In deze les kijken we naar de afgeknotte piramide, maken we kennis met de juiste afgeknotte piramide en bestuderen we hun eigenschappen.

Laten we ons het concept van een n-zijdige piramide herinneren aan de hand van het voorbeeld van een driehoekige piramide. Driehoek ABC is ingesteld. Buiten het vlak van de driehoek wordt punt P genomen, verbonden met de hoekpunten van de driehoek. Het resulterende veelvlakkige oppervlak wordt een piramide genoemd (Fig. 1).

Rijst. 1. Driehoekige piramide

Laten we de piramide snijden met een vlak evenwijdig aan het vlak van de piramidebasis. De figuur die tussen deze vlakken wordt verkregen, wordt een afgeknotte piramide genoemd (figuur 2).

Rijst. 2. Afgeknotte piramide

Belangrijkste elementen:

Bovenste basis;

Lagere basis ABC;

Zijrand;

Als PH de hoogte is van de oorspronkelijke piramide, dan is dat ook de hoogte van de afgeknotte piramide.

De eigenschappen van een afgeknotte piramide volgen uit de methode van constructie, namelijk uit het parallellisme van de basisvlakken:

Alle zijvlakken van de afgeknotte piramide zijn trapeziums. Denk bijvoorbeeld aan een facet. Volgens de eigenschap van parallelle vlakken (aangezien de vlakken evenwijdig zijn, snijden ze het zijvlak van de oorspronkelijke ABP-piramide langs evenwijdige rechte lijnen), terwijl ze tegelijkertijd niet parallel zijn. Het is duidelijk dat de vierhoek een trapezium is, zoals alle zijvlakken van de afgeknotte piramide.

De basisverhouding is hetzelfde voor alle trapezoïden:

We hebben verschillende paren gelijkaardige driehoeken met dezelfde coëfficiënt van overeenkomst. Driehoeken en RAV zijn bijvoorbeeld vergelijkbaar vanwege het parallellisme van de vlakken en de overeenkomstcoëfficiënt:

Tegelijkertijd zijn driehoeken en RBC's vergelijkbaar met de overeenkomstcoëfficiënt:

Het is duidelijk dat de coëfficiënten van overeenkomst voor alle drie paren gelijkaardige driehoeken gelijk zijn, dus de verhouding van de basen is hetzelfde voor alle trapezoïden.

Een regelmatige afgeknotte piramide is een afgeknotte piramide die wordt verkregen door een doorsnede van een regelmatige piramide met een vlak evenwijdig aan de basis (Fig. 3).

Rijst. 3. Corrigeer de afgeknotte piramide

Definitie.

Een piramide wordt een regelmatige piramide genoemd, met aan de basis een regelmatige n-gon, en het hoekpunt wordt geprojecteerd op het middelpunt van deze n-gon (het middelpunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkel).

In dit geval ligt een vierkant aan de basis van de piramide en wordt de bovenkant geprojecteerd op het snijpunt van zijn diagonalen. De verkregen regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide ABCD heeft een onderste basis en een bovenste basis. De hoogte van de originele piramide - RO, de afgeknotte piramide - (Fig. 4).

Rijst. 4. Regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide

Definitie.

De hoogte van de afgeknotte piramide is een loodlijn getrokken van elk punt op de ene basis naar het vlak van de andere basis.

Het apothema van de oorspronkelijke piramide is PM (M is het midden van AB), het apothema van de afgeknotte piramide is (Fig. 4).

Definitie.

Het apothema van de afgeknotte piramide is de hoogte van elk zijvlak.

Het is duidelijk dat alle zijranden van de afgeknotte piramide gelijk aan elkaar zijn, dat wil zeggen dat de zijranden gelijkbenige trapezoïden zijn.

Het laterale oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide is gelijk aan het product van de halve som van de basisomtrekken en het apothema.

Bewijs (voor een regelmatige rechthoekige afgeknotte piramide - Fig. 4):

Het is dus nodig om te bewijzen:

Het gebied van het zijoppervlak hier zal bestaan ​​​​uit de som van de gebieden van de zijvlakken - trapeziums. Omdat de trapezoïden hetzelfde zijn, hebben we:

De oppervlakte van een gelijkbenig trapezium is het product van de halve som van de basen en de hoogte, het apothema is de hoogte van het trapezium. Wij hebben:

QED

Voor een n-zijdige piramide:

Waar n het aantal zijvlakken van de piramide is, a en b de basis van het trapezium, is het apothema.

Zijkanten van de basis van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide zijn gelijk aan 3 cm en 9 cm, hoogte - 4 cm Vind het zijoppervlak.

Rijst. 5. Illustratie voor probleem 1

Oplossing. Laten we de toestand illustreren:

Gegeven:,,

Door punt O trekken we een rechte lijn MN evenwijdig aan de twee zijden van de onderste basis, op dezelfde manier door een punt trekken we een rechte lijn (Fig. 6). Omdat de vierkanten en constructies evenwijdig zijn in de basis van de afgeknotte piramide, krijgen we een trapezium gelijk aan de zijvlakken. Bovendien zal de zijkant ervan door het midden van de boven- en onderranden van de zijvlakken gaan en het apothema van de afgeknotte piramide zijn.

Rijst. 6. Aanvullende constructies

Overweeg het resulterende trapezium (Fig. 6). In dit trapezium zijn de bovenste basis, de onderste basis en de hoogte bekend. Het is nodig om de zijde te vinden, die het apothema is van de gegeven afgeknotte piramide. Laten we loodrecht op MN tekenen. Laten we de loodrechte NQ van het punt laten vallen. We krijgen dat de grotere basis is verdeeld in segmenten van drie centimeter (). Beschouw een rechthoekige driehoek, de benen erin zijn bekend, dit is de Egyptische driehoek, volgens de stelling van Pythagoras bepalen we de lengte van de hypotenusa: 5 cm.

Nu zijn er alle elementen om het gebied van het zijoppervlak van de piramide te bepalen:

De piramide wordt doorkruist door een vlak evenwijdig aan de basis. Bewijs, aan de hand van het voorbeeld van een driehoekige piramide, dat de zijranden en de hoogte van de piramide door dit vlak in evenredige delen worden verdeeld.

Een bewijs. Laten we illustreren:

Rijst. 7. Illustratie voor probleem 2

De RAVS-piramide is ingesteld. RO is de hoogte van de piramide. De piramide wordt doorsneden door een vlak, bovendien wordt een afgeknotte piramide verkregen. Punt - het snijpunt van de RO-hoogte met het vlak van de basis van de afgeknotte piramide. Het is noodzakelijk om te bewijzen:

De sleutel tot de oplossing is de eigenschap van het parallelle vlak. Twee evenwijdige vlakken snijden elk derde vlak zodat de snijlijnen evenwijdig zijn. Vandaar:. Het parallellisme van de overeenkomstige rechte lijnen impliceert de aanwezigheid van vier paar gelijkaardige driehoeken:

De evenredigheid van de overeenkomstige zijden volgt uit de gelijkenis van de driehoeken. Een belangrijk kenmerk is dat de overeenkomstcoëfficiënten voor deze driehoeken hetzelfde zijn:

QED

Een regelmatige driehoekige piramide RAVS met een hoogte en een zijde van de basis wordt ontleed door een vlak dat door het midden van de RN-hoogte evenwijdig aan de basis van ABC gaat. Zoek het laterale oppervlak van de resulterende afgeknotte piramide.

Oplossing. Laten we illustreren:

Rijst. 8. Illustratie voor probleem 3

ASB is een rechthoekige driehoek, H is het middelpunt van deze driehoek (het middelpunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkels). RM is het apothem van een bepaalde piramide. - apothema van de afgeknotte piramide. Volgens de eigenschap van evenwijdige vlakken (twee evenwijdige vlakken snijden elk derde vlak zodat de snijlijnen evenwijdig zijn), hebben we verschillende paren gelijkaardige driehoeken met een gelijke coëfficiënt van overeenkomst. We zijn in het bijzonder geïnteresseerd in de relatie:

Laten we NM zoeken. Dit is de straal van de cirkel ingeschreven in de basis, we kennen de bijbehorende formule:

Nu, uit de rechthoekige driehoek РНМ, volgens de stelling van Pythagoras, vinden we РМ - het apothema van de oorspronkelijke piramide:

Uit de beginverhouding:

Nu kennen we alle elementen voor het vinden van het gebied van het zijoppervlak van de afgeknotte piramide:

Dus maakten we kennis met de concepten van een afgeknotte piramide en een regelmatige afgeknotte piramide, gaven basisdefinities, overwogen eigenschappen en bewezen de stelling op het laterale oppervlak. De volgende les gaat over het oplossen van problemen.

Bibliografie

1. I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. Geometrie. Grades 10-11: een leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen (basis- en profielniveaus) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e druk, ds. en voeg toe. - M.: Mnemosina, 2008 .-- 288 d.: ziek.
2. Sharygin IF geometrie. Graad 10-11: Leerboek voor algemene onderwijsinstellingen / Sharygin I.F. - M.: Trap, 1999. - 208 p.: Ill.
3. E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. Geometrie. Graad 10: Leerboek voor onderwijsinstellingen met diepgaande en gespecialiseerde studie van wiskunde / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e druk, Stereotype. - M.: Trap, 2008 .-- 233 d.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Huiswerk

- Dit is een veelvlak, dat wordt gevormd door de basis van de piramide en het gedeelte evenwijdig daaraan. We kunnen zeggen dat een afgeknotte piramide een piramide is met een afgeknotte top. Deze vorm heeft veel unieke eigenschappen:

• De zijvlakken van de piramide zijn trapeziums;
• De zijribben van een regelmatige afgeknotte piramide zijn even lang en staan ​​onder dezelfde hoek ten opzichte van de basis;
• De bases zijn als veelhoeken;
• In een regelmatige afgeknotte piramide zijn de vlakken identieke gelijkbenige trapezoïden, waarvan de oppervlakte gelijk is. Ze zijn ook onder dezelfde hoek naar de basis gekanteld.

De formule voor het laterale oppervlak van een afgeknotte piramide is de som van de oppervlakten van de zijkanten:

Aangezien de zijkanten van de afgeknotte piramide trapezoïden zijn, moet u de formule gebruiken om de parameters te berekenen trapeziumvormig gebied... Voor een correcte afgeknotte piramide kunt u een andere oppervlakteformule toepassen. Omdat alle zijden, vlakken en hoeken aan de basis gelijk zijn, is het mogelijk om de omtrekken van de basis en het apothema toe te passen, en ook het gebied door de hoek aan de basis af te leiden.

Als, volgens de voorwaarden in een regelmatige afgeknotte piramide, het apothema (de hoogte van de zijkant) en de lengtes van de zijkanten van de basis worden gegeven, dan is het mogelijk om de oppervlakte te berekenen door het halfproduct van de som van de omtrekken van de bases en het apothema:

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het berekenen van het zijoppervlak van een afgeknotte piramide.
Een regelmatige vijfhoekige piramide wordt gegeven. Apothem ik= 5 cm, de lengte van het gezicht in de grote basis is een= 6 cm, en de rand in de kleinere basis B= 4 cm Bereken de oppervlakte van de afgeknotte piramide.

Laten we eerst de omtrekken van de bases vinden. Omdat we een vijfhoekige piramide hebben gekregen, begrijpen we dat de basen vijfhoeken zijn. Dit betekent dat een figuur met vijf identieke zijden aan de basis ligt. Vind de omtrek van de grotere basis:

Op dezelfde manier vinden we de omtrek van de kleinere basis:

Nu kunnen we de oppervlakte van de juiste afgeknotte piramide berekenen. We vervangen de gegevens in de formule:

Zo hebben we het gebied van een regelmatige afgeknotte piramide berekend door de omtrekken en apothema.

Een andere manier om het zijoppervlak van een regelmatige piramide te berekenen, is de formule: door de hoeken aan de basis en het gebied van deze eigenlijke bases.

Laten we een rekenvoorbeeld bekijken. Onthoud dat deze formule alleen van toepassing is op de juiste afgeknotte piramide.

Laat een regelmatige vierhoekige piramide worden gegeven. De rand van de onderste basis is a = 6 cm en de rand van de bovenste basis is b = 4 cm De tweevlakshoek aan de basis is β = 60 °. Zoek het laterale oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide.

Laten we eerst het gebied van de bases berekenen. Omdat de piramide correct is, zijn alle vlakken van de bases gelijk aan elkaar. Aangezien er een vierhoek aan de basis is, begrijpen we dat het nodig zal zijn om te berekenen vierkant gebied... Het is het product van breedte en lengte, maar deze waarden zijn hetzelfde kwadraat. Zoek het gebied van de grotere basis:


Nu gebruiken we de gevonden waarden om het laterale oppervlak te berekenen.

Omdat we een paar eenvoudige formules kennen, hebben we gemakkelijk het gebied van het laterale trapezium van de afgeknotte piramide berekend via verschillende waarden.

• 29.05.2016

  Een oscillerend circuit is een elektrisch circuit dat een inductor, een condensator en een bron van elektrische energie bevat. Wanneer de elementen van het circuit in serie zijn geschakeld, wordt het oscillerende circuit sequentieel genoemd, met parallel - parallel. Een oscillerend circuit is het eenvoudigste systeem waarin vrije elektromagnetische oscillaties kunnen optreden. De resonantiefrequentie van de schakeling wordt bepaald door de zogenaamde Thomson-formule: ƒ = 1 / (2π√ (LC)) Voor ...

• 20.09.2014

  De ontvanger is ontworpen om signalen te ontvangen in het LW-bereik (150 kHz... 300 kHz). Het belangrijkste kenmerk van de ontvanger zit in de antenne, die een hogere inductantie heeft dan een conventionele magnetische antenne. Hiermee kunt u de capaciteit van de trimmercondensator gebruiken in het bereik van 4 ... 20pF, en een dergelijke ontvanger heeft een acceptabele gevoeligheid en een lage versterking van het RF-pad. De ontvanger werkt voor koptelefoons (koptelefoon), hij wordt aangedreven door ...

• 24.09.2014

  Dit apparaat is ontworpen om het vloeistofniveau in de tanks te regelen, zodra de vloeistof tot het ingestelde niveau stijgt, begint het apparaat een continu geluidssignaal te geven, wanneer het vloeistofniveau een kritisch niveau bereikt, begint het apparaat een intermitterend geluidssignaal te geven signaal. De indicator bestaat uit 2 generatoren, deze worden aangestuurd door een sensorelement E. Het wordt in de tank geplaatst op een niveau tot ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 is een digitale timer met meerdere programma's die is ontworpen om te werken met de ILTs3-5 \ 7-indicator. Het biedt aftellen en weergave op de indicator van de huidige tijd in uren en minuten, de dag van de week en het nummer van het controlekanaal (9 alarmen). Het wekkercircuit wordt getoond in de afbeelding. De microschakeling is geklokt. resonator Q1 op 32768Hz. eten is negatief, een veelvoorkomend pluspunt gaat naar ...

Piramide. afgeknotte piramide

Piramide wordt een veelvlak genoemd, waarvan een van de vlakken een veelhoek is ( baseren ), en alle andere vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt ( zijvlakken ) (afb. 15). De piramide heet juist als de basis een regelmatige veelhoek is en de top van de piramide naar het midden van de basis wordt geprojecteerd (Fig. 16). Een driehoekige piramide waarin alle randen gelijk zijn heet tetraëder .

Zijrib piramide is de zijde van het zijvlak die niet bij de basis hoort Hoogte piramide wordt de afstand van de top tot het vlak van de basis genoemd. Alle zijranden van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar, alle zijranden zijn gelijkbenige driehoeken. De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide die vanaf de bovenkant wordt getrokken, wordt genoemd apothem . Diagonale doorsnede het gedeelte van de piramide wordt een vlak genoemd dat door twee zijranden gaat die niet tot één vlak behoren.

Lateraal oppervlak piramide wordt de som van de oppervlakten van alle zijvlakken genoemd. Volledige oppervlakte genaamd de som van de oppervlakten van alle zijvlakken en de basis.

stellingen

1. Als in een piramide alle zijranden even hellen ten opzichte van het vlak van de basis, dan wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van de cirkel die om de basis is omschreven.

2. Als in de piramide alle zijranden even lang zijn, wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van de cirkel die om de basis is omgeschreven.

3. Als in de piramide alle vlakken even hellen ten opzichte van het vlak van de basis, dan wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van de cirkel die in de basis is ingeschreven.

Om het volume van een willekeurige piramide te berekenen, is de volgende formule correct:

waar V- volume;

S hoofd- basisgebied;

H- de hoogte van de piramide.

Voor de juiste piramide zijn de formules correct:

waar P- basisomtrek;

h a- apothem;

H- hoogte;

S vol

S kant

S hoofd- basisgebied;

V- het volume van de juiste piramide.

afgeknotte piramide het deel van de piramide genoemd, ingesloten tussen de basis en het snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide (Fig. 17). Regelmatige afgeknotte piramide wordt het deel van een regelmatige piramide genoemd, ingesloten tussen de basis en het snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide.

Stichtingen afgeknotte piramides - vergelijkbare polygonen. Zijvlakken - trapezium. Hoogte een afgeknotte piramide is de afstand tussen de bases. Diagonaal een afgeknotte piramide wordt een segment genoemd dat de hoekpunten verbindt die niet op hetzelfde vlak liggen. Diagonale doorsnede het gedeelte van een afgeknotte piramide wordt een vlak genoemd dat door twee zijranden gaat die niet tot één vlak behoren.

Voor een afgeknotte piramide zijn de volgende formules geldig:

(4)

waar S 1 , S 2 - gebieden van de bovenste en onderste bases;

S vol- totale oppervlakte;

S kant- zijoppervlak;

H- hoogte;

V- het volume van de afgeknotte piramide.

Voor een correcte afgeknotte piramide is de formule correct:

waar P 1 , P 2 - omtrekken van de bases;

h a- het apothema van de regelmatige afgeknotte piramide.

Voorbeeld 1. In een regelmatige driehoekige piramide is de tweevlakshoek aan de basis 60º. Zoek de raaklijn van de hellingshoek van de zijrand aan het vlak van de basis.

Oplossing. Laten we een tekening maken (fig. 18).

De piramide is regelmatig, dus aan de basis is er een gelijkzijdige driehoek en alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken. De tweevlakshoek aan de basis is de hellingshoek van het zijvlak van de piramide naar het vlak van de basis. De lineaire hoek is de hoek een tussen twee loodlijnen: en d.w.z. De top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de driehoek (het middelpunt van de omgeschreven cirkel en de ingeschreven cirkel in de driehoek abc). De hellingshoek van de laterale ribbe (bijvoorbeeld SB) Is de hoek tussen de rand zelf en zijn projectie op het vlak van de basis. voor rib SB deze hoek zal de hoek zijn SBD... Om de raaklijn te vinden, moet je de benen kennen DUS en OB... Laat de lengte van het segment BD is gelijk aan 3 een... Punt O sectie BD is verdeeld in delen: en Van vinden we DUS: Van vinden we:

Antwoord geven:

Voorbeeld 2. Vind het volume van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide als de diagonalen van de basis cm en cm zijn en de hoogte 4 cm is.

Oplossing. Om het volume van de afgeknotte piramide te vinden, gebruiken we formule (4). Om het gebied van de basissen te vinden, moet je de zijkanten van de basisvierkanten vinden, waarbij je hun diagonalen kent. De zijkanten van de bases zijn respectievelijk 2 cm en 8 cm. Dus de oppervlakten van de bases en Nadat we alle gegevens in de formule hebben vervangen, berekenen we het volume van de afgeknotte piramide:

Antwoord geven: 112cm3.

Voorbeeld 3. Zoek het gebied van het zijvlak van een regelmatige driehoekige afgeknotte piramide, waarvan de zijkanten van de basis 10 cm en 4 cm zijn, en de hoogte van de piramide is 2 cm.

Oplossing. Laten we een tekening maken (fig. 19).

Het zijvlak van deze piramide is een gelijkbenig trapezium. Om het gebied van een trapezium te berekenen, moet u de basis en hoogte weten. De sokkels zijn gegeven per staat, alleen de hoogte is onbekend. We zullen het vinden van waar EEN 1 E loodrecht vanaf punt EEN 1 op het vlak van de onderste basis, EEN 1 NS- loodrecht van EEN 1 op ALS. EEN 1 E= 2 cm, aangezien dit de hoogte van de piramide is. Vinden DE we zullen een extra tekening maken, waarin we een bovenaanzicht zullen weergeven (fig. 20). Punt O- projectie van de middelpunten van de bovenste en onderste bases. sinds (zie fig. 20) en Aan de andere kant Oke Is de straal van de ingeschreven cirkel en OM- straal van de ingeschreven cirkel:

MK = DE.

Volgens de stelling van Pythagoras uit

Zijvlak gebied:

Antwoord geven:

Voorbeeld 4. Aan de basis van de piramide ligt een gelijkbenig trapezium, waarvan de basis: een en B (een> B). Elk zijvlak vormt een hoek met het basisvlak van de piramide gelijk aan J... Zoek de totale oppervlakte van de piramide.

Oplossing. Laten we een tekening maken (fig. 21). Totale oppervlakte van de piramide SABCD gelijk aan de som van de oppervlakten en oppervlakte van de trapezium ABCD.

Laten we de stelling gebruiken dat als alle vlakken van de piramide gelijk hellen ten opzichte van het vlak van de basis, de top wordt geprojecteerd op het middelpunt van de cirkel die in de basis is ingeschreven. Punt O- hoekpunt projectie S aan de voet van de piramide. Driehoek ZODE is de orthogonale projectie van de driehoek CSD op het vlak van de basis. Door de stelling op het gebied van de orthogonale projectie van een vlakke figuur, krijgen we:

Evenzo betekent het: Zo werd de taak teruggebracht tot het vinden van het gebied van de trapezium ABCD... Teken een trapezium ABCD afzonderlijk (afb. 22). Punt O- het middelpunt van de cirkel ingeschreven in het trapezium.

Aangezien een cirkel kan worden ingeschreven in een trapezium, ofwel From, door de stelling van Pythagoras, hebben we