Pifagor teoremasining tuzilishi. To'g'ri uchburchak haqida tushuncha
Maktab o'quv dasturida o'rganiladigan Pifagor teoremasi tarixi bilan qiziquvchilarni 1940 yilda oddiy ko'rinadigan teoremaning uch yuz etmishta isboti bo'lgan kitobning nashr etilishi kabi fakt qiziqtiradi. Ammo u turli davrlarning ko'plab matematiklari va faylasuflarining ongini qiziqtirgan. Ginnes rekordlar kitobida u teorema sifatida eng ko'p dalillar bilan yozilgan.
Pifagor teoremasining tarixi
Pifagor nomi bilan bog'liq teorema buyuk faylasuf tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Shunday qilib, Misrda, inshootlarni qurishda, besh ming yil oldin to'rtburchaklar uchburchaklarining nisbati hisobga olingan. Bobil matnlarida Pifagor tug'ilishidan 1200 yil oldin to'g'ri burchakli uchburchakning bir xil nisbati tilga olingan.
Savol tug'iladi, nima uchun hikoya ketadi - Pifagor teoremasining kelib chiqishi unga tegishli? Faqat bitta javob bo'lishi mumkin - u tomonlar nisbatini uchburchakda isbotladi. U bir necha asrlar oldin, eksperimental ravishda aniqlangan nisbati va gipotenuzasini ishlatganlar buni qilmagan.
Pifagor hayotidan
Bo'lajak buyuk olim, matematik, faylasuf miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan. Tarixiy hujjatlarda marvarid o'yuvchi bo'lgan Pifagorning otasi haqidagi ma'lumotlar saqlanib qolgan, ammo onasi haqida hech qanday ma'lumot yo'q. Ular tug'ilgan bola haqida, bu bolaligidan musiqa va she'riyatga ishtiyoq ko'rsatgan g'ayrioddiy bola ekanligini aytishdi. Tarixchilar yosh Pifagor o'qituvchilarini Sirosning Hermodamantes va Ferekidlari deb atashadi. Birinchisi bolani muslar dunyosi bilan tanishtirdi, ikkinchisi - faylasuf va Italiya falsafa maktabining asoschisi bo'lib, yigitning nigohini logotiplarga qaratdi.
Pifagor 22 yoshida (miloddan avvalgi 548) Misrliklar tili va dinini o'rganish uchun Navcratisga borgan. Bundan tashqari, uning yo'li Memfisda bo'lib o'tdi, u erda ruhoniylar o'zlarining hiyla -nayrang sinovlaridan o'tib, Misr geometriyasini tushundilar, bu, ehtimol, qiziquvchan yigitni Pifagor teoremasini isbotlashga undadi. Tarix keyinchalik bu nomni teoremaga beradi.
Bobil shohi tomonidan qo'lga olingan
Ellada uyiga ketayotganda, Pifagor Bobil shohi tomonidan asirga olinadi. Ammo asirlikda bo'lish, yangi matematikning qiziquvchan ongiga foyda keltirar edi, u ko'p narsalarni o'rganishi kerak edi. Darhaqiqat, o'sha yillarda Bobilda matematika Misrga qaraganda ancha rivojlangan edi. U o'n ikki yil matematika, geometriya va sehrni o'rgangan. Va, ehtimol, Bobil geometriyasi uchburchak tomonlarining nisbati va teoremaning ochilish tarixini isbotlashda ishtirok etgan. Pifagorada buning uchun etarli bilim va vaqt bor edi. Ammo bu Bobilda bo'lgani uchun, buni hech qanday hujjatli tasdiq yoki rad etish yo'q.
Miloddan avvalgi 530 yilda. Pifagor asirlikdan o'z vataniga qochadi, u erda zolim Polikratlar saroyida yarim qul maqomida yashaydi. Bunday hayot Pifagorga to'g'ri kelmaydi va u Samos g'orlariga nafaqaga chiqadi, so'ngra Italiyaning janubiga boradi, u erda o'sha paytda Yunonistonning Kroton koloniyasi joylashgan edi.
Yashirin monastir ordeni
Bu koloniya asosida Pifagor bir vaqtning o'zida diniy ittifoq va ilmiy jamiyat bo'lgan maxfiy monastir tartibini uyushtirdi. Bu jamiyatning o'ziga xos turmush tarziga rioya qilish haqida gapiradigan o'z nizomi bor edi.
Pifagorning ta'kidlashicha, Xudoni tushunish uchun odam algebra va geometriya kabi fanlarni o'rganishi, astronomiyani bilishi va musiqani tushunishi kerak. Tadqiqot ishlari raqamlar va falsafaning mistik tomonini bilish darajasiga tushirildi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'sha paytda Pifagor tomonidan targ'ib qilingan tamoyillar hozirgi vaqtda taqlid qilish mantiqan.
Pifagor shogirdlari kashfiyotlarining ko'pi unga tegishli edi. Shunga qaramay, bir so'z bilan aytganda, o'sha davrning qadimgi tarixchilari va biograflari tomonidan Pifagor teoremasini yaratish tarixi bevosita shu faylasuf, mutafakkir va matematikning nomi bilan bog'liq.
Pifagor ta'limoti
Balki teorema va Pifagor nomi o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi g'oyani tarixchilar buyuk yunonning hayotimizdagi barcha hodisalar oyoqlari va gipotenuzasi bilan mashhur uchburchakda shifrlanganligi haqidagi bayonoti bilan qo'zg'atgandir. Va bu uchburchak paydo bo'lgan barcha muammolarni hal qilishning "kaliti" dir. Buyuk faylasuf uchburchakni ko'rish kerakligini aytdi, keyin muammo uchdan ikki qismi hal qilingan deb taxmin qilishimiz mumkin.
Pifagor o'z ta'limoti haqida faqat o'z o'quvchilariga og'zaki, hech qanday yozuvlarsiz, sir saqlagan. Afsuski, buyuk faylasuf ta'limoti shu kungacha saqlanib qolmagan. Biror narsa chiqib ketdi, lekin ma'lum bo'lgan narsada qanchalik haqiqat va qanchalik yolg'on ekanligini aytish mumkin emas. Hatto Pifagor teoremasi tarixi bilan ham hamma narsa shubhasiz emas. Matematika tarixchilari Pifagor muallifligiga shubha qilishadi; ularning fikricha, teorema uning tug'ilishidan ko'p asrlar oldin ishlatilgan.
Pifagor teoremasi
Bu g'alati tuyulishi mumkin, lekin teoremani Pifagorning o'zi isbotlaganiga tarixiy dalillar yo'q - na arxivda, na boshqa manbalarda. Zamonaviy versiyada, bu Evklidning o'ziga tegishli emas deb ishoniladi.
Miloddan avvalgi 2300 yillar atrofida misrliklar tomonidan yozib olingan Berlin muzeyida saqlanayotgan papirusni topgan matematikaning eng buyuk tarixchilaridan biri Morits Kantordan dalillar bor. NS. tenglik, o'qiladigan: 3² + 4² = 5².
Pifagor teoremasi tarixidan qisqacha
Evklidning "Printsiplar" teoremasini shakllantirish, tarjimada, hozirgi talqinda bo'lgani kabi eshitiladi. O'qishda hech qanday yangilik yo'q: to'g'ri burchakka qarama -qarshi tomonning kvadrati to'g'ri burchakka ulashgan tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng. Hindiston va Xitoyning qadimgi tsivilizatsiyalari teoremadan foydalanganligi "Chjou - bi xuan jin" risolasi bilan tasdiqlangan. Unda tomonlar nisbati 3: 4: 5 sifatida tasvirlangan Misr uchburchagi haqidagi ma'lumotlar mavjud.
Boshqa bir xitoy matematik kitobi "Chu-pei" ham qiziq emas, u ham Pifagor uchburchagi tushuntiradi va Basharaning hind geometriyasi chizmalariga to'g'ri keladi. Kitobda uchburchakning o'zi haqida shunday yozilganki, agar to'g'ri burchakni uning tarkibiy qismlariga ajratish mumkin bo'lsa, u holda qirralarning uchlarini bog'laydigan chiziq beshga teng bo'ladi, agar poydevori uchga, balandligi esa. to'rtga teng.
Miloddan avvalgi VII-V asrlarga oid "Sulva sutra" hind risolasi. e., Misr uchburchagi yordamida to'g'ri burchak qurish haqida gapiradi.
Teoremaning isboti
O'rta asrlarda talabalar teoremani isbotlashni juda qiyin deb hisoblashgan. Zaif o'quvchilar isbotning ma'nosini tushunmay turib, teoremalarni yoddan o'rganishdi. Shu munosabat bilan ular "eshaklar" laqabini oldilar, chunki Pifagor teoremasi ular uchun eshak uchun ko'prik kabi engib bo'lmas to'siq edi. O'rta asrlarda talabalar ushbu teorema mavzusida kulgili oyatni o'ylab topishgan.
Pifagor teoremasini eng oson usulda isbotlash uchun, dalillarda maydon tushunchasini ishlatmasdan, uning qirralarini o'lchash kifoya. To'g'ri burchakka qarama -qarshi tomonning uzunligi c, qo'shni a va b, natijada biz tenglamani olamiz: a 2 + b 2 = c 2. Bu bayon, yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining uzunligini o'lchash orqali tasdiqlanadi.
Agar teorema isbotini uchburchakning yon tomonlarida qurilgan to'rtburchaklar maydonini hisobga olgan holda boshlasangiz, butun rasmning maydonini aniqlash mumkin. Bu yon tomoni (a + b) bo'lgan kvadrat maydoniga teng bo'ladi, boshqa tomondan to'rtta uchburchak va ichki kvadrat maydonlarining yig'indisi.
(a + b) 2 = 4 x ab / 2 + c 2;
a 2 + 2ab + b 2;
c 2 = a 2 + b 2, kerak bo'lganda.
Pifagor teoremasining amaliy ahamiyati shundaki, uning yordamida segmentlarning uzunligini o'lchovsiz topish mumkin. Konstruktsiyalarni qurishda masofalar hisoblab chiqiladi, tayanchlar va nurlarning joylashishi, tortishish markazlari aniqlanadi. Pifagor teoremasi barcha zamonaviy texnologiyalarda qo'llaniladi. Biz 3D-6D o'lchamdagi filmni yaratishda teorema haqida unutmadik, bu erda odatdagi 3 o'lchovdan tashqari: balandlik, uzunlik, kenglik, vaqt, hid va ta'm ham hisobga olinadi. Ta'm va hid teoremaga qanday bog'liq - siz so'raysizmi? Hammasi juda oddiy - filmni ko'rsatayotganda, auditoriyada qaerga va nimani hid va ta'mga yuborish kerakligini hisoblash kerak.
Bu faqat boshlanishi. Qiziquvchan aql yangi texnologiyalarni kashf etish va yaratish uchun cheksiz imkoniyatlarni kutmoqda.
Siz birinchi marta kvadrat ildizlarni va irratsional tenglamalarni (ildiz belgisi ostida noma'lum bo'lgan tengliklarni) echishni o'rganishni boshlaganingizda, ehtimol siz ulardan amaliy foydalanish haqida birinchi tasavvurga ega bo'lgansiz. Sonlarning kvadrat ildizini ajratish qobiliyati Pifagor teoremasini qo'llash masalalarini hal qilish uchun ham zarurdir. Bu teorema har qanday to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining uzunligini bog'laydi.
To'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari uzunliklari (to'g'ri burchak ostida bir-biriga yaqinlashadigan ikki tomoni) harflar bilan, va gipotenuzaning uzunligi (to'g'ri burchakka qarama-qarshi uchburchakning eng uzun tomoni) bilan belgilansin. xat. Keyin mos keladigan uzunliklar quyidagi bog'liqlik bilan bog'liq:
Bu tenglama sizga to'g'ri burchakli uchburchakning boshqa ikki tomonining uzunligi ma'lum bo'lganida, uning tomonining uzunligini topishga imkon beradi. Bundan tashqari, u ko'rib chiqilayotgan uchburchakning to'rtburchagi to'g'ri yoki yo'qligini aniqlashga imkon beradi, agar uch tomonning uzunligi oldindan ma'lum bo'lsa.
Pifagor teoremasi yordamida muammolarni hal qilish
Materialni mustahkamlash uchun biz Pifagor teoremasini qo'llash bo'yicha quyidagi muammolarni hal qilamiz.
Shunday qilib, berilgan:
- Bir oyog'ining uzunligi 48, gipotenuzasi 80.
- Oyoq uzunligi 84, gipotenuz 91.
Keling, hal qilishni boshlaylik:
a) Ma'lumotlarni yuqoridagi tenglamaga almashtirish quyidagi natijalarni beradi:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 yoki b = -64
Uchburchakning yon uzunligi manfiy son sifatida ifodalanishi mumkin emasligi sababli, ikkinchi variant avtomatik ravishda bekor qilinadi.
Birinchi raqamga javob: b = 64.
b) Ikkinchi uchburchak oyog'ining uzunligi xuddi shunday topilgan:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 yoki b = -35
Oldingi holatda bo'lgani kabi, salbiy qaror bekor qilinadi.
Ikkinchi raqamga javob: b = 35
Bizga berilgan:
- Uchburchakning kichik tomonlarining uzunligi mos ravishda 45 va 55, kattaroqlari esa 75 ga teng.
- Uchburchakning kichik tomonlarining uzunligi mos ravishda 28 va 45, kattaroqlari esa 53 ga teng.
Biz muammoni hal qilamiz:
a) Bu uchburchakning kichik tomonlari uzunliklari kvadratlari yig'indisi kattaroq uzunlik kvadratiga tengligini tekshirish kerak:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Shuning uchun birinchi uchburchak to’g’ri burchakli emas.
b) xuddi shunday operatsiya bajariladi:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Shuning uchun, ikkinchi uchburchak to'g'ri burchakli.
Birinchidan, (-2, -3) va (5, -2) koordinatali nuqtalar hosil qilgan eng katta segmentning uzunligini toping. Buning uchun biz to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtalar orasidagi masofani topishning mashhur formulasidan foydalanamiz:
Xuddi shunday, (-2, -3) va (2, 1) koordinatali nuqtalar orasidagi chegaraning uzunligini topamiz:
Nihoyat, (2, 1) va (5, -2) koordinatali nuqta orasidagi segment uzunligini aniqlaymiz:
Tenglik mavjud bo'lganligi sababli:
keyin mos keladigan uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladi.
Shunday qilib, biz muammoning javobini shakllantirishimiz mumkin: eng kichik uzunlikdagi tomonlarning kvadratlari yig'indisi eng katta uzunlikdagi tomonning kvadratiga teng bo'lgani uchun, nuqtalar to'g'ri burchakli uchburchakning tepalari hisoblanadi.
Kabelning uzunligini topish uchun tayanch (qat'iy gorizontal joylashgan), murvat (qat'iy vertikal holda) va simi (diagonal bo'yicha cho'zilgan) to'g'ri burchakli uchburchakni hosil qiladi, Pifagor teoremasidan foydalanish mumkin:
Shunday qilib, kabelning uzunligi taxminan 3,6 metrni tashkil qiladi.
Berilgan: R nuqtadan P nuqtagacha bo'lgan masofa (uchburchakning oyog'i) 24, R nuqtadan Q nuqtagacha (gipotenuza) - 26.
Shunday qilib, biz Vityaga muammoni hal qilishga yordam beramiz. Rasmda ko'rsatilgan uchburchakning qirralari to'g'ri burchakli uchburchak hosil qilishi kerakligi sababli, Pifagor teoremasi yordamida uchinchi tomonning uzunligini topish mumkin:
Shunday qilib, hovuzning kengligi 10 metrni tashkil qiladi.
Sergey Valerievich
Pifagor teoremasi
Xuddi shunday, CBH uchburchagi ABC ga o'xshaydi. Belgi bilan tanishtirish 
1. Rasmda ko'rsatilgandek to'rtta teng burchakli to'rtburchaklar joylashtiring. 
Evklid isbotining g'oyasi quyidagicha: gipotenuzaga qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarga qurilgan maydonlar yarmining yig'indisiga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. katta va ikkita kichik kvadrat teng. Chapdagi rasmni ko'rib chiqing. Unda biz to'rtburchaklar uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar yasadik va AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri burchakli C tepalikdan s nurini chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini ikkita to'rtburchaklar - BHJI ga kesib tashladi. va HAKJ. Ma'lum bo'lishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari aynan mos keladigan oyoqlarga qurilgan kvadratlar maydonlariga teng. Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchagining maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: Balandligi va asosi bir xil bo'lgan bu to'rtburchak uchburchakning maydoni tengdir. berilgan to'rtburchak maydonining yarmigacha. Bu uchburchakning maydonini taglik va balandlik mahsulotining yarmi deb ta'riflashning natijasidir. Bu kuzatuvdan kelib chiqadiki, ACK uchburchagi maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (rasmda ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchagi maydonining yarmiga teng. . Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA kvadratining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun faqat ACK va BDA uchburchaklarining tengligini isbotlash kerak (chunki BDA uchburchagi maydoni yuqoridagi xususiyatga ko'ra kvadrat maydonining yarmiga teng). Tenglik aniq, uchburchaklar ikki tomondan teng va ular orasidagi burchak. Ya'ni - AB = AK, AD = AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: biz CAK uchburchagini soat sohasi farqli o'laroq 90 ° buramiz, shunda ikki uchburchakning tegishli tomonlari aniq. ko'rib chiqilayotgan vaqt bir -biriga to'g'ri keladi (chunki kvadrat tepasida burchak 90 °). BCFG kvadrat va BHJI to'rtburchaklar maydonlarining tengligi haqidagi mulohaza mutlaqo o'xshashdir. Shunday qilib, biz gipotenuzaga qurilgan kvadrat maydoni oyoqlarga qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi ekanligini isbotladik. 
Rasmni ko'rib chiqing, simmetriyadan ko'rinib turibdiki, CI segmenti ABHJ kvadratini ikkita bir xil qismga kesib tashlaydi (chunki ABC va JHI uchburchagi qurilishda teng). 90 graduslik soat yo'nalishi bo'yicha teskari burilish yordamida biz CAJI va GDAB soyali raqamlari teng ekanligini ko'ramiz. Endi aniqki, soyali shaklning maydoni oyoqlarga qurilgan kvadratlar maydonlarining yarmi yig'indisiga va asl uchburchakning maydoniga teng. Boshqa tomondan, u gipotenuzaga qurilgan kvadrat maydonining yarmiga, shuningdek, dastlabki uchburchak maydoniga teng. Tasdiqlashning oxirgi bosqichi o'quvchiga qoldiriladi.Ijodkorlik salohiyati odatda gumanitar fanlar bilan bog'liq bo'lib, tabiiy fanlarni tahlil, amaliy yondashuv va formulalar va raqamlarning quruq tilini qoldiradi. Matematikani gumanitar fanlar bilan bog'lab bo'lmaydi. Ammo "hamma fanlarning malikasi" da ijodkorliksiz siz uzoqqa bormaysiz - odamlar bu haqda uzoq vaqtdan beri bilishadi. Masalan, Pifagor davridan beri.
Maktab darsliklarida, afsuski, odatda matematikada nafaqat teoremalar, aksiomalar va formulalarni to'plash muhimligi tushuntirilmagan. Uning asosiy tamoyillarini tushunish va his qilish muhimdir. Va shu bilan birga, ongingizni klişe va oddiy haqiqatlardan ozod qilishga harakat qiling - faqat shunday sharoitda barcha buyuk kashfiyotlar tug'iladi.
Bu kashfiyotlar bugungi kunda biz bilgan narsalarni o'z ichiga oladi Pifagor teoremasi. Uning yordami bilan biz matematika nafaqat mumkin, balki hayajonli bo'lishi kerakligini ko'rsatishga harakat qilamiz. Va bu sarguzasht nafaqat qalin ko'zoynak taqqanlarga, balki aqli kuchli va ruhi kuchli bo'lgan har bir kishiga mos keladi.
Muammo tarixidan
Qat'iy aytganda, teorema "Pifagor teoremasi" deb nomlangan bo'lsa -da, Pifagorning o'zi buni kashf etmagan. To'g'ri burchakli uchburchak va uning maxsus xossalari undan ancha oldin o'rganilgan. Bu masala bo'yicha qarama -qarshi ikkita nuqtai nazar mavjud. Bir versiyaga ko'ra, Pifagor birinchi bo'lib teoremaning to'liq isbotini topdi. Boshqasiga ko'ra, dalil Pifagor muallifligiga tegishli emas.
Bugun kim to'g'ri va kim xatoligini tekshirib bo'lmaydi. Ma'lumki, Pifagor isboti, agar u mavjud bo'lsa, saqlanib qolmagan. Biroq, Evklidning "Elementlari" ning mashhur isboti Pifagorga tegishli bo'lishi mumkin degan taxminlar bor va Evklid buni faqat yozib olgan.
To'g'ri burchakli uchburchak haqidagi muammolar fir'avn Amenemat I davridagi Misr manbalarida, qirol Hammurapi davridagi Bobil gil lavhalarida, qadimgi hind risolasida "Sulva sutra" va qadimgi xitoy kompozitsiyasi "Zhou-bi suan jin".
Ko'rib turganingizdek, Pifagor teoremasi qadim zamonlardan beri matematiklarning ongini band qilib kelgan. Hozirgi kunda 367 ga yaqin turli xil dalillar mavjud. Bunda boshqa hech qanday teorema u bilan raqobatlasha olmaydi. Mashhur dalillar yozuvchilari orasida Leonardo da Vinchi va AQShning yigirmanchi prezidenti Jeyms Garfild bor. Bularning barchasi matematika uchun bu teoremaning o'ta muhimligi haqida gapiradi: geometriya teoremalarining ko'pchiligi undan yoki u yoki bu tarzda bog'liq.
Pifagor teoremasining isbotlari
Maktab darsliklarida asosan algebraik dalillar keltirilgan. Ammo teoremaning mohiyati geometriyada, shuning uchun birinchi navbatda mashhur teoremaning ushbu fanga asoslangan dalillarini ko'rib chiqaylik.
Isbot 1
To'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasining eng oddiy isboti uchun siz ideal shartlarni qo'yishingiz kerak: uchburchak nafaqat to'g'ri burchakli, balki teng yonli bo'lsin. Bu uchburchak dastlab antik davr matematiklari tomonidan ko'rib chiqilgan deb taxmin qilish uchun asos bor.
Bayonot "To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat uning oyoqlari ustida qurilgan kvadratlarning yig'indisiga teng" quyidagi chizma bilan tasvirlash mumkin:
To'g'ri burchakli ABC uchburchak uchburchakka qarang: AC gipotenuzasida siz asl ABC ga teng to'rtta uchburchakdan iborat kvadrat qurishingiz mumkin. Va AB va BC oyoqlarida u kvadrat shaklida qurilgan, ularning har biri ikkita o'xshash uchburchakni o'z ichiga oladi.
Aytgancha, bu rasm Pifagor teoremasiga bag'ishlangan ko'plab latifalar va multfilmlarga asos bo'ldi. Ehtimol, eng mashhuri "Pifagor shimlari har tomonga teng":
Isbot 2
Bu usul algebra va geometriyani birlashtiradi va uni matematik Bxaskarining qadimgi hind isbotining varianti sifatida ko'rish mumkin.
Yonlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak yasang a, b va v(1 -rasm). Keyin tomonlari ikki oyoq uzunligining yig'indisiga teng bo'lgan ikkita kvadrat hosil qiling, - (a + b)... Kvadratlarning har birida 2 va 3 -rasmlardagidek yarating.
Birinchi maydonda 1 -rasmdagidek to'rtta bir xil uchburchakni hosil qiling. Natijada siz ikkita kvadratga ega bo'lasiz: bir tomoni a, ikkinchisi yon tomonli. b.
Ikkinchi kvadratda to'rtta o'xshash o'xshash uchburchaklar gipotenuzaga teng bo'lgan kvadrat hosil qiladi v.
2 -rasmda qurilgan kvadratchalar maydonlarining yig'indisi biz 3 -rasmda s tomoni bilan qurilgan kvadrat maydoniga teng. Buni rasmdagi kvadratlarning maydonlarini hisoblash orqali osongina tekshirish mumkin. 2 formula bo'yicha. 3 -rasmda yozilgan kvadratning maydoni to'rtburchaklar bilan yozilgan to'rtburchaklar to'rtburchaklar uchburchaklar maydonini qirrali katta kvadrat maydonidan chiqarib tashlash yo'li bilan. (a + b).
Bularning barchasini yozib, bizda: a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab... Qavslarni kengaytiring, barcha kerakli algebraik hisoblarni bajaring va buni oling a 2 + b 2 = a 2 + b 2... Bu holda, 3 -rasmga yozilgan maydon. Kvadratni an'anaviy formuladan foydalanib hisoblash mumkin S = c 2... Bular. a 2 + b 2 = c 2- Siz Pifagor teoremasini isbotladingiz.
Dalil 3
Xuddi o'sha qadimgi hind isboti XII asrda "Bilim toji" ("Siddhanta Shiromani") risolasida tasvirlangan va muallif matematik iste'dodlarga, talabalar va izdoshlarning kuzatuvlariga qaratilgan murojaatni asosiy dalil sifatida ishlatadi: " Qarang! "
Ammo biz bu dalilni batafsil tahlil qilamiz:
Kvadrat ichida rasmda ko'rsatilgandek to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakni chizish. Katta kvadratning yon tomoni, u ham gipotenuzani bildiradi bilan... Uchburchakning oyoqlari deyiladi lekin va b... Chizilgan rasmga ko'ra, ichki kvadratning yon tomoni (a-b).
Kvadrat formulaning maydonidan foydalaning S = c 2 tashqi kvadrat maydonini hisoblash. Va shu bilan birga, ichki kvadratning maydonini va to'rtburchaklar to'rtburchaklarining maydonlarini qo'shib, bir xil qiymatni hisoblang: (a-b) 2 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b.
Kvadrat maydonini bir xil natija berishiga ishonch hosil qilish uchun siz ikkala variantni ham ishlatishingiz mumkin. Va bu sizga yozish huquqini beradi c 2 = (a-b) 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b... Yechim natijasida siz Pifagor teoremasining formulasini olasiz c 2 = a 2 + b 2... Teorema isbotlangan.
Dalil 4
Qadimgi Xitoyning bu qiziq isboti "Kelinlar kreslosi" deb nomlanadi, chunki barcha qurilishlar natijasida olingan stulga o'xshash shakl:
Bu biz ikkinchi dalilda 3 -rasmda ko'rgan chizmani ishlatadi. Va tomoni c bo'lgan ichki kvadrat, yuqorida keltirilgan qadimgi hind dalillarida bo'lgani kabi qurilgan.
Agar siz 1-rasmdagi chizilgan ikkita to'g'ri yashil burchakli yashil uchburchakni aqliy ravishda kesib tashlasangiz, ularni s tomoni va gipotenuslari bilan kvadratning qarama-qarshi tomonlariga siljiting, nilufar uchburchaklar gipotenuslariga biriktirsangiz, siz "kelin kreslosi" degan raqamni olasiz. "(2 -rasm). Aniqlik uchun siz qog'oz kvadrat va uchburchaklar bilan ham shunday qilishingiz mumkin. Siz ko'rasiz, "kelin kreslosi" ikkita to'rtburchaklar hosil qiladi: yon tomoni kichkina b va yon tomoni katta a.
Bu qurilishlar qadimgi xitoy matematiklariga imkon berdi va biz ularga ergashib shunday xulosaga keldik c 2 = a 2 + b 2.
Isbot 5
Bu geometriyaga tayanib, Pifagor teoremasiga yechim topishning yana bir usuli. U Garfild usuli deb nomlanadi.
To‘g‘ri burchakli uchburchak yasang ABC... Biz buni isbotlashimiz kerak BC 2 = AC 2 + AB 2.
Buning uchun oyog'ingizni davom ettiring AS va segmentni chizish CD bu oyoqqa teng AB... Perpendikulyarni pastga tushiring AD chiziq segmenti ED... Segmentlar ED va AS tengdirlar. Nuqtalarni ulang E. va IN, shuningdek E. va BILAN va quyidagi rasmdagi rasmni oling:
Minorani isbotlash uchun biz yana biz sinab ko'rgan usulga murojaat qilamiz: natijada olingan shaklning maydonini ikki xil usulda toping va ifodalarni bir -biriga tenglashtiring.
Ko'pburchakning maydonini toping YOTOQ uni tashkil etuvchi uchta uchburchakning maydonlarini qo'shish orqali mumkin. Va ulardan biri, ERU, nafaqat to'rtburchaklar, balki teng burchakli. Biz ham buni unutmaymiz AB = CD, AC = ED va BC = Idoralar- bu bizga yozishni soddalashtirishga va uni ortiqcha yuklamaslikka imkon beradi. Shunday qilib, S ABED = 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2 BC 2.
Bundan tashqari, bu aniq YOTOQ Trapezoiddir. Shuning uchun biz uning maydonini quyidagi formula bilan hisoblaymiz: S ABED = (DE + AB) * 1 / 2AD... Hisob -kitoblarimiz uchun segmentni ifodalash qulayroq va tushunarli AD segmentlar yig'indisi sifatida AS va CD.
Keling, raqamlar maydonini hisoblashning ikkala usulini ham yozamiz, ular orasiga teng belgi qo'yamiz: AB * AC + 1 / 2BC 2 = (DE + AB) * 1/2 (AC + CD)... Belgining o'ng tomonini soddalashtirish uchun bizga ma'lum bo'lgan va yuqorida tavsiflangan segmentlarning tengligini ishlatamiz: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1/2 (AB + AC) 2... Endi qavslarni kengaytirib, tenglikni o'zgartiraylik: AB * AC + 1/2 BC 2 = 1/2 AC 2 + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2 AB 2... Barcha o'zgarishlarni tugatgandan so'ng, biz kerakli narsani olamiz: BC 2 = AC 2 + AB 2... Biz teoremani isbotladik.
Albatta, bu dalillar ro'yxati to'liq emas. Pifagor teoremasini vektorlar, kompleks sonlar, differentsial tenglamalar, stereometriya va boshqalar yordamida ham isbotlash mumkin. Va hatto fizika: agar, masalan, suyuqlik chizilgan rasmga o'xshash kvadrat va uchburchak hajmlarga quyilsa. Suyuqlik quyib, maydonlarning tengligini va natijada teoremaning o'zini isbotlash mumkin.
Pifagor uchliklari haqida bir necha so'z
Bu masala maktab dasturida kam o'rganilgan yoki o'rganilmagan. Va shunga qaramay, bu geometriyada juda qiziq va katta ahamiyatga ega. Pifagor uchliklari ko'plab matematik muammolarni echishda ishlatiladi. Ularning g'oyasi sizning keyingi ta'limingizda sizga foydali bo'lishi mumkin.
Xo'sh, Pifagor uchliklari nima? Bu uchta raqamga yig'ilgan tabiiy sonlarning nomi, ularning ikkitasining kvadratlari yig'indisi uchinchi raqam kvadratiga teng.
Pifagor uchliklari bo'lishi mumkin:
- ibtidoiy (barcha uchta raqam o'zaro tub);
- ibtidoiy emas (agar har bir uchlik bir xil songa ko'paytirilsa, siz yangi uchlikni olasiz, bu ibtidoiy emas).
Hatto bizning davrimizdan oldin ham qadimgi misrliklar Pifagor uchburchaklarining maniyasiga qoyil qolishgan: o'z muammolarida tomonlari 3,4 va 5 birlik bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqishgan. Aytgancha, tomonlari Pifagor uchligidagi sonlarga teng bo'lgan har qanday uchburchak sukut bo'yicha to'rtburchaklardir.
Pifagor uchliklariga misollar: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) va boshqalar.
Teoremaning amaliy qo'llanilishi
Pifagor teoremasi nafaqat matematikada, balki arxitektura va qurilishda, astronomiyada va hatto adabiyotda ham qo'llanilishini topadi.
Birinchidan, qurilish haqida: Pifagor teoremasi har xil murakkablikdagi masalalarda keng qo'llaniladi. Masalan, Romanesk oynasiga qarang:
Deraza kengligini quyidagicha belgilaymiz b, keyin yarim doira radiusi sifatida belgilanishi mumkin R va orqali ifodalash b: R = b / 2... Kichikroq yarim doira radiusi ham ifodalanadi b: r = b / 4... Bu muammoda bizni derazaning ichki doirasi radiusi qiziqtiradi (buni shunday deylik p).
Pifagor teoremasi hisoblash uchun qulay bo'ladi R... Buning uchun biz rasmdagi nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanamiz. Uchburchakning gipotenuzasi ikkita radiusdan iborat: b / 4 + p... Bir oyog'i radius b / 4, boshqa b / 2-b... Pifagor teoremasidan foydalanib, biz yozamiz: (b / 4 + p) 2 = (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2... Keyin, biz qavslarni ochamiz va olamiz b 2/16 + bp/2 + p 2 = b 2/16 + b 2/4-bp + p 2... Biz bu ifodani aylantiramiz bp / 2 = b 2 /4-bp... Va keyin biz barcha atamalarni ajratamiz b, biz shunga o'xshashlarni olamiz 3/2 * p = b / 4... Va oxirida biz buni topamiz p = b / 6- bu bizga kerak bo'lgan narsa.
Teoremadan foydalanib, gable tomi uchun rafter uzunligini hisoblashingiz mumkin. Signalning ma'lum bir manzilga etib borishi uchun mobil minora qanchalik balandligini aniqlang. Va hatto shahar maydonida doimiy ravishda Rojdestvo daraxti o'rnating. Ko'rib turganingizdek, bu teorema nafaqat darsliklar sahifalarida yashaydi, balki ko'pincha real hayotda foydali bo'ladi.
Adabiyotga kelsak, Pifagor teoremasi yozuvchilarga qadim zamonlardan beri ilhom bergan va bizning davrimizda ham shunday davom etmoqda. Masalan, XIX asr nemis yozuvchisi Adelbert von Chamisso sonet yozishga ilhomlangan:
Haqiqat nuri tez orada yo'qolmaydi,
Ammo, porlab, u deyarli tarqalmaydi
Va, ming yillar oldin bo'lgani kabi,
Shubha va tortishuvlarga sabab bo'lmaydi.
Ko'zga tekkanida eng dono
Haqiqat nuri, xudolarga minnatdorchilik bildiriladi;
Va yuz buqalar, pichoqlangan, yolg'on -
Baxtli Pifagorning o'zaro sovg'asi.
O'shandan beri, buqalar baqir -chaqir qilib baqirishdi:
Buqa qabilasidan abadiy vahimaga tushishdi
Bu erda aytib o'tilgan voqea.
Ularga shunday tuyuladi: vaqt yaqinlashmoqda
Va yana ular qurbon bo'lishadi
Ba'zi ajoyib teorema.
(Viktor Toporov tarjimasi)
Yigirmanchi asrda sovet yozuvchisi Yevgeniy Veltistov "Elektronika sarguzashtlari" kitobida butun bobni Pifagor teoremasining isbotiga bag'ishlagan. Ikki o'lchovli dunyo haqida yana yarim bob, agar Pifagor teoremasi bitta dunyo uchun asosiy qonun va hatto din bo'lib qolsa, mavjud bo'lishi mumkin edi. Unda yashash ancha oson bo'lardi, lekin bundan ham zerikarli: masalan, "yumaloq" va "bekamu -ko'st" so'zlarining ma'nosini u erda hech kim tushunmaydi.
Va "Elektronika sarguzashtlari" kitobida muallif matematika o'qituvchisi Taratar og'zi orqali shunday deydi: "Matematikada asosiy narsa - bu fikr harakati, yangi g'oyalar". Aynan mana shu ijodiy fikr parvozi Pifagor teoremasini vujudga keltiradi - uning turli xil dalillari bejiz emas. Bu tanish chegaralardan chiqib ketishga va tanish narsalarga yangicha qarashga yordam beradi.
Xulosa
Bu maqola matematika bo'yicha maktab o'quv dasturidan tashqariga qarash va "Geometriya 7-9" (L. S. Atanasyan, V. N. Rudenko) va "Geometriya 7" darsliklarida keltirilgan Pifagor teoremasining dalillarini bilmaslik uchun yaratilgan. -11 "(AV Pogorelov), lekin mashhur teoremani isbotlashning boshqa qiziqarli usullari. Shuningdek, Pifagor teoremasini kundalik hayotda qanday qo'llash mumkinligi haqidagi misollarni ko'ring.
Birinchidan, bu ma'lumot sizga matematika darslarida yuqori ball olish imkonini beradi - bu mavzu bo'yicha qo'shimcha manbalardan olingan ma'lumotlar har doim yuqori baholanadi.
Ikkinchidan, biz sizga matematikaning qanchalik qiziqarli ekanligini his qilishga yordam berishni xohladik. Har doim ijodkorlik uchun joy borligiga aniq misollar bilan ishonch hosil qiling. Umid qilamizki, Pifagor teoremasi va ushbu maqola matematika va boshqa fanlarda sizni mustaqil izlanish va hayajonli kashfiyotlaringizga ilhom beradi.
Agar siz ushbu maqoladagi dalillarni qiziq deb topsangiz, izohlarda bizga ayting. Bu ma'lumot o'qish paytida sizga foydali bo'ldimi? Bizga Pifagor teoremasi va ushbu maqola haqidagi fikringizni yozing - biz bularning barchasini siz bilan muhokama qilishdan mamnun bo'lamiz.
blog. sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda, manba havolasi bo'lishi shart.
Har bir talaba biladi, gipotenuzaning kvadrati har doim oyoqlarning yig'indisiga teng, ularning har biri kvadratga teng. Bu bayon Pifagor teoremasi deb ataladi. Bu umuman trigonometriya va matematikadagi eng mashhur teoremalardan biridir. Keling, buni batafsilroq ko'rib chiqaylik.
To'g'ri uchburchak haqida tushuncha
Pifagor teoremasini ko'rib chiqishdan oldin, gipotenuzaning kvadrati to'rtburchaklar sonining yig'indisiga teng, teorema to'g'ri bo'lgan to'rtburchaklar uchburchagi tushunchasi va xususiyatlarini ko'rib chiqish kerak.
Uchburchak - bu uchta burchak va uch qirrali tekis shakl. To'g'ri burchakli uchburchak, nomidan ko'rinib turibdiki, bitta to'g'ri burchakka ega, ya'ni bu burchak 90 o.
Hamma uchburchaklar uchun umumiy xususiyatlardan ma'lumki, bu rasmning har uch burchagi yig'indisi 180 o ga teng, bu to'g'ri burchakli uchburchak uchun to'g'ri bo'lmagan ikki burchak yig'indisi 180 o - 90 o = 90 o . Oxirgi fakt shuni anglatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakda har qanday burchak har doim 90 o dan past bo'ladi.
To'g'ri burchakka qarama -qarshi tomonga gipotenuza deyiladi. Qolgan ikki tomon - uchburchakning oyoqlari, ular bir -biriga teng yoki farq qilishi mumkin. Trigonometriyadan ma'lumki, uchburchak tomonining burchagi qanchalik katta bo'lsa, bu tomonning uzunligi shuncha katta bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza (90 o burchakka qarama-qarshi) har qanday oyoqdan kattaroq bo'ladi (burchaklarga qarama-qarshi yotadi)< 90 o).
Pifagor teoremasining matematik notasi
Bu teorema gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning yig'indisiga teng ekanligini bildiradi, ularning har biri oldin kvadratga aylanadi. Ushbu formulani matematik tarzda yozish uchun a, b va c tomonlari mos ravishda ikki oyoqli va gipotenuzali to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Bu holda, gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng deb tuzilgan teorema quyidagi formula bilan ifodalanishi mumkin: c 2 = a 2 + b 2. Bu yerdan amaliyot uchun boshqa muhim formulalarni olish mumkin: a = √ (c 2 - b 2), b = √ (c 2 - a 2) va c = √ (a 2 + b 2).
E'tibor bering, to'g'ri burchakli teng qirrali uchburchak, ya'ni a = b bo'lsa, formulasi: gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning yig'indisiga teng, ularning har biri kvadrat, matematik tarzda quyidagicha yozilgan: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, bu tenglikni bildiradi: c = a√2.
Tarixiy ma'lumotnoma
Pifagor teoremasi, gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning yig'indisiga teng, har birining kvadratiga teng ekanligini aytadi, mashhur yunon faylasufi bunga e'tibor qaratmasdan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Qadimgi Misrning ko'plab papiruslari, shuningdek, bobilliklarning loydan yasalgan lavhalari, bu xalqlar to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining qayd etilgan xususiyatidan foydalanganligini tasdiqlaydi. Masalan, Misrning birinchi piramidalaridan biri, qurilishi miloddan avvalgi XXVI asrga to'g'ri keladigan Xafre piramidasi (Pifagor hayotidan 2000 yil oldin) to'g'ri burchakli uchburchakda tomonlar nisbati haqidagi bilimlarga asoslanib qurilgan. 3x4x5.
Xo'sh, nega endi teorema yunoncha nomlangan? Javob oddiy: Pifagor bu teoremani birinchi bo'lib matematik tarzda isbotlagan. Omon qolgan Bobil va Misr yozma manbalarida faqat undan foydalanish haqida gap boradi, lekin matematik dalil keltirilmagan.
Taxminlarga ko'ra, Pifagor ko'rib chiqilayotgan teoremani shunga o'xshash uchburchaklar xususiyatlaridan foydalanib isbotlagan, deb ishoniladi, u to'g'ri burchakli uchburchakda balandligi 90 o burchakdan gipotenuzaga chizish orqali olingan.
Pifagor teoremasidan foydalanishga misol
Oddiy muammoni ko'rib chiqing: agar L balandlikdagi H = 3 metr balandligi va narvon oyoqqa turadigan devordan P = masofa ekanligi ma'lum bo'lsa, L eğimli zinapoyaning uzunligini aniqlash kerak. 2,5 metr.
Bunda H va P - oyoqlar, L - gipotenuza. Gipotenuzaning uzunligi oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lgani uchun biz quyidagilarni olamiz: L 2 = H 2 + P 2, qaerdan L = √ (H 2 + P 2) = √ (3 2 + 2,5 2) = 3,905 metr yoki 3 m va 90, 5 sm.