Hoe fundamentele stelsels van vergelijkingen op te lossen. Hoe een niet-triviale en fundamentele oplossing te vinden voor een systeem van lineaire homogene vergelijkingen?
laten zijn m 0 is de verzameling oplossingen van het homogene systeem (4) van lineaire vergelijkingen.
Definitie 6.12. Vectoren met 1 ,met 2 , …, met p die oplossingen zijn van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen worden genoemd een fundamentele reeks oplossingen(afgekort FNR) als
1) vectoren met 1 ,met 2 , …, met p lineair onafhankelijk (dat wil zeggen, geen van hen kan worden uitgedrukt in termen van de andere);
2) elke andere oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen kan worden uitgedrukt in termen van oplossingen met 1 ,met 2 , …, met p.
Merk op dat als met 1 ,met 2 , …, met p- elke f.n.r., dan de uitdrukking k 1 × met 1 + k 2 × met 2 + … + k p× met p de hele set m 0 oplossingen van systeem (4), daarom heet het algemeen beeld van de systeemoplossing (4).
Stelling 6.6. Elk onbepaald homogeen systeem van lineaire vergelijkingen heeft een fundamentele reeks oplossingen.
De manier om de fundamentele reeks oplossingen te vinden is als volgt:
Vind een algemene oplossing voor een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen;
construeren ( N – R) bepaalde oplossingen van dit systeem, terwijl de waarden van vrije onbekenden een eenheidsmatrix moeten vormen;
Schrijf een algemeen beeld op van de oplossing die is opgenomen in m 0 .
Voorbeeld 6.5. Zoek een fundamentele reeks oplossingen voor het volgende systeem:
Oplossing... Laten we een algemene oplossing voor dit systeem zoeken.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
In dit systeem zijn vijf onbekenden ( N= 5), waarvan er twee de belangrijkste onbekenden zijn ( R= 2), drie gratis onbekenden ( N – R), dat wil zeggen dat de verzameling fundamentele oplossingen drie oplossingsvectoren bevat. Laten we ze bouwen. Wij hebben x 1 en x 3 - belangrijkste onbekenden, x 2 , x 4 , x 5 - gratis onbekenden
Waarden van gratis onbekenden x 2 , x 4 , x 5 vormen de identiteitsmatrix E derde bestelling. We hebben die vectoren met 1 ,met 2 , met 3 vorm v.n.r. dit systeem. Dan is de verzameling oplossingen van dit homogene systeem: m 0 = {k 1 × met 1 + k 2 × met 2 + k 3 × met 3 , k 1 , k 2 , k 3 R).
Laten we nu de voorwaarden voor het bestaan van niet-nuloplossingen van een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen verduidelijken, met andere woorden, de voorwaarden voor het bestaan van een fundamentele reeks oplossingen.
Een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft oplossingen die niet nul zijn, dat wil zeggen, het is onbepaald als
1) de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem is kleiner dan het aantal onbekenden;
2) in een homogeen stelsel van lineaire vergelijkingen is het aantal vergelijkingen kleiner dan het aantal onbekenden;
3) als in een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden en de determinant van de basismatrix gelijk is aan nul (dat wil zeggen | EEN| = 0).
Voorbeeld 6.6... Bij welke waarde van de parameter een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen 
heeft niet-nul oplossingen?
Oplossing... Laten we de hoofdmatrix van dit systeem samenstellen en de determinant ervan vinden: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - een- 4. De determinant van deze matrix is gelijk aan nul voor een = –4.
Antwoord geven: –4.
7. Rekenen N-dimensionale vectorruimte
Basisconcepten
In de vorige paragrafen zijn we het concept van een reeks reële getallen in een bepaalde volgorde al tegengekomen. Het is een rij (of kolom) matrix en een oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen met N onbekend. Deze informatie kan worden samengevat.
Definitie 7.1. N-dimensionale rekenkundige vector heet een geordende set van N echte getallen.
Middelen een= (a 1, een 2, ..., a N), waar een l R, l = 1, 2, …, N- algemeen beeld van de vector. Nummer N genaamd dimensie vector, en de getallen a l noemde het coördinaten.
Bijvoorbeeld: een= (1, –8, 7, 4,) is een vijfdimensionale vector.
De hele set N-dimensionale vectoren worden meestal aangeduid als R n.
Definitie 7.2. Twee vectoren een= (a 1, een 2, ..., a N) en B= (b 1, b 2, ..., b N) van dezelfde dimensie zijn gelijk als en slechts als hun corresponderende coördinaten gelijk zijn, d.w.z. a 1 = b 1, a 2 = b 2, ..., a N= b N.
Definitie 7.3.de som twee N-dimensionale vectoren een= (a 1, een 2, ..., a N) en B= (b 1, b 2, ..., b N) heet een vector een + B= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a N+ b N).
Definitie 7.4. Per product echt nummer k per vector een= (a 1, een 2, ..., a N) heet een vector k× een = (k× een 1, k× een 2,…, k× a N)
Definitie 7.5. Vector O= (0, 0, ..., 0) heet nul(of nul-vector).
Het is gemakkelijk te controleren of de acties (bewerkingen) van het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen met een reëel getal de volgende eigenschappen hebben: " een, B, C Î R n, " k, ik R:
1) een + B = B + een;
2) een + (B+ C) = (een + B) + C;
3) een + O = een;
4) een+ (–een) = O;
5) 1 × een = een, 1 R;
6) k×( ik× een) = ik×( k× een) = (ik× k)× een;
7) (k + ik)× een = k× een + ik× een;
8) k×( een + B) = k× een + k× B.
Definitie 7.6. Veel R n met de bewerkingen van het optellen van vectoren en hun vermenigvuldiging met een reëel getal dat erop wordt gegeven, wordt genoemd rekenkundige n-dimensionale vectorruimte.
De oplossing van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE) is ongetwijfeld het belangrijkste onderwerp van de cursus lineaire algebra. Een groot aantal problemen uit alle takken van de wiskunde wordt gereduceerd tot het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze factoren verklaren de reden voor het maken van dit artikel. Het materiaal van het artikel is geselecteerd en gestructureerd zodat u met zijn hulp kunt
- kies de optimale methode voor het oplossen van uw stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen,
- de theorie van de gekozen methode bestuderen,
- los uw stelsel van lineaire vergelijkingen op door de geanalyseerde oplossingen van typische voorbeelden en problemen in detail te bekijken.
Korte beschrijving van het artikelmateriaal.
Eerst geven we alle noodzakelijke definities en concepten en introduceren we de notatie.
Vervolgens zullen we methoden bekijken voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en die een unieke oplossing hebben. Ten eerste zullen we stilstaan bij de methode van Cramer, ten tweede zullen we een matrixmethode laten zien voor het oplossen van dergelijke stelsels van vergelijkingen, en ten derde zullen we de Gauss-methode analyseren (de methode van opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen). Om de theorie te consolideren, zullen we zeker verschillende SLAE's op verschillende manieren oplossen.
Daarna gaan we over op het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm, waarin het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekende variabelen of de hoofdmatrix van het systeem gedegenereerd is. Laten we de stelling van Kronecker - Capelli formuleren, waarmee we de compatibiliteit van SLAE's kunnen vaststellen. Laten we de oplossing van systemen analyseren (in het geval van hun compatibiliteit) met behulp van het concept van een basisminor van een matrix. We zullen ook de Gauss-methode beschouwen en de oplossingen van voorbeelden in detail beschrijven.
We zullen zeker stilstaan bij de structuur van de algemene oplossing van homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Laten we het concept van een fundamenteel systeem van oplossingen geven en laten zien hoe de algemene oplossing van een SLAE wordt geschreven met behulp van vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen. Laten we voor een beter begrip een paar voorbeelden bekijken.
Concluderend beschouwen we stelsels van vergelijkingen die reduceren tot lineaire, evenals verschillende problemen, bij de oplossing waarvan SLAE's ontstaan.
Paginanavigatie.
Definities, concepten, benamingen.
We zullen systemen van p lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekende variabelen (p kan gelijk zijn aan n) van de vorm
Onbekende variabelen, - coëfficiënten (sommige reële of complexe getallen), - vrije termen (ook reële of complexe getallen).
Deze vorm van SLAE-notatie heet coördineren.
V matrixvorm notatie, dit stelsel vergelijkingen heeft de vorm,
waar 
- de hoofdmatrix van het systeem, - de matrixkolom van onbekende variabelen, - de matrixkolom van vrije leden.
Als we aan de matrix A als de (n + 1) e kolom de matrix-kolom van vrije termen toevoegen, dan krijgen we de zogenaamde uitgebreide matrix stelsels lineaire vergelijkingen. Gewoonlijk wordt de uitgebreide matrix aangeduid met de letter T en wordt de kolom met vrije leden gescheiden door een verticale lijn van de rest van de kolommen, dat wil zeggen, 
Door een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen is een set waarden van onbekende variabelen die alle vergelijkingen van het systeem omzet in identiteiten. De matrixvergelijking voor de gegeven waarden van de onbekende variabelen verandert ook in een identiteit.
Als een stelsel vergelijkingen minstens één oplossing heeft, dan heet het gewricht.
Als het stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft, dan heet het inconsequent.
Als de SLAE een unieke oplossing heeft, dan heet deze zeker; als er meer dan één oplossing is, dan - ongedefinieerd.
Als de vrije termen van alle vergelijkingen van het systeem gelijk zijn aan nul 
, dan heet het systeem homogeen, anders - heterogeen.
Oplossing van elementaire stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen.
Als het aantal vergelijkingen van het systeem gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix niet gelijk is aan nul, dan worden dergelijke SLAE's genoemd elementair... Dergelijke stelsels van vergelijkingen hebben een unieke oplossing en in het geval van een homogeen systeem zijn alle onbekende variabelen gelijk aan nul.
We begonnen dergelijke SLAE's op de middelbare school te bestuderen. Bij het oplossen ervan namen we één vergelijking, drukten een onbekende variabele uit in termen van andere en substitueerden deze in de resterende vergelijkingen, namen vervolgens de volgende vergelijking, drukten de volgende onbekende variabele uit en substitueerden deze in andere vergelijkingen, enzovoort. Of ze gebruikten de methode van optellen, dat wil zeggen, ze voegden twee of meer vergelijkingen toe om enkele onbekende variabelen te elimineren. We zullen niet in detail op deze methoden ingaan, omdat het in feite modificaties zijn van de Gauss-methode.
De belangrijkste methoden voor het oplossen van elementaire stelsels van lineaire vergelijkingen zijn de Cramer-methode, de matrixmethode en de Gauss-methode. Laten we ze analyseren.
Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met de methode van Cramer.
Stel dat we een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen moeten oplossen 
waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet nul is, dat wil zeggen.
Laat de determinant zijn van de hoofdmatrix van het systeem, en 
- determinanten van matrices die worden verkregen uit A door vervanging 1e, 2e, ..., nth kolom respectievelijk naar de kolom met gratis leden: 
Met deze notatie worden de onbekende variabelen berekend met de formules van Cramer's methode als: 
... Dit is hoe de oplossing van een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen volgens de methode van Cramer wordt gevonden.
Voorbeeld.
Cramers methode 
.
Oplossing.
De hoofdmatrix van het systeem heeft de vorm 
... Laten we de determinant ervan berekenen (zie indien nodig het artikel): 
Aangezien de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet nul is, heeft het systeem een unieke oplossing die kan worden gevonden met de methode van Cramer.
Laten we de benodigde determinanten samenstellen en berekenen 
(de determinant wordt verkregen door de eerste kolom in matrix A te vervangen door een kolom met vrije leden, de determinant - door de tweede kolom te vervangen door een kolom met vrije leden, - door de derde kolom van matrix A te vervangen door een kolom met vrije leden ): 
Vind onbekende variabelen met de formules 
:
Antwoord geven:
Het belangrijkste nadeel van de methode van Cramer (als het een nadeel kan worden genoemd) is de complexiteit van het berekenen van determinanten wanneer het aantal vergelijkingen in het systeem meer dan drie is.
Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen door de matrixmethode (met behulp van de inverse matrix).
Laat het stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen worden gegeven in matrixvorm, waarbij matrix A dimensie n bij n heeft en de determinant niet nul is.
Aangezien de matrix A inverteerbaar is, is er een inverse matrix. Als we beide zijden van de gelijkheid met links vermenigvuldigen, krijgen we een formule om de kolommatrix van onbekende variabelen te vinden. Dus we kregen de oplossing van een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen met de matrixmethode.
Voorbeeld.
Los een stelsel lineaire vergelijkingen op matrix methode.
Oplossing.
Laten we het stelsel van vergelijkingen herschrijven in matrixvorm: 
Omdat
dan kan SLAE worden opgelost met de matrixmethode. Met behulp van de inverse matrix kan de oplossing voor dit systeem worden gevonden als: 
.
Laten we een inverse matrix construeren met behulp van een matrix van algebraïsche complementen van elementen van matrix A (zie indien nodig het artikel): 
Het blijft om te berekenen - de matrix van onbekende variabelen door de inverse matrix te vermenigvuldigen 
naar een kolommatrix van gratis leden (zie eventueel het artikel): 
Antwoord geven:
of in een andere notatie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Het belangrijkste probleem bij het vinden van een oplossing voor stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen door de matrixmethode is de complexiteit van het vinden van de inverse matrix, vooral voor vierkante matrices met een hogere orde dan de derde.
Oplossing van stelsels lineaire vergelijkingen volgens de Gauss-methode.
Stel dat we een oplossing moeten vinden voor een stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekende variabelen 
waarvan de determinant van de hoofdmatrix niet nul is.
De essentie van de Gauss-methode bestaat uit de opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen: eerst wordt x 1 uitgesloten van alle vergelijkingen van het systeem, te beginnen met de tweede, dan wordt x 2 uitgesloten van alle vergelijkingen, te beginnen met de derde, enzovoort, totdat alleen de onbekende variabele xn blijft in de laatste vergelijking. Een dergelijk proces van het transformeren van de vergelijkingen van het systeem voor de opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen wordt genoemd door de directe loop van de Gauss-methode... Na het voltooien van de voorwaartse run van de Gauss-methode, wordt x n gevonden uit de laatste vergelijking, met behulp van deze waarde, wordt x n-1 berekend uit de voorlaatste vergelijking, enzovoort, wordt x 1 gevonden uit de eerste vergelijking. Het proces van het berekenen van onbekende variabelen bij het verplaatsen van de laatste vergelijking van het systeem naar de eerste heet achterwaartse Gauss-methode.
Laten we kort het algoritme beschrijven voor het elimineren van onbekende variabelen.
We nemen dat aan, omdat we dit altijd kunnen bereiken door de vergelijkingen van het systeem te herschikken. Elimineer de onbekende variabele x 1 uit alle vergelijkingen van het systeem, te beginnen met de tweede. Om dit te doen, voegen we aan de tweede vergelijking van het systeem de eerste toe, vermenigvuldigd met, aan de derde vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met, enzovoort, tot de n-de vergelijking, voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met. Het stelsel vergelijkingen na dergelijke transformaties heeft de vorm 
waar, en 
.
We zouden tot hetzelfde resultaat komen als we x 1 zouden uitdrukken in termen van andere onbekende variabelen in de eerste vergelijking van het systeem en de resulterende uitdrukking in alle andere vergelijkingen zouden vervangen. De variabele x 1 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, te beginnen met de tweede.
Vervolgens handelen we op een vergelijkbare manier, maar alleen met een deel van het resulterende systeem, dat is gemarkeerd in de figuur 
Om dit te doen, tellen we bij de derde vergelijking van het systeem de tweede vermenigvuldigd met, bij de vierde vergelijking voegen we de tweede vermenigvuldigd met, enzovoort, bij de n-de vergelijking tellen we de tweede vermenigvuldigd met. Het stelsel vergelijkingen na dergelijke transformaties heeft de vorm 
waar, en 
... De variabele x 2 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, te beginnen met de derde.
Vervolgens gaan we over tot de eliminatie van de onbekende x 3, terwijl we op dezelfde manier handelen met het deel van het systeem dat in de figuur is gemarkeerd 
Dus we gaan door met de directe koers van de Gauss-methode totdat het systeem de vorm aanneemt 
Vanaf dit moment beginnen we het omgekeerde verloop van de Gauss-methode: we berekenen xn uit de laatste vergelijking, omdat we, met behulp van de verkregen waarde van xn, x n-1 vinden uit de voorlaatste vergelijking, enzovoort, we vinden x 1 uit de eerste vergelijking.
Voorbeeld.
Los een stelsel lineaire vergelijkingen op volgens de Gauss-methode.
Oplossing.
Elimineer de onbekende variabele x 1 uit de tweede en derde vergelijking van het systeem. Om dit te doen, voegt u de overeenkomstige delen van de eerste vergelijking, vermenigvuldigd met en door, toe aan beide zijden van de tweede en derde vergelijking: 
Nu sluiten we x 2 uit van de derde vergelijking door aan de linker- en rechterkant de linker- en rechterkant van de tweede vergelijking toe te voegen, vermenigvuldigd met: 
Op dit punt is de voorwaartse beweging van de Gauss-methode voorbij, we beginnen met de omgekeerde beweging.
Uit de laatste vergelijking van het resulterende stelsel van vergelijkingen vinden we x 3: 
Uit de tweede vergelijking krijgen we.
Uit de eerste vergelijking vinden we de resterende onbekende variabele en dit voltooit het omgekeerde verloop van de Gauss-methode.
Antwoord geven:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Oplossing van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm.
In het algemene geval valt het aantal vergelijkingen in het stelsel p niet samen met het aantal onbekende variabelen n:
Dergelijke SLAE's hebben mogelijk geen oplossingen, hebben een enkele oplossing of hebben oneindig veel oplossingen. Deze verklaring is ook van toepassing op stelsels van vergelijkingen, waarvan de basismatrix vierkant en gedegenereerd is.
De stelling van Kronecker - Capelli.
Alvorens een oplossing te vinden voor een stelsel lineaire vergelijkingen, is het noodzakelijk om de compatibiliteit ervan vast te stellen. Het antwoord op de vraag wanneer de SLAE compatibel is en wanneer deze niet compatibel is, wordt gegeven door: de stelling van Kronecker - Capelli:
om een stelsel van p vergelijkingen met n onbekenden (p kan gelijk zijn aan n) consistent te zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dat wil zeggen Rang (A) = Rang (T).
Laten we als voorbeeld de toepassing van de stelling van Kronecker - Capelli beschouwen om de verenigbaarheid van een stelsel lineaire vergelijkingen te bepalen.
Voorbeeld.
Zoek uit of het stelsel lineaire vergelijkingen heeft 
oplossingen.
Oplossing.
... Laten we de methode van de aangrenzende minderjarigen gebruiken. Minor van de tweede orde 
niet-nul. Laten we de derde-orde minderjarigen uitzoeken die eraan grenzen: 
Aangezien alle aangrenzende minderjarigen van de derde orde gelijk zijn aan nul, is de rangorde van de hoofdmatrix gelijk aan twee.
Op zijn beurt is de rangorde van de uitgebreide matrix 
is gelijk aan drie, aangezien de derde-orde minor 
niet-nul.
Dus, Rang (A), daarom kunnen we door de stelling van Kronecker - Capelli concluderen dat het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen inconsistent is.
Antwoord geven:
Het systeem heeft geen oplossingen.
We hebben dus geleerd om de inconsistentie van het systeem vast te stellen met behulp van de stelling van Kronecker - Capelli.
Maar hoe vind je een oplossing voor een SLAE als de compatibiliteit ervan is vastgesteld?
Om dit te doen, hebben we het concept van een basismineur van een matrix en een stelling op de rangorde van een matrix nodig.
De hoogste orde minor van de matrix A, anders dan nul, heet basis.
Uit de definitie van een basismineur volgt dat de volgorde gelijk is aan de rangorde van de matrix. Voor een niet-nulmatrix A kunnen er meerdere basisminoren zijn; er is altijd één basismineur.
Beschouw bijvoorbeeld de matrix 
.
Alle derde-orde minoren van deze matrix zijn gelijk aan nul, aangezien de elementen van de derde rij van deze matrix de som zijn van de corresponderende elementen van de eerste en tweede rij.
De volgende minoren van de tweede orde zijn basis, omdat ze niet nul zijn: 
minderjarigen 
zijn niet basaal, omdat ze gelijk zijn aan nul.
Matrix rang stelling.
Als de rangorde van een matrix van orde p bij n gelijk is aan r, dan worden alle elementen van de rijen (en kolommen) van de matrix die niet de geselecteerde basisminor vormen lineair uitgedrukt in termen van de overeenkomstige elementen van de rijen ( en kolommen) die de basisminor vormen.
Wat geeft de matrixrangstelling ons?
Als we volgens de stelling van Kronecker - Capelli de compatibiliteit van het systeem hebben vastgesteld, dan kiezen we een basismineur van de basismatrix van het systeem (de volgorde is r), en we sluiten alle vergelijkingen uit die niet de gekozen basisminor. De op deze manier verkregen SLAE zal equivalent zijn aan de oorspronkelijke, aangezien de weggegooide vergelijkingen nog steeds overbodig zijn (volgens de matrixrangstelling zijn ze een lineaire combinatie van de resterende vergelijkingen).
Als resultaat zijn, na het weggooien van onnodige vergelijkingen van het systeem, twee gevallen mogelijk.
Als het aantal vergelijkingen r in het resulterende systeem gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan is het definitief en kan de enige oplossing worden gevonden met de methode van Cramer, de matrixmethode of de methode van Gauss.
Voorbeeld.
.
Oplossing.
De rangorde van de hoofdmatrix van het systeem 
is gelijk aan twee, aangezien de tweede orde minor 
niet-nul. Uitgebreide matrixrang 
is ook gelijk aan twee, aangezien de enige kleine van de derde orde gelijk is aan nul 
en de hierboven beschouwde tweede-orde minor is niet-nul. Op basis van de stelling van Kronecker - Capelli kunnen we de compatibiliteit van het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen bevestigen, aangezien Rang (A) = Rang (T) = 2.
We nemen als basisminor ... Het wordt gevormd door de coëfficiënten van de eerste en tweede vergelijking: 
De derde vergelijking van het systeem neemt niet deel aan de vorming van de basismineur; daarom sluiten we deze uit van het systeem op basis van de stelling op de rangorde van de matrix: 
Zo kregen we een elementair stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Laten we het oplossen met de methode van Cramer: 
Antwoord geven:
x1 = 1, x2 = 2.
Als het aantal vergelijkingen r in de verkregen SLAE kleiner is dan het aantal onbekende variabelen n, dan laten we in de linkerzijde van de vergelijkingen de termen die de basisminor vormen, de rest van de termen worden naar rechts verplaatst- handzijden van de vergelijkingen van het stelsel met het tegengestelde teken.
Onbekende variabelen (er zijn er r van) die aan de linkerkant van de vergelijkingen achterblijven, worden genoemd de belangrijkste.
Onbekende variabelen (er zijn n - r stukken) die aan de rechterkant verschijnen, worden genoemd vrij.
Nu nemen we aan dat vrije onbekende variabelen willekeurige waarden kunnen aannemen, en r fundamentele onbekende variabelen zullen op een unieke manier worden uitgedrukt in termen van vrije onbekende variabelen. Hun uitdrukking kan worden gevonden door de verkregen SLAE op te lossen met de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.
Laten we een voorbeeld nemen.
Voorbeeld.
Los een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen op 
.
Oplossing.
Vind de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem 
door de methode van aangrenzende minderjarigen. We nemen een 1 1 = 1 als een niet-nul eerste-orde minor. Laten we op zoek gaan naar een minor van de tweede orde die niet nul is rond deze minor: 
Zo hebben we een tweede-orde minderjarige gevonden die niet nul is. Laten we op zoek gaan naar een derde-orde niet-nul aangrenzende minor: 
De rangorde van de hoofdmatrix is dus drie. De rangorde van de uitgebreide matrix is ook drie, dat wil zeggen, het systeem is consistent.
We nemen de gevonden niet-nul derde-orde minor als de basis.
Voor de duidelijkheid tonen we de elementen die de basisminor vormen: 
We laten aan de linkerkant van de vergelijkingen van het systeem de termen die deelnemen aan de basisminor, de rest wordt met tegengestelde tekens naar de rechterkant overgebracht: 
Laten we willekeurige waarden toewijzen aan de vrije onbekende variabelen x 2 en x 5, dat wil zeggen, we nemen 
, waar zijn willekeurige getallen. In dit geval zal de SLAE de vorm aannemen 
Het resulterende elementaire systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt opgelost door de methode van Cramer: 
Vandaar, .
Vergeet niet om in je antwoord vrije onbekende variabelen aan te geven.
Antwoord geven:
Waar zijn willekeurige getallen.
Samenvatten.
Om een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm op te lossen, zoeken we eerst de compatibiliteit ervan uit met behulp van de stelling van Kronecker - Capelli. Als de rangorde van de hoofdmatrix niet gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dan concluderen we dat het systeem incompatibel is.
Als de rangorde van de hoofdmatrix gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dan kiezen we de basisminor en negeren we de vergelijkingen van het systeem die niet deelnemen aan de vorming van de geselecteerde basisminor.
Als de volgorde van de basismineur gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan heeft de SLAE een unieke oplossing, die we met elke bekende methode kunnen vinden.
Als de volgorde van de fundamentele minderjarige kleiner is dan het aantal onbekende variabelen, dan laten we aan de linkerkant van de vergelijkingen van het systeem de termen met de onbekende basisvariabelen, brengen de resterende termen over naar de rechterkant en geef willekeurige waarden aan de vrije onbekende variabelen. Uit het resulterende systeem van lineaire vergelijkingen vinden we de belangrijkste onbekende variabelen volgens de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.
Gauss-methode voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm.
De Gauss-methode kan worden gebruikt om stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van welke aard dan ook op te lossen zonder ze eerst op compatibiliteit te onderzoeken. Het proces van opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen maakt het mogelijk om zowel de compatibiliteit als de incompatibiliteit van de SLAE te concluderen, en als er een oplossing bestaat, maakt het het mogelijk om deze te vinden.
Vanuit het oogpunt van computationeel werk verdient de Gauss-methode de voorkeur.
Zie de gedetailleerde beschrijving en geanalyseerde voorbeelden in het artikel Gauss-methode voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm.
Het schrijven van de algemene oplossing van homogene en inhomogene lineaire algebraïsche systemen met behulp van vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen.
In deze sectie zullen we ons concentreren op compatibele homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen met een oneindige reeks oplossingen.
Laten we het eerst hebben over homogene systemen.
Fundamenteel beslissingssysteem Een homogeen systeem van p lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekende variabelen is de verzameling (n - r) van lineair onafhankelijke oplossingen van dit systeem, waarbij r de orde is van de basisminor van de basismatrix van het systeem.
Als we lineair onafhankelijke oplossingen van een homogene SLAE aanduiden als X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) zijn n-by-1 kolommatrices), dan wordt de algemene oplossing van dit homogene systeem weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen met willekeurige constante coëfficiënten С 1, С 2, ..., С (nr), dat wil zeggen,.
Wat betekent de term algemene oplossing van een homogeen stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen (oroslau)?
De betekenis is eenvoudig: de formule specificeert alle mogelijke oplossingen voor de oorspronkelijke SLAE, met andere woorden, het nemen van een willekeurige reeks waarden van willekeurige constanten С 1, С 2, ..., С (nr), volgens de formule die we verkrijg een van de oplossingen van de oorspronkelijke homogene SLAE.
Dus als we een fundamenteel systeem van oplossingen vinden, kunnen we alle oplossingen van deze homogene SLAE specificeren als.
Laten we het proces laten zien van het construeren van een fundamenteel systeem van oplossingen voor een homogene SLAE.
We kiezen de basismineur van het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen, sluiten alle andere vergelijkingen uit het stelsel en brengen alle termen met vrije onbekende variabelen over naar de rechterkant van de vergelijkingen van het stelsel met tegengestelde tekens. Laten we de vrije onbekende variabelen de waarden 1,0,0, ..., 0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen door het resulterende elementaire stelsel van lineaire vergelijkingen op enigerlei wijze op te lossen, bijvoorbeeld met de methode van Cramer. Dit geeft X (1) - de eerste oplossing voor het fundamentele systeem. Als we de vrije onbekenden de waarden 0,1,0,0, ..., 0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen, dan krijgen we X (2). Enzovoort. Als we de waarden 0.0, ..., 0.1 aan de vrije onbekende variabelen geven en de basis onbekenden berekenen, krijgen we X (n-r). Dit is hoe het fundamentele systeem van oplossingen van een homogene SLAE zal worden geconstrueerd en de algemene oplossing kan in de vorm worden geschreven.
Voor inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt de algemene oplossing weergegeven in de vorm, waarbij de algemene oplossing van het overeenkomstige homogene systeem is, en is de specifieke oplossing van de oorspronkelijke inhomogene SLAE, die we verkrijgen door de vrije onbekenden de waarden te geven 0,0, ..., 0 en het berekenen van de waarden van de belangrijkste onbekenden.
Laten we eens kijken naar voorbeelden.
Voorbeeld.
Vind het fundamentele systeem van oplossingen en de algemene oplossing van het homogene systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen 
.
Oplossing.
De rangorde van de hoofdmatrix van homogene stelsels lineaire vergelijkingen is altijd gelijk aan de rangorde van de uitgebreide matrix. Laten we de rangorde van de hoofdmatrix vinden volgens de methode van de aangrenzende minderjarigen. Als een niet-nul eerste-orde minor nemen we het element a 1 1 = 9 van de hoofdmatrix van het systeem. Zoek een aangrenzende niet-nul tweede-orde minor: 
Er is een minderjarige van de tweede orde gevonden. Laten we door de derde-orde minderjarigen gaan die eraan grenzen, op zoek naar een niet-nul: 
Alle aangrenzende minoren van de derde orde zijn gelijk aan nul, daarom is de rangorde van de hoofd- en uitgebreide matrices gelijk aan twee. Neem als basisminor. Voor de duidelijkheid noteren we de elementen van het systeem waaruit het bestaat: 
De derde vergelijking van de originele SLAE neemt niet deel aan de vorming van de basismineur, daarom kan deze worden uitgesloten: 
We laten aan de rechterkant van de vergelijkingen de termen die de belangrijkste onbekenden bevatten, en aan de rechterkant zetten we de termen over met vrije onbekenden:
Laten we een fundamenteel systeem van oplossingen construeren voor het oorspronkelijke homogene systeem van lineaire vergelijkingen. Het fundamentele systeem van oplossingen van deze SLAE bestaat uit twee oplossingen, aangezien de oorspronkelijke SLAE vier onbekende variabelen bevat en de volgorde van de fundamentele minor twee is. Om X (1) te vinden, kennen we de vrije onbekende variabelen de waarden x 2 = 1, x 4 = 0 toe, dan vinden we de belangrijkste onbekenden uit het stelsel vergelijkingen 
.
Servicedoel:... De online calculator is ontworpen om een niet-triviale en fundamentele oplossing voor een SLAE te vinden. De resulterende oplossing wordt opgeslagen in een Word-bestand (zie voorbeeldoplossing).
Instructie. Selecteer de afmeting van de matrix:
Eigenschappen van stelsels van lineaire homogene vergelijkingen
Om ervoor te zorgen dat het systeem niet-triviale oplossingen, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix kleiner is dan het aantal onbekenden.Stelling... Het systeem in het geval m = n heeft een niet-triviale oplossing dan en slechts dan als de determinant van dit systeem gelijk is aan nul.
Stelling... Elke lineaire combinatie van systeemoplossingen is ook een oplossing voor dit systeem.
Definitie... De verzameling oplossingen van een stelsel lineaire homogene vergelijkingen heet fundamenteel beslissingssysteem als deze verzameling uit lineair onafhankelijke oplossingen bestaat en elke oplossing van het systeem een lineaire combinatie van deze oplossingen is.
Stelling. Als de rangorde r van de matrix van het systeem kleiner is dan het aantal n onbekenden, dan is er een fundamenteel systeem van oplossingen bestaande uit (n-r) oplossingen.
Algoritme voor het oplossen van stelsels van lineaire homogene vergelijkingen
- Zoek de rangorde van de matrix.
- Markeer de basisminor. We selecteren de afhankelijke (basis) en vrije onbekenden.
- We schrappen die vergelijkingen van het stelsel waarvan de coëfficiënten niet in de basisminor zijn opgenomen, omdat ze gevolgen zijn van de andere (volgens de stelling op de basisminor).
- De termen van de vergelijkingen die vrije onbekenden bevatten, worden naar de rechterkant overgebracht. Als resultaat krijgen we een stelsel van r vergelijkingen met r onbekenden, equivalent aan de gegeven, waarvan de determinant niet nul is.
- We lossen het resulterende systeem op door onbekenden te elimineren. We vinden de relaties die de afhankelijke variabelen uitdrukken in termen van vrije variabelen.
- Als de rangorde van de matrix niet gelijk is aan het aantal variabelen, dan vinden we de fundamentele oplossing voor het systeem.
- In het geval van rang = n hebben we een triviale oplossing.
Een voorbeeld. Vind de basis van het stelsel van vectoren (a 1, a 2, ..., a m), rangschik en druk de vectoren uit in termen van het grondtal. Als een 1 = (0,0,1, -1), een 2 = (1,1,2,0), een 3 = (1,1,1,1) en 4 = (3,2,1 , 4) en 5 = (2,1,0,3).
Laten we de hoofdmatrix van het systeem opschrijven:
Vermenigvuldig de 3e rij met (-3). Voeg de 4e regel toe aan de 3e:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Vermenigvuldig de 4e rij met (-2). Vermenigvuldig de 5e rij met (3). Laten we de 5e regel toevoegen aan de 4e:
Laten we de 2e regel toevoegen aan de 1e:
Laten we de rangorde van de matrix zoeken.
Het systeem met de coëfficiënten van deze matrix is gelijk aan het originele systeem en heeft de vorm:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Met behulp van de methode om onbekenden te elimineren, vinden we een niet-triviale oplossing:
We hebben de verhoudingen die de afhankelijke variabelen x 1, x 2, x 3 tot en met gratis x 4 uitdrukken, dat wil zeggen, we hebben een algemene oplossing gevonden:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
gegeven matrices
Vind: 1) aA - bB,
Oplossing: 1) Zoek het opeenvolgend, met behulp van de regels voor het vermenigvuldigen van een matrix met een getal en het optellen van matrices ..
2. Zoek A * B als
Oplossing: De matrixvermenigvuldigingsregel gebruiken
Antwoord geven: 
3. Zoek voor een gegeven matrix de kleine M 31 en bereken de determinant.
Oplossing: Minor M 31 is de determinant van de matrix, die wordt verkregen uit A
na het doorhalen van rij 3 en kolom 1. Find
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
We transformeren de matrix A zonder de determinant te veranderen (laten we nullen maken in rij 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Nu berekenen we de determinant van de matrix A door ontleding in rij 1
Antwoord: М 31 = 0, detA = 0
Los op volgens de Gauss-methode en de Cramer-methode.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Oplossing: Rekening
De methode van Cramer kan worden toegepast
Systeemoplossing: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Laten we de Gauss-methode toepassen.
Laten we de uitgebreide matrix van het systeem in een driehoekige vorm brengen.
Laten we voor het gemak van berekeningen de regels verwisselen:
Vermenigvuldig de 2e rij met (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) en voeg toe aan de 3e:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Vermenigvuldig de 1e rij met (k = -2 / 2 = -1 ) en voeg toe aan de 2e:
Het oorspronkelijke systeem kan nu worden geschreven als:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Vanaf de 2e regel drukken we uit
Vanaf de 1e regel drukken we uit
De oplossing is hetzelfde.
Antwoord: (2; -5; 3)
Zoek een algemene oplossing voor het systeem en de SDF
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Oplossing: Laten we de Gauss-methode toepassen. Laten we de uitgebreide matrix van het systeem in een driehoekige vorm brengen.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Vermenigvuldig de 1e rij met (-11). Vermenigvuldig de 2e rij met (13). Laten we de 2e regel toevoegen aan de 1e:
| -2 | -2 | -3 | ||
Vermenigvuldig de 2e rij met (-5). Vermenigvuldig de 3e rij met (11). Laten we de 3e regel toevoegen aan de 2e:
Vermenigvuldig de 3e rij met (-7). Vermenigvuldig de 4e rij met (5). Voeg de 4e regel toe aan de 3e:
De tweede vergelijking is een lineaire combinatie van de rest
Laten we de rangorde van de matrix zoeken.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
De gemarkeerde minor heeft de hoogste orde (van de mogelijke minors) en is niet nul (het is gelijk aan het product van de elementen op de tegenoverliggende diagonaal), daarom belde (A) = 2.
Deze minor is basis. Het bevat de coëfficiënten voor de onbekenden x 1, x 2, wat betekent dat de onbekenden x 1, x 2 afhankelijk zijn (basis), en x 3, x 4, x 5 vrij zijn.
Het systeem met de coëfficiënten van deze matrix is gelijk aan het originele systeem en heeft de vorm:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Door onbekenden te elimineren, vinden we: gemeenschappelijke beslissing:
x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
We vinden het fundamentele beslissingssysteem (FDS), dat bestaat uit (n-r) oplossingen. In ons geval, n = 5, r = 2, daarom bestaat het fundamentele systeem van oplossingen uit 3 oplossingen, en deze oplossingen moeten lineair onafhankelijk zijn.
Om de rijen lineair onafhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix bestaande uit de elementen van de rijen gelijk is aan het aantal rijen, dat wil zeggen 3.
Het is voldoende om de vrije onbekenden x 3, x 4, x 5 waarden te geven uit de rijen van de determinant van de 3e orde, anders dan nul, en x 1, x 2 te berekenen.
De eenvoudigste niet-nul determinant is de identiteitsmatrix.
Maar hier is het handiger om mee te nemen
We vinden met behulp van de algemene oplossing:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4
I oplossing van de FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 NS
II oplossing van de SDF: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 NS
III oplossing van de SDF: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Gegeven: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Zoek: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Oplossing: a) z 1 - 2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Antwoord: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0,3i
Een homogeen systeem is altijd consistent en heeft een triviale oplossing 
... Om een niet-triviale oplossing te laten bestaan, is het noodzakelijk dat de rangorde van de matrix 
was minder dan het aantal onbekenden:
.
Fundamenteel beslissingssysteem
homogeen systeem 
heet het systeem van oplossingen in de vorm van kolomvectoren 
die overeenkomen met de canonieke basis, d.w.z. basis waarin willekeurige constanten 
worden afwisselend gelijkgesteld aan één, terwijl de rest wordt gelijkgesteld aan nul.
Dan heeft de algemene oplossing van het homogene systeem de vorm:
waar 
- willekeurige constanten. Met andere woorden, een algemene oplossing is een lineaire combinatie van een fundamenteel systeem van oplossingen.
De basisoplossingen kunnen dus worden verkregen uit de algemene oplossing als de vrije onbekenden afwisselend de waarde eenheid krijgen, ervan uitgaande dat alle andere gelijk zijn aan nul.
Voorbeeld... Laten we een oplossing voor het systeem vinden
Laten we accepteren, dan krijgen we een oplossing in de vorm:
Laten we nu een fundamenteel systeem van beslissingen construeren:
.
De algemene oplossing wordt geschreven als:
Oplossingen van een stelsel van homogene lineaire vergelijkingen hebben de volgende eigenschappen:
Met andere woorden, elke lineaire combinatie van oplossingen van een homogeen systeem is weer een oplossing.
Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met de Gauss-methode
De oplossing van stelsels van lineaire vergelijkingen is al eeuwenlang interessant voor wiskundigen. De eerste resultaten werden verkregen in de 18e eeuw. In 1750 publiceerde G. Kramer (1704 –1752) zijn werken over de determinanten van vierkante matrices en stelde hij een algoritme voor om de inverse matrix te vinden. In 1809 schetste Gauss een nieuwe oplossingsmethode die bekend staat als de eliminatiemethode.
De Gauss-methode, of de methode van opeenvolgende eliminatie van onbekenden, bestaat in het feit dat, met behulp van elementaire transformaties, een stelsel vergelijkingen wordt gereduceerd tot een equivalent stelsel van een stapsgewijze (of driehoekige) vorm. Dergelijke systemen maken het mogelijk om achtereenvolgens alle onbekenden in een bepaalde volgorde te vinden.
Stel dat in systeem (1) 
(wat altijd kan).
(1)
De eerste vergelijking op zijn beurt vermenigvuldigen met de zogenaamde geschikte nummers
en als we het resultaat van vermenigvuldiging toevoegen met de overeenkomstige vergelijkingen van het systeem, krijgen we een equivalent systeem waarin alle vergelijkingen, behalve de eerste, de onbekende zullen missen NS 1
(2)
We vermenigvuldigen nu de tweede vergelijking van stelsel (2) met geschikte getallen, ervan uitgaande dat 
,
en als we het toevoegen aan de ondergeschikte, sluiten we de variabele uit 
van alle vergelijkingen, te beginnen met de derde.
Voortzetting van dit proces, na 
stap krijgen we:
(3)
Als ten minste een van de nummers 
niet gelijk is aan nul, dan is de corresponderende gelijkheid inconsistent en systeem (1) inconsistent. Omgekeerd, voor elk gezamenlijk nummersysteem 
zijn gelijk aan nul. Nummer 
is niets meer dan de rangorde van de matrix van systeem (1).
De overgang van systeem (1) naar (3) heet directe koers de Gauss-methode, en het vinden van de onbekenden uit (3) - achteruit .
Opmerking : Het is handiger om transformaties niet met de vergelijkingen zelf te maken, maar met de uitgebreide matrix van stelsel (1).
Voorbeeld... Laten we een oplossing voor het systeem vinden
.
Laten we de uitgebreide matrix van het systeem opschrijven:
.
Voeg aan regels 2,3,4 de eerste toe, vermenigvuldigd met (-2), (-3), (-2), respectievelijk:
.
Laten we rijen 2 en 3 omwisselen en in de resulterende matrix rij 2 toevoegen aan rij 4, vermenigvuldigd met 
:
.
Toevoegen aan rij 4 rij 3 vermenigvuldigd met 
:
.
Het is duidelijk dat 
daarom is het systeem compatibel. Uit het resulterende stelsel vergelijkingen
vinden we de oplossing door inverse substitutie:
,
,
,
.
Voorbeeld 2. Zoek een oplossing voor het systeem:
.
Het is duidelijk dat het systeem incompatibel is, aangezien: 
, een 
.
Voordelen van de Gauss-methode: :
Minder tijdrovend dan de methode van Cramer.
Het stelt ondubbelzinnig de compatibiliteit van het systeem vast en stelt u in staat een oplossing te vinden.
Het maakt het mogelijk om de rangorde van eventuele matrices te bepalen.