske ligninger

hvor antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte variable, og determinanten for systemets hovedmatrix er ikke-nul, dvs.

Lade være determinanten for systemets hovedmatrix, og - determinanter for matricer, som fås fra A ved at erstatte 1., 2., ..., n kolonne, henholdsvis til kolonnen af ​​gratis medlemmer:

Med denne notation beregnes de ukendte variable ved formlerne i Cramers metode som ... Sådan findes løsningen af ​​et system af lineære algebraiske ligninger ved Cramers metode.

Eksempel.

Cramers metode .

Opløsning.

Systemets hovedmatrix har formen ... Lad os beregne dens determinant (se om nødvendigt artiklen):

Da determinanten for systemets hovedmatrix ikke er nul, har systemet en unik løsning, som kan findes ved Cramers metode.

Lad os sammensætte og beregne de nødvendige determinanter (determinanten opnås ved at erstatte den første søjle i matrix A med en søjle af frie medlemmer, determinanten - ved at erstatte den anden søjle med en søjle af frie elementer, - ved at erstatte den tredje søjle af matrix A med en søjle af frie medlemmer ):

Find ukendte variable ved hjælp af formlerne :

Svar:

Den største ulempe ved Cramers metode (hvis den kan kaldes en ulempe) er kompleksiteten ved at beregne determinanter, når antallet af ligninger i systemet er mere end tre.

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger ved matrixmetoden (ved hjælp af den inverse matrix).

Lad systemet af lineære algebraiske ligninger være givet på matrixform, hvor matrix A har dimension n med n, og dens determinant er ikke-nul.

Da matricen A er inverterbar, det vil sige, at der er en invers matrix. Hvis vi gange begge sider af ligheden med venstre, får vi en formel til at finde kolonnematrixen af ​​ukendte variable. Så vi fik løsningen af ​​et system af lineære algebraiske ligninger ved matrixmetoden.

Eksempel.

Løs et system af lineære ligninger matrix metode.

Opløsning.

Lad os omskrive ligningssystemet i matrixform:

Fordi

så kan SLAE løses ved matrixmetoden. Ved hjælp af den inverse matrix kan løsningen til dette system findes som .

Lad os konstruere en invers matrix ved hjælp af en matrix af algebraiske komplementer af elementer i matrix A (se om nødvendigt artiklen):

Det er tilbage at beregne - matrixen af ​​ukendte variabler ved at gange den inverse matrix til en kolonnematrix af gratis medlemmer (se artiklen om nødvendigt):

Svar:

eller i en anden notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet med at finde en løsning på systemer af lineære algebraiske ligninger ved hjælp af matrixmetoden er kompleksiteten i at finde den inverse matrix, især for kvadratiske matricer af større orden end den tredje.

Løsning af lineære ligningssystemer ved Gauss-metoden.

Antag, at vi skal finde en løsning til et system af n lineære ligninger med n ukendte variable
hvis determinant for hovedmatrixen ikke er nul.

Essensen af ​​Gauss-metoden består i successiv eliminering af ukendte variable: først udelukkes x 1 fra alle systemets ligninger, startende med den anden, derefter udelukkes x 2 fra alle ligninger, startende med den tredje, og så videre, indtil kun den ukendte variabel xn forbliver i den sidste ligning. En sådan proces med at transformere systemets ligninger for successiv eliminering af ukendte variable kaldes ved Gauss-metodens direkte forløb... Efter at have afsluttet den fremadgående kørsel af Gauss-metoden, findes x n fra den sidste ligning, ved hjælp af denne værdi beregnes x n-1 ud fra den næstsidste ligning, og så videre, x 1 findes fra den første ligning. Processen med at beregne ukendte variable, når man går fra systemets sidste ligning til den første, kaldes baglæns Gauss-metode.

Lad os kort beskrive algoritmen til at eliminere ukendte variable.

Det vil vi antage, da vi altid kan opnå dette ved at omarrangere systemets ligninger. Eliminer den ukendte variabel x 1 fra alle systemets ligninger, startende med den anden. For at gøre dette tilføjer vi den første, ganget med, til den anden ligning i systemet, til den tredje ligning tilføjer vi den første, ganget med, og så videre, til den n-te ligning lægger vi den første, ganget med. Ligningssystemet efter sådanne transformationer antager formen

hvor, og .

Vi ville komme til det samme resultat, hvis vi udtrykte x 1 i form af andre ukendte variable i systemets første ligning og substituerede det resulterende udtryk i alle andre ligninger. Variablen x 1 er således udelukket fra alle ligninger, begyndende med den anden.

Dernæst handler vi på lignende måde, men kun med en del af det resulterende system, som er markeret i figuren

For at gøre dette lægger vi til den tredje ligning i systemet den anden ganget med, til den fjerde ligning lægger vi den anden ganget med, og så videre, til den n-te ligning lægger vi den anden ganget med. Ligningssystemet efter sådanne transformationer antager formen

hvor, og ... Variablen x 2 er således udelukket fra alle ligninger, begyndende med den tredje.

Dernæst går vi videre til elimineringen af ​​det ukendte x 3, mens vi handler på samme måde med den del af systemet, der er markeret i figuren

Så vi fortsætter Gauss-metodens direkte forløb, indtil systemet tager formen

Fra dette øjeblik begynder vi det omvendte forløb af Gauss-metoden: vi beregner xn fra den sidste ligning, da vi ved hjælp af den opnåede værdi af xn finder x n-1 fra den næstsidste ligning, og så videre finder vi x 1 fra den første ligning.

Eksempel.

Løs et system af lineære ligninger efter Gauss-metoden.

Opløsning.

Eliminer den ukendte variabel x 1 fra den anden og tredje ligning i systemet. For at gøre dette skal du tilføje de tilsvarende dele af den første ligning, ganget med og med, til begge sider af den anden og tredje ligning:

Nu udelukker vi x 2 fra den tredje ligning ved at lægge venstre og højre side af den anden ligning til venstre og højre side ganget med:

På dette tidspunkt er den fremadgående bevægelse af Gauss-metoden forbi, vi begynder den omvendte bevægelse.

Fra den sidste ligning i det resulterende ligningssystem finder vi x 3:

Fra den anden ligning får vi.

Fra den første ligning finder vi den resterende ukendte variabel, og dette fuldender Gauss-metodens omvendte forløb.

Svar:

X1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger af generel form.

I det generelle tilfælde falder antallet af ligninger i systemet p ikke sammen med antallet af ukendte variable n:

Sådanne SLAE'er har muligvis ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendeligt mange løsninger. Dette udsagn gælder også for ligningssystemer, hvis grundmatrix er kvadratisk og degenereret.

Kronecker - Capelli-sætningen.

Før man finder en løsning til et system af lineære ligninger, er det nødvendigt at fastslå dets kompatibilitet. Svaret på spørgsmålet, hvornår SLAE er kompatibel, og hvornår det er inkompatibelt, er givet af Kronecker - Capelli-sætningen:
for at et system af p ligninger med n ukendte (p kan være lig med n) er konsistent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rangeringen af ​​systemets hovedmatrix er lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix, dvs. (A) = Rang (T).

Lad os som eksempel overveje anvendelsen af ​​Kronecker - Capelli-sætningen til at bestemme kompatibiliteten af ​​et system af lineære ligninger.

Eksempel.

Find ud af om systemet af lineære ligninger løsninger.

Opløsning.

... Lad os bruge metoden til grænsende mindreårige. Mindre af anden orden ikke nul. Lad os sortere de mindreårige af tredje orden, der grænser op til det:

Da alle tilgrænsende mindreårige af tredje orden er lig med nul, er rangen af ​​hovedmatrixen to.

Til gengæld er rangen af ​​den udvidede matrix er lig med tre, da tredje ordens mindre

ikke nul.

På denne måde Rang (A), derfor kan vi ved Kronecker - Capelli-sætningen konkludere, at det oprindelige system af lineære ligninger er inkonsekvent.

Svar:

Systemet har ingen løsninger.

Så vi har lært at fastslå inkonsistensen af ​​systemet ved hjælp af Kronecker - Capelli-sætningen.

Men hvordan finder man en løsning på en SLAE, hvis dens kompatibilitet er blevet etableret?

For at gøre dette har vi brug for begrebet en grundlæggende mol af en matrix og en sætning om rang af en matrix.

Den højeste ordens moll af matricen A, bortset fra nul, kaldes grundlæggende.

Det følger af definitionen af ​​en grundlæggende mindreårig, at dens rækkefølge er lig med matrixens rang. For en matrix A, der ikke er nul, kan der være flere grundlæggende bifag; der er altid en grundlæggende bifag.

Overvej f.eks. matrixen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrix er lig med nul, da elementerne i den tredje række af denne matrix er summen af ​​de tilsvarende elementer i den første og anden række.

Følgende andenordens mindreårige er grundlæggende, da de ikke er nul

Mindreårige er ikke grundlæggende, da de er lig nul.

Matrix rang sætning.

Hvis rangeringen af ​​en matrix af orden p ved n er lig med r, så er alle elementer i rækkerne (og kolonnerne) i matrixen, der ikke danner den valgte grundmol, lineært udtrykt i form af de tilsvarende elementer i rækkerne ( og kolonner), der udgør det grundlæggende bifag.

Hvad giver matrix-rangsætningen os?

Hvis vi ved hjælp af Kronecker - Capelli-sætningen har fastslået systemets kompatibilitet, så vælger vi en hvilken som helst grundlæggende mindre af systemets grundmatrix (dets rækkefølge er r), og vi udelukker fra systemet alle ligninger, der ikke dannes det valgte grundfag. Den på denne måde opnåede SLAE vil være ækvivalent med den oprindelige, da de kasserede ligninger stadig er overflødige (ifølge matrixrangsætningen er de en lineær kombination af de resterende ligninger).

Som et resultat, efter at have kasseret unødvendige ligninger af systemet, er to tilfælde mulige.

Hvis antallet af ligninger r i det resulterende system er lig med antallet af ukendte variable, så vil det være bestemt, og den eneste løsning kan findes ved Cramers metode, matrixmetode eller Gauss metode.

Eksempel.

.

Opløsning.

Rangeringen af ​​systemets hovedmatrix er lig med to, da anden ordens mol ikke nul. Udvidet Matrix Rank er også lig med to, da den eneste mol af tredje orden er lig nul

og andenordens mol betragtet ovenfor er ikke nul. Baseret på Kronecker - Capelli-sætningen kan vi hævde kompatibiliteten af ​​det oprindelige system af lineære ligninger, da Rank (A) = Rank (T) = 2.

Vi tager som et grundlæggende bifag ... Det er dannet af koefficienterne for den første og anden ligning:


Systemets tredje ligning deltager ikke i dannelsen af ​​den grundlæggende minor; derfor udelukker vi den fra systemet baseret på sætningen om matrixens rang:


Sådan fik vi et elementært system af lineære algebraiske ligninger. Lad os løse det ved hjælp af Cramers metode:


Svar:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Hvis antallet af ligninger r i den opnåede SLAE er mindre end antallet af ukendte variable n, så forlader vi i venstre side af ligningerne de led, der danner grundmol, resten af ​​ledene overføres til højre -hånd sider af systemets ligninger med modsat fortegn.

Ukendte variable (der er r af dem), der er tilbage i venstre side af ligningerne, kaldes det vigtigste.

Ukendte variable (der er n - r stykker), der optræder i højre side kaldes gratis.

Nu antager vi, at frie ukendte variable kan tage vilkårlige værdier, og r grundlæggende ukendte variabler vil blive udtrykt i form af frie ukendte variabler på en unik måde. Deres udtryk kan findes ved at løse det opnåede SLAE ved Cramer-metoden, ved matrix-metoden eller ved Gauss-metoden.

Lad os tage et eksempel.

Eksempel.

Løs et system af lineære algebraiske ligninger .

Opløsning.

Find rangeringen af ​​systemets hovedmatrix ved metoden med at grænse mindreårige. Vi tager et 1 1 = 1 som en førsteordens mol, der ikke er nul. Lad os begynde at lede efter en andenordens mol, der ikke er nul, der omgiver dette bifag:


Sådan fandt vi en andenordens mindreårig. Lad os begynde at lede efter et biord af tredje orden, der ikke grænser op til nul:


Således er rangen af ​​hovedmatrixen tre. Rangeringen af ​​den udvidede matrix er også tre, det vil sige, at systemet er konsistent.

Vi tager den fundne ikke-nul tredje-ordens mol som den grundlæggende.

For klarhedens skyld viser vi de elementer, der udgør det grundlæggende bifag:


Vi efterlader på venstre side af systemets ligninger termerne, der deltager i den grundlæggende mindre, overfører resten med modsatte fortegn til højre sider:


Lad os tildele vilkårlige værdier til de frie ukendte variable x 2 og x 5, det vil sige, vi tager , hvor er vilkårlige tal. I dette tilfælde vil SLAE antage formen


Det resulterende elementære system af lineære algebraiske ligninger løses ved Cramers metode:


Derfor,.

Glem ikke at angive gratis ukendte variabler i dit svar.

Svar:

Hvor er vilkårlige tal.

Sammenfatte.

For at løse et system af lineære algebraiske ligninger af generel form, finder vi først ud af dets kompatibilitet ved hjælp af Kronecker - Capelli-sætningen. Hvis rangeringen af ​​hovedmatricen ikke er lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix, konkluderer vi, at systemet er inkompatibelt.

Hvis rangen af ​​hovedmatricen er lig med rangen af ​​den udvidede matrix, vælger vi den grundlæggende mindre og kasserer systemets ligninger, der ikke deltager i dannelsen af ​​den valgte grundmal.

Hvis rækkefølgen af ​​den grundlæggende minor er lig med antallet af ukendte variable, så har SLAE en unik løsning, som vi finder ved enhver kendt metode.

Hvis rækkefølgen af ​​den grundlæggende minor er mindre end antallet af ukendte variable, så lader vi på venstre side af systemets ligninger termerne med de grundlæggende ukendte variable, overføre de resterende led til højre side og giv vilkårlige værdier til de frie ukendte variabler. Fra det resulterende system af lineære ligninger finder vi de vigtigste ukendte variable ved Cramer-metoden, matrixmetoden eller Gauss-metoden.

Gauss-metode til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger af generel form.

Gauss-metoden kan bruges til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger af enhver art uden først at undersøge dem for kompatibilitet. Processen med successiv eliminering af ukendte variabler gør det muligt at konkludere både kompatibiliteten og inkompatibiliteten af ​​SLAE, og hvis der findes en løsning, gør den det muligt at finde den.

Ud fra et beregningsmæssigt arbejde er den Gaussiske metode at foretrække.

Se dens detaljerede beskrivelse og analyserede eksempler i artiklen Gauss' metode til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger af generel form.

At skrive den generelle løsning af homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved hjælp af vektorer af det fundamentale system af løsninger.

I dette afsnit vil vi fokusere på kompatible homogene og inhomogene systemer af lineære algebraiske ligninger med et uendeligt sæt af løsninger.

Lad os først beskæftige os med homogene systemer.

Grundlæggende beslutningssystem Et homogent system af p lineære algebraiske ligninger med n ukendte variable er mængden (n - r) af lineært uafhængige løsninger af dette system, hvor r er rækkefølgen af ​​den grundlæggende mol af systemets grundmatrix.

Hvis vi betegner lineært uafhængige løsninger af en homogen SLAE som X (1), X (2), ..., X (nr) (X (1), X (2), ..., X (nr) er n-by-1 kolonnematricer), så er den generelle løsning af dette homogene system repræsenteret i form af en lineær kombination af vektorer af det fundamentale system af løsninger med vilkårlige konstante koefficienter С 1, С 2, ..., С (nr), dvs. ,.

Hvad betyder udtrykket generel løsning af et homogent system af lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formlen specificerer alle mulige løsninger af den oprindelige SLAE, med andre ord, idet den tager ethvert sæt værdier af vilkårlige konstanter С 1, С 2, ..., С (nr), ifølge formlen vi få en af ​​løsningerne af den originale homogene SLAE.

Således, hvis vi finder et grundlæggende system af løsninger, så kan vi indstille alle løsninger af denne homogene SLAE som.

Lad os vise processen med at konstruere et grundlæggende system af løsninger til en homogen SLAE.

Vi vælger den grundlæggende mol af det oprindelige system af lineære ligninger, udelukker alle andre ligninger fra systemet og overfører alle led, der indeholder frie ukendte variable til højre side af systemets ligninger med modsatte fortegn. Lad os give de frie ukendte variable værdierne 1,0,0, ..., 0 og beregne de grundlæggende ukendte ved at løse det resulterende elementære system af lineære ligninger på en hvilken som helst måde, for eksempel ved Cramers metode. Dette vil give X (1) - den første løsning til det grundlæggende system. Hvis vi giver de frie ubekendte værdierne 0,1,0,0, ..., 0 og beregner de vigtigste ubekendte, får vi X (2). Etc. Hvis vi giver værdierne 0,0, ..., 0,1 til de frie ukendte variable og beregner de grundlæggende ukendte, får vi X (n-r). Sådan vil det grundlæggende system af løsninger af en homogen SLAE blive konstrueret, og dens generelle løsning kan skrives i form.

For inhomogene systemer af lineære algebraiske ligninger er den generelle løsning repræsenteret i formen, hvor er den generelle løsning af det tilsvarende homogene system, og er den særlige løsning af den oprindelige inhomogene SLAE, som vi opnår ved at give de frie ukendte værdierne ​​0,0, ..., 0 og beregning af værdierne af de vigtigste ukendte.

Lad os tage et kig på eksempler.

Eksempel.

Find det fundamentale system af løsninger og den generelle løsning af det homogene system af lineære algebraiske ligninger .

Opløsning.

Rangeringen af ​​hovedmatrixen af ​​homogene systemer af lineære ligninger er altid lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix. Lad os finde rangeringen af ​​hovedmatricen ved hjælp af grænsende mindreårige metode. Som et første-ordens mol, der ikke er nul, tager vi elementet a 1 1 = 9 af systemets hovedmatrix. Find en tilgrænsende andenordens biord som ikke er nul:

En mindreårig andenordens mindreårig er blevet fundet. Lad os iterere over de mindreårige af tredje orden, der grænser op til det, på jagt efter en, der ikke er nul:

Alle tilgrænsende mindreårige af den tredje orden er lig med nul, derfor er rangen af ​​de vigtigste og udvidede matricer lig med to. Tag som et grundlæggende bifag. For klarhedens skyld bemærker vi de elementer i systemet, der danner det:

Den tredje ligning af den oprindelige SLAE deltager ikke i dannelsen af ​​den grundlæggende mindre, derfor kan den udelukkes:

Vi efterlader på højre side af ligningerne termerne, der indeholder de vigtigste ukendte, og på højre side overfører vi udtrykkene med frie ubekendte:

Lad os konstruere et grundlæggende system af løsninger til det oprindelige homogene system af lineære ligninger. Det grundlæggende system af løsninger af denne SLAE består af to løsninger, da den oprindelige SLAE indeholder fire ukendte variabler, og rækkefølgen af ​​dens grundlæggende mindre er to. For at finde X (1) tildeler vi de frie ukendte variable værdierne x 2 = 1, x 4 = 0, derefter finder vi de vigtigste ukendte fra ligningssystemet
.

Opløsninger af et homogent system har følgende egenskaber. Hvis vektoren = (α 1, α 2, ..., α n) er en løsning til system (15.14), derefter for et hvilket som helst tal k vektor k = (ka 1 , ka 2 , ..., kα n) vil være løsningen på dette system. Hvis løsningen til systemet (15.14) er vektoren = (γ 1, γ 2, ..., γ n), derefter summen + vil også være løsningen på dette system. Derfor følger det enhver lineær kombination af løsninger til et homogent system er også en løsning til dette system.

Som vi ved fra afsnit 12.2, kan ethvert system n-dimensionelle vektorer, bestående af mere end P vektorer er lineært afhængige. Fra sættet af opløsningsvektorer af det homogene system (15.14) kan man således vælge en basis, dvs. enhver løsningsvektor for et givet system vil være en lineær kombination af vektorer på denne basis. Ethvert sådant grundlag kaldes grundlæggende beslutningssystem homogent system af lineære ligninger. Følgende sætning er sand, som vi præsenterer uden bevis.

SÆTNING 4. Hvis rang r af systemet af homogene ligninger(15.14) er mindre end antallet af ukendte n, så ethvert grundlæggende system af løsninger til systemet (15.14) består af n - r løsninger.

Lad os nu angive en metode til at finde det fundamentale system af løsninger (FSS). Lad systemet af homogene ligninger (15.14) have rang r< п. Så, som følger af Cramers regler, er grundlaget ukendt for dette system x 1 , x 2 , … x r er lineært udtrykt i form af frie variable x r + 1 , xr+ 2 , ..., x n:

Lad os udskille særlige løsninger af det homogene system (15.14) i henhold til følgende princip. For at finde den første løsningsvektor 1 skal du sætte x r + 1 = 1, x r + 2 = xr+3 = ... = x n= 0. Så finder vi den anden løsning 2: vi tager x r+2 = 1 og resten r- 1 frie variable er sat som nuller. Med andre ord tildeler vi sekventielt hver fri variabel en én-værdi, og sætter resten med nuller. Således det grundlæggende system af løsninger i vektorform, under hensyntagen til den første r basisvariable (15.15) har formen

FSR (15.16) er et af de grundlæggende sæt af løsninger til det homogene system (15.14).

Eksempel 1. Find løsningen og FSR for systemet af homogene ligninger

Opløsning. Vi vil løse dette system ved Gauss-metoden. Da antallet af ligninger i systemet er mindre end antallet af ukendte, antager vi x 1 , x 2 , x 3 grundlæggende ukendte, og x 4 , X 5 , x 6 - frie variabler. Lad os sammensætte en udvidet matrix af systemet og udføre de handlinger, der udgør metodens direkte forløb.