5 Kramers metode til løsning af lineære ligningssystemer. Cramers regel
Cramers metode er baseret på brugen af determinanter til løsning af lineære ligningssystemer. Dette fremskynder i høj grad løsningsprocessen.
Cramers metode kan bruges til at løse et system med lige så mange lineære ligninger, som der er ukendte i hver ligning. Hvis systemets determinant ikke er lig nul, så kan Cramers metode bruges i løsningen, hvis den er lig nul, så kan den ikke. Derudover kan Cramers metode bruges til at løse systemer af lineære ligninger, der har en unik løsning.
Definition... Determinanten, der er sammensat af koefficienterne for de ukendte, kaldes systemdeterminanten og betegnes med (delta).
Determinanter
opnås ved at erstatte koefficienterne med de tilsvarende ukendte frie termer:
;
.
Cramers sætning. Hvis determinanten af systemet er ikke-nul, så har systemet af lineære ligninger én unik løsning, og det ukendte er lig med forholdet mellem determinanterne. Nævneren indeholder systemets determinant, og tælleren indeholder determinanten opnået fra systemets determinant ved at erstatte koefficienterne i denne ukendte med frie led. Denne sætning gælder for et system af lineære ligninger af enhver rækkefølge.
Eksempel 1. Løs et system af lineære ligninger:
Ifølge Cramers sætning vi har:
Så løsningen på systemet (2):
online lommeregner, Cramers solvermetode.
Tre tilfælde ved løsning af lineære ligningssystemer
Som det fremgår af Cramers teoremer, når man løser et system af lineære ligninger, kan der forekomme tre tilfælde:
Første tilfælde: et system af lineære ligninger har en unik løsning
(systemet er konsekvent og bestemt)
Andet tilfælde: et system af lineære ligninger har et uendeligt antal løsninger
(systemet er konsekvent og ubestemt)
** 
,
de der. koefficienterne for de ukendte og de frie led er proportionale.
Det tredje tilfælde: systemet af lineære ligninger har ingen løsninger
(system inkonsekvent)
Altså systemet m lineære ligninger med n variabler kaldes inkonsekvent hvis hun ikke har nogen løsninger, og samling hvis den har mindst én løsning. Et fælles ligningssystem, der kun har én løsning kaldes et bestemt og mere end én - udefineret.
Eksempler på løsning af systemer af lineære ligninger ved Cramers metode
Lad systemet være givet
.
Baseret på Cramers sætning
………….
,
hvor 
-
systemdeterminant. Vi opnår de resterende determinanter ved at erstatte kolonnen med koefficienterne for den tilsvarende variabel (ukendt) med frie led:
Eksempel 2.
.
Derfor er systemet bestemt. For at finde dens løsning beregner vi determinanterne
Ifølge Cramers formler finder vi:
Så (1; 0; -1) er den eneste løsning på systemet.
For at kontrollere løsningerne af 3 X 3 og 4 X 4 ligningssystemer kan du bruge online-beregneren, der løser Cramer-metoden.
Hvis der i systemet af lineære ligninger i en eller flere ligninger ikke er nogen variable, så er de tilsvarende elementer i determinanten lig nul! Dette er det næste eksempel.
Eksempel 3. Løs et system af lineære ligninger ved Cramers metode:
.
Løsning. Vi finder systemets determinant:
Se nøje på ligningssystemet og på systemets determinant og gentag svaret på spørgsmålet i hvilke tilfælde et eller flere elementer i determinanten er lig nul. Så determinanten er ikke lig med nul, derfor er systemet bestemt. For at finde dens løsning beregner vi determinanterne for ukendte
Ifølge Cramers formler finder vi:
Så løsningen på systemet er (2; -1; 1).
For at kontrollere løsningerne af 3 X 3 og 4 X 4 ligningssystemer kan du bruge online-beregneren, der løser Cramer-metoden.
Tilbage til toppen af siden
Vi fortsætter med at løse systemer efter Cramers metode sammen
Som allerede nævnt, hvis systemets determinant er lig med nul, og determinanterne for de ukendte ikke er lig med nul, er systemet inkonsekvent, det vil sige, det har ingen løsninger. Lad os illustrere med følgende eksempel.
Eksempel 6. Løs et system af lineære ligninger ved Cramers metode:
Løsning. Vi finder systemets determinant:
Systemets determinant er lig med nul, derfor er systemet af lineære ligninger enten inkonsistent og bestemt eller inkonsistent, det vil sige, det har ingen løsninger. For at gøre det mere præcist, beregner vi determinanterne for ukendte
Determinanter for ukendte er ikke lig med nul, derfor er systemet inkonsekvent, det vil sige, det har ingen løsninger.
For at kontrollere løsningerne af 3 X 3 og 4 X 4 ligningssystemer kan du bruge online-beregneren, der løser Cramer-metoden.
I opgaver på lineære ligningssystemer er der også dem, hvor der udover bogstaverne, der betegner variable, også er andre bogstaver. Disse bogstaver repræsenterer et vist tal, oftest et reelt tal. I praksis ledes sådanne ligninger og ligningssystemer af problemer med at søge efter de generelle egenskaber for ethvert fænomen og objekter. Det vil sige, at du har opfundet noget nyt materiale eller apparat, og for at beskrive dets egenskaber, som er almindelige uanset størrelsen eller antallet af en prøve, skal du løse et system af lineære ligninger, hvor der i stedet for nogle koefficienter af variable er bogstaver. Du behøver ikke gå langt for eksempler.
Det næste eksempel er for en lignende opgave, kun antallet af ligninger, variabler og bogstaver, der angiver et reelt tal, stiger.
Eksempel 8. Løs et system af lineære ligninger ved Cramers metode:
Løsning. Vi finder systemets determinant:
Find determinanter for ukendte
Cramers metode bruges til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger (SLAE), hvor antallet af ukendte variable er lig med antallet af ligninger, og determinanten for den grundlæggende matrix er ikke-nul. I denne artikel vil vi analysere, hvordan ukendte variabler findes ved hjælp af Cramers metode og få formler. Derefter vender vi os til eksempler og beskriver i detaljer løsningen af systemer af lineære algebraiske ligninger ved Cramers metode.
Sidenavigation.
Cramers metode - udledning af formler.
Antag, at vi skal løse et system af lineære ligninger af formen
Hvor x 1, x 2, ..., x n er ukendte variable, a i j, i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., n- numeriske koefficienter, b 1, b 2,..., b n - frie led. En løsning af en SLAE er et sæt værdier x 1, x 2,..., x n, hvor alle systemets ligninger bliver til identiteter.
På matrixform kan dette system skrives som A ⋅ X = B, hvor 
- systemets hovedmatrix, dets elementer er koefficienterne for ukendte variable, - matrixen er kolonnen af frie udtryk, og - matrixen er kolonnen af ukendte variable. Efter at have fundet de ukendte variable x 1, x 2,..., x n, bliver matricen en løsning på ligningssystemet og ligheden A ⋅ X = B bliver en identitet.
Vi vil antage, at matricen A er ikke-degenereret, dvs. dens determinant er ikke-nul. I dette tilfælde har systemet med lineære algebraiske ligninger en unik løsning, som kan findes ved Cramers metode. (Metoder til løsning af systemer på er diskuteret i afsnittet om løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger).
Cramers metode er baseret på to egenskaber ved matrixdeterminanten:
Så lad os begynde at finde den ukendte variabel x 1. For at gøre dette multiplicerer vi begge sider af den første ligning i systemet med А 1 1, begge sider af den anden ligning - med А 2 1, og så videre, begge sider af den n-te ligning - med А n 1 ( det vil sige, at vi multiplicerer systemets ligninger med de tilsvarende algebraiske komplementer i den første kolonne i matrix A): 
Lad os lægge alle venstre sider af systemets ligning sammen, gruppere vilkårene for ukendte variable x 1, x 2, ..., xn, og sidestille denne sum med summen af alle højre sider af ligninger: 
Hvis vi vender os til de tidligere annoncerede egenskaber af determinanten, så har vi 
og den tidligere lighed tager formen 
hvor 
Find x 2 på lignende måde. For at gøre dette multiplicerer vi begge sider af systemets ligninger med de algebraiske komplementer i den anden søjle i matrix A: 
Vi lægger alle systemets ligninger sammen, grupperer vilkårene for ukendte variable x 1, x 2,..., x n og anvender egenskaberne for determinanten: 
Hvor 
.
De resterende ukendte variabler findes på samme måde.
Hvis vi betegner
Så får vi formler til at finde ukendte variable ved Cramers metode 
.
Kommentar.
Hvis systemet af lineære algebraiske ligninger er homogent, dvs. 
, så har den kun en triviel løsning (at). Faktisk, for nul frie vilkår, alle determinanter 
vil være lig med nul, da de vil indeholde en kolonne med nul-elementer. Derfor formlerne vil give.
Algoritme til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger ved Cramers metode.
Lad os skrive ned algoritme til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger ved Cramers metode.
Eksempler på løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger ved Cramers metode.
Lad os se på løsningerne af flere eksempler.
Eksempel.
Find løsningen på det inhomogene system af lineære algebraiske ligninger ved Cramers metode 
.
Løsning.
Systemets hovedmatrix er. Lad os beregne dens determinant med formlen 
:
Da determinanten for systemets hovedmatrix ikke er nul, har SLAE en unik løsning, og den kan findes ved Cramers metode. Lad os nedskrive determinanterne og. Vi erstatter den første kolonne i systemets hovedmatrix med kolonnen med frie udtryk, og vi får determinanten 
... På samme måde erstatter vi den anden kolonne i hovedmatricen med kolonnen med frie termer, og vi får.
Vi beregner disse determinanter: 
Find ukendte variable x 1 og x 2 ved hjælp af formlerne 
:
Lad os tjekke. Erstat de opnåede værdier x 1 og x 2 i det oprindelige ligningssystem: 
Begge systemets ligninger bliver til identiteter, derfor er løsningen fundet korrekt.
Svar:
.
Nogle elementer i SLAE's hovedmatrix kan være lig nul. I dette tilfælde vil de tilsvarende ukendte variable være fraværende i systemets ligninger. Lad os se på et eksempel.
Eksempel.
Find løsningen af et system af lineære ligninger ved Cramers metode 
.
Løsning.
Vi omskriver systemet som 
for at se systemets hovedmatrix 
... Lad os finde dens determinant ved formlen 
Vi har 
Determinanten for hovedmatrixen er ikke nul, derfor har systemet af lineære ligninger en unik løsning. Lad os finde det ved Cramers metode. Vi beregner determinanterne 
:
Dermed, 
Svar:
Betegnelserne for de ukendte variable i systemets ligninger kan afvige fra x 1, x 2,..., x n. Dette påvirker ikke beslutningsprocessen. Men rækkefølgen af de ukendte variable i systemets ligninger er meget vigtig, når man kompilerer hovedmatrixen og de nødvendige determinanter for Cramer-metoden. Lad os forklare dette punkt med et eksempel.
Eksempel.
Ved hjælp af Cramers metode, find løsningen til et system af tre lineære algebraiske ligninger i tre ukendte 
.
Løsning.
I dette eksempel er de ukendte variable mærket anderledes (x, y og z i stedet for x 1, x 2 og x 3). Dette påvirker ikke forløbet af løsningen, men vær forsigtig med variabelbetegnelserne. Tag IKKE som hovedmatrix af systemet 
... Det er nødvendigt først at bestille de ukendte variable i alle systemets ligninger. Til dette omskriver vi ligningssystemet som 
... Nu er systemets hovedmatrix tydeligt synlig 
... Lad os beregne dens determinant: 
Determinanten for hovedmatrixen er ikke nul, derfor har ligningssystemet en unik løsning. Lad os finde det ved Cramers metode. Lad os skrive determinanterne ned 
(bemærk notationen) og beregn dem: 
Det er tilbage at finde ukendte variable ved formlerne 
:
Lad os tjekke. For at gøre dette multiplicerer vi hovedmatrixen med den resulterende løsning (se om nødvendigt afsnittet): 
Som et resultat blev der opnået en kolonne med frie udtryk i det oprindelige ligningssystem, så løsningen blev fundet korrekt.
Svar:
x = 0, y = -2, z = 3.
Eksempel.
Løs et system af lineære ligninger ved Cramers metode 
hvor a og b er nogle reelle tal.
Løsning.
Svar:
Eksempel.
Find løsningen på ligningssystemet 
ved Cramers metode, - noget reelt tal.
Løsning.
Lad os beregne determinanten for systemets hovedmatrix:. udtryk er derfor et interval for alle gyldige værdier. Som følge heraf har ligningssystemet en unik løsning, som kan findes ved Cramers metode. Vi beregner og: 
Lad systemet lineære ligninger indeholder lige så mange ligninger som antallet af uafhængige variable, dvs. har formen
Sådanne systemer af lineære ligninger kaldes kvadratiske. Determinanten sammensat af koefficienterne for systemets uafhængige variable (1.5) kaldes systemets hoveddeterminant. Vi vil betegne det med det græske bogstav D. Således,
. (1.6)
Hvis hoveddeterminanten er vilkårlig ( j-th) kolonne, udskift med kolonnen med frie systemvilkår (1.5), så kan vi få en anden n hjælpedeterminanter:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Cramers regel løsning af kvadratiske systemer af lineære ligninger er som følger. Hvis hoveddeterminanten D for systemet (1.5) ikke er nul, så har systemet en unik løsning, som kan findes ved formlerne:
(1.8)
Eksempel 1.5. Brug af Cramers metode til at løse ligningssystemet
.
Lad os beregne hoveddeterminanten for systemet:
Siden D¹0 har systemet en unik løsning, som kan findes ved formlerne (1.8):
Dermed,
Matrix operationer
1. Multiplikation af en matrix med et tal. Operationen med at gange en matrix med et tal er defineret som følger.
2. For at gange en matrix med et tal, skal du gange alle dens elementer med dette tal. Det er
. (1.9)
Eksempel 1.6. 
.
Tilføjelse af matricer.
Denne operation introduceres kun for matricer af samme orden.
For at tilføje to matricer er det nødvendigt at tilføje de tilsvarende elementer i den anden matrix til elementerne i en matrix:
(1.10)
Operationen af matrixaddition har egenskaberne associativitet og kommutativitet.
Eksempel 1.7. 
.
Matrix multiplikation.
Hvis antallet af kolonner i matrixen EN matcher antallet af rækker i matrixen V, så introduceres multiplikationsoperationen for sådanne matricer:
2 
Således, når man multiplicerer matricen EN dimensioner m´ n på matrixen V dimensioner n´ k vi får matrixen MED dimensioner m´ k... Desuden elementerne i matrixen MED beregnes ved hjælp af følgende formler:
Opgave 1.8. Find om muligt produktet af matricer AB og BA:
Løsning. 1) At finde et arbejde AB, skal du bruge matrixrækker EN gange med matrixkolonner B:
2) Kunstværk BA eksisterer ikke, da antallet af kolonner i matrixen B svarer ikke til antallet af rækker i matrixen EN.
Invers matrix. Matrixløsning af lineære ligningssystemer
Matrix A - 1 kaldes den inverse af kvadratmatricen EN hvis ligestillingen er gældende:
hvor igennem jeg betegner identitetsmatrixen af samme orden som matrixen EN:
.
For at en kvadratisk matrix skal have en invers, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens determinant ikke er nul. Den inverse matrix findes ved formlen:
, (1.13)
hvor A ij- algebraiske tilføjelser til elementer en ij matricer EN(bemærk, at algebraisk komplementerer til rækkerne i matrixen EN er placeret i den inverse matrix i form af de tilsvarende kolonner).
Eksempel 1.9. Find invers matrix A - 1 til matrixen
.
Vi finder den inverse matrix ved formlen (1.13), som for tilfældet n= 3 har formen:
.
Find det EN = | EN| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Da determinanten af den oprindelige matrix er ikke-nul, eksisterer den inverse matrix.
1) Find de algebraiske komplementer A ij:
For at gøre det nemmere at finde den inverse matrix har vi placeret de algebraiske tilføjelser til rækkerne af den oprindelige matrix i de tilsvarende kolonner.
Ud fra de opnåede algebraiske komplementer komponerer vi en ny matrix og dividerer den med determinanten det EN... Således får vi det omvendte af matricen:
Kvadratiske systemer af lineære ligninger med en hoveddeterminant, der ikke er nul, kan løses ved hjælp af en invers matrix. Til dette er system (1.5) skrevet i matrixform:
hvor 
Multiplicer begge sider af lighed (1,14) til venstre med A - 1, får vi løsningen af systemet:
, hvor
For at finde en løsning på et kvadratisk system skal du således finde den inverse matrix til systemets hovedmatrix og gange den til højre med kolonnematricen med frie led.
Opgave 1.10. Løs et system af lineære ligninger
ved hjælp af den inverse matrix.
Løsning. Lad os skrive systemet i matrixform:,
hvor 
- systemets hovedmatrix, - kolonnen af ukendte og - kolonnen af frie medlemmer. Da systemets vigtigste determinant 
, derefter systemets hovedmatrix EN har en omvendt matrix EN-1. For at finde den inverse matrix EN-1, beregner vi de algebraiske komplementer til alle elementer i matricen EN:
Ud fra de opnåede tal komponerer vi en matrix (desuden supplerer de algebraiske rækker af matrixen EN vi skriver i de tilsvarende kolonner) og dividerer det med determinanten D. Således har vi fundet den inverse matrix:
Vi finder løsningen af systemet ved formlen (1.15):
Dermed,
Løsning af systemer af lineære ligninger ved metoden med almindelige Jordan-undtagelser
Lad et vilkårligt (ikke nødvendigvis kvadratisk) system af lineære ligninger være givet:
(1.16)
Det er påkrævet at finde en løsning på systemet, dvs. et sæt af variabler, der opfylder alle systemligheder (1.16). I det generelle tilfælde kan system (1.16) ikke kun have én løsning, men også et uendeligt antal løsninger. Hun har måske heller ingen løsninger overhovedet.
Når man løser sådanne problemer, bruges metoden til at eliminere ukendte, velkendt fra skoleforløbet, som også kaldes metoden med almindelige Jordan-undtagelser. Essensen af denne metode er, at i en af systemligningerne (1.16) er en af variablerne udtrykt i form af andre variable. Derefter erstattes denne variabel med andre ligninger i systemet. Resultatet er et system, der indeholder én ligning og én mindre variabel end det oprindelige system. Ligningen, hvorfra variablen blev udtrykt, huskes.
Denne proces gentages, indtil der er en sidste ligning tilbage i systemet. I processen med at eliminere ukendte, kan nogle ligninger blive til sande identiteter, for eksempel. Sådanne ligninger er udelukket fra systemet, da de er opfyldt for enhver værdi af variablerne og derfor ikke påvirker systemets løsning. Hvis, i processen med at eliminere ukendte, mindst én ligning bliver en lighed, der ikke kan opfyldes for nogen værdier af variablerne (for eksempel), så konkluderer vi, at systemet ikke har nogen løsning.
Hvis der i løbet af løsningen af modstridende ligninger ikke opstod, så findes en af de resterende variable i den fra den sidste ligning. Hvis der kun er én variabel tilbage i den sidste ligning, så udtrykkes den som et tal. Hvis andre variable forbliver i den sidste ligning, betragtes de som parametre, og variablen udtrykt gennem dem vil være en funktion af disse parametre. Så finder det såkaldte "omvendte træk" sted. Den fundne variabel sættes ind i den sidst gemte ligning, og den anden variabel er fundet. Derefter erstattes de to fundne variable i den næstsidste gemte ligning, og den tredje variabel findes, og så videre, op til den første huskede ligning.
Som et resultat får vi løsningen af systemet. Denne løsning vil være den eneste, hvis de fundne variable er tal. Hvis den først fundne variabel, og derefter alle de andre, afhænger af parametrene, vil systemet have et uendeligt antal løsninger (en ny løsning svarer til hvert sæt parametre). Formler, der gør det muligt at finde en løsning til et system afhængigt af et bestemt sæt af parametre, kaldes systemets generelle løsning.
Eksempel 1.11.
x
Efter at have husket den første ligning 
og reducerer lignende udtryk i anden og tredje ligning, kommer vi til systemet:
Lad os udtrykke y fra den anden ligning og indsæt den i den første ligning:
Lad os huske den anden ligning, og fra den første finder vi z:
Når vi foretager det omvendte træk, finder vi successivt y og z... For at gøre dette, erstatter vi først i den sidst huskede ligning, hvorfra vi finder y:
.
Så erstatter vi i den første huskede ligning hvorfra vi finder x:
Opgave 1.12. Løs et system af lineære ligninger ved at eliminere ukendte:
. (1.17)
Løsning. Lad os udtrykke variablen ud fra den første ligning x og indsæt det i anden og tredje ligning:
.
Lad os huske den første ligning 
I dette system modsiger den første og anden ligning hinanden. Faktisk udtrykker y 
, får vi at 14 = 17. Denne lighed gælder ikke for nogen værdier af variablerne x, y, og z... Som følge heraf er system (1.17) inkonsekvent, dvs. har ingen løsning.
Vi foreslår læserne uafhængigt at kontrollere, at hoveddeterminanten for det oprindelige system (1.17) er lig med nul.
Overvej et system, der kun adskiller sig fra system (1.17) med én fri term.
Opgave 1.13. Løs et system af lineære ligninger ved at eliminere ukendte:
. (1.18)
Løsning. Som før udtrykker vi fra den første ligning variablen x og indsæt det i anden og tredje ligning:
.
Lad os huske den første ligning og giv lignende udtryk i anden og tredje ligning. Vi kommer til systemet:
Udtrykke y fra den første ligning og erstatte den med den anden ligning , får vi identiteten 14 = 14, hvilket ikke påvirker systemets løsning, og derfor kan det udelukkes fra systemet.
I den sidst huskede lighed, variablen z vil blive betragtet som en parameter. Vi tror. Derefter
Erstatning y og z ind i den første huskede lighed og find x:
.
Systemet (1.18) har således et uendeligt sæt af løsninger, og enhver løsning kan findes ved formler (1.19) ved at vælge en vilkårlig værdi af parameteren t:
(1.19)
Så systemets løsninger er for eksempel følgende sæt af variabler (1; 2; 0), (2; 26; 14) osv. Formler (1.19) udtrykker den generelle (enhver) løsning af systemet (1.18) .
I det tilfælde, hvor det oprindelige system (1.16) har et tilstrækkeligt stort antal ligninger og ukendte, virker den angivne metode med almindelige Jordan-undtagelser besværlig. Det er det dog ikke. Det er nok at udlede algoritmen til genberegning af systemets koefficienter på et trin i en generel form og formulere løsningen på problemet i form af specielle Jordan-tabeller.
Lad et system af lineære former (ligninger) være givet:
, (1.20)
hvor x j- uafhængige (søgte) variable, en ij- konstante koefficienter
(jeg = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Højre side af systemet y i (jeg = 1, 2,…, m) kan både være variable (afhængige) og konstanter. Det er nødvendigt at finde løsninger på dette system ved at eliminere ukendte.
Overvej følgende operation, herefter kaldet "et trin af almindelige Jordan-undtagelser". Fra en vilkårlig ( r-th) lighed, vi udtrykker en vilkårlig variabel ( x s) og substituerer i alle andre ligestillinger. Det er selvfølgelig kun muligt hvis en rs¹ 0. Koefficient en rs kaldet det tillade (nogle gange vejledende eller hoved) element.
Vi får følgende system:
. (1.21)
Fra s systemets lighed (1.21), finder vi efterfølgende variablen x s(efter at resten af variablerne er fundet). S linje huskes og udelukkes yderligere fra systemet. Det resterende system vil indeholde en ligning og en mindre uafhængig variabel end det oprindelige system.
Lad os beregne koefficienterne for det resulterende system (1.21) i form af koefficienterne for det oprindelige system (1.20). Lad os starte med r-th ligning, som efter udtrykket af variablen x s gennem resten af variablerne vil se sådan ud:
Således de nye koefficienter r-de ligninger beregnes med følgende formler:
(1.23)
Lad os nu beregne de nye koefficienter b ij(jeg¹ r) af en vilkårlig ligning. Til dette erstatter vi variablen udtrykt i (1.22) x s v jeg-systemets ligning (1.20):
Efter at have bragt lignende udtryk får vi:
(1.24)
Fra lighed (1.24) får vi formler, hvormed de resterende koefficienter for systemet (1.21) beregnes (med undtagelse af r ligning):
(1.25)
Transformationen af systemer af lineære ligninger ved hjælp af metoden med almindelige Jordan-undtagelser er formaliseret i form af tabeller (matricer). Disse tabeller kaldes "Jordan"-tabeller.
Således er problem (1.20) forbundet med følgende Jordan-tabel:
Tabel 1.1
| x 1 | x 2 | … | x j | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | -en 11 | -en 12 | -en 1j | -en 1s | -en 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | et i 1 | et i 2 | en ij | en er | en ind | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | en r 1 | en r 2 | en rj | en rs | en rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | en m 1 | en m 2 | en mj | en ms | en mn |
Jordan tabel 1.1 indeholder den venstre overskriftskolonne, hvori systemets højre side (1.20) er skrevet og den øverste overskriftsrække, hvor de uafhængige variable er skrevet.
Resten af tabelelementerne danner hovedmatrixen af systemets koefficienter (1.20). Hvis vi multiplicerer matricen EN til matricen bestående af elementerne i den øverste overskriftsrække, så får du matrixen bestående af elementerne i venstre overskriftskolonne. Det vil sige, at en Jordan-tabel i bund og grund er en matrixnotation af et system af lineære ligninger:. I dette tilfælde svarer følgende Jordan-tabel til systemet (1.21):
Tabel 1.2
| x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b er | b i | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | b r 1 | b r 2 | b rj | b rs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | b mj | b ms | b mn |
Tilladende element en rs vi vil fremhæve det med fed skrift. Husk på, at for at et trin af Jordan-undtagelser kan finde sted, skal løsningselementet ikke være nul. Rækken i tabellen, der indeholder tilladelseselementet, kaldes tilladelsesrækken. Kolonnen, der indeholder det tilladelige element, kaldes den tilladelige kolonne. Når du flytter fra denne tabel til den næste tabel, vil en variabel ( x s) fra den øverste overskriftsrække i tabellen flyttes til venstre overskriftskolonne og omvendt et af de frie medlemmer af systemet ( y r) fra den venstre hovedkolonne i tabellen flyttes til den øverste hovedrække.
Lad os beskrive en algoritme til genberegning af koefficienterne ved overgang fra Jordan-tabel (1.1) til tabel (1.2), som følger af formlerne (1.23) og (1.25).
1. Tilladelseselementet erstattes med et gensidigt:
2. Resten af elementerne i tilladelseslinjen divideres med tilladelseselementet og ændrer tegnet til det modsatte: 
3. De resterende elementer i den løsende kolonne er opdelt i det løsende element: 
4. Elementer, der ikke er inkluderet i opløsningslinjen og opløsningskolonnen, genberegnes ved hjælp af formlerne: 
Den sidste formel er let at huske, hvis du bemærker, at de elementer, der udgør brøken 
, er i krydset jeg th og r-te linier og j th og s-th kolonner (den løsende række, den løsende kolonne og rækken og kolonnen, hvor det element, der genberegnes, er placeret). Mere præcist, når du husker formlen 
følgende diagram kan bruges:
Tager det første trin af Jordan undtagelser, ethvert element i tabel 1.3, placeret i kolonnerne x 1 ,…, x 5 (alle angivne elementer er ikke-nul). Du skal ikke kun vælge det løsende element i den sidste kolonne, fordi det er nødvendigt at finde uafhængige variable x 1 ,…, x 5 . Vi vælger for eksempel koefficienten 1 med variabel x 3 i tredje række i tabel 1.3 (aktiveringselementet er vist med fed skrift). Når man går til tabel 1.4, er variablen x De 3 fra den øverste overskriftsrække ombyttes med den venstre hovedsøjle konstant 0 (tredje række). I dette tilfælde variablen x 3 er udtrykt i form af de resterende variable.
Snor x 3 (tabel 1.4) kan efter huske udelukkes fra tabel 1.4. Den tredje kolonne med nul i den øverste overskriftslinje er også undtaget fra tabel 1.4. Faktum er, at uanset koefficienterne i denne kolonne b i 3 alle de tilsvarende led i hver ligning 0 b i 3 systemer vil være nul. Derfor kan disse koefficienter udelades. Eliminering af en variabel x 3 og husker en af ligningerne, kommer vi til systemet svarende til tabel 1.4 (med den overstregede linje x 3). Valg i tabel 1.4 som løsningselement b 14 = -5, gå til tabel 1.5. I tabel 1.5 husker vi den første række og udelader den fra tabellen sammen med den fjerde kolonne (med et nul øverst).
Tabel 1.5 Tabel 1.6
Fra den sidste tabel 1.7 finder vi: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Ved at substituere de allerede fundne variable sekventielt i de lagrede linjer finder vi de resterende variable:
Systemet har således utallige løsninger. Variabel x 5, kan du tildele vilkårlige værdier. Denne variabel fungerer som en parameter x 5 = t. Vi har bevist systemets kompatibilitet og fundet dets generelle løsning:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Ved at give parameteren t forskellige værdier, får vi utallige løsninger til det originale system. Så for eksempel er løsningen til systemet følgende sæt af variabler (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Med antallet af ligninger det samme som antallet af ukendte med matrixens hoveddeterminant, som ikke er lig med nul, er systemets koefficienter (for sådanne ligninger er der en løsning, og den er kun én).
Cramers sætning.
Når determinanten af matricen i et kvadratisk system er ikke-nul, betyder det, at systemet er konsistent, og det har én løsning, og det kan findes ved at Cramers formler:
hvor Δ - determinant for systemmatricen,
Δ jeg er determinanten for systemets matrix, hvori i stedet for jeg-th kolonne er kolonnen på højre side.
Når determinanten for et system er nul, betyder det, at systemet kan blive fælles eller inkompatibelt.
Denne metode bruges normalt til små systemer med store beregninger, og når det er nødvendigt at bestemme en af de ukendte. Metodens kompleksitet er, at der er mange determinanter, der skal beregnes.
Beskrivelse af Cramers metode.
Der er et ligningssystem:
Systemet med 3 ligninger kan løses ved Cramer-metoden, som blev overvejet ovenfor for et system med 2 ligninger.
Vi sammensætter determinanten ud fra koefficienterne for de ukendte:
Dette vil systemidentifikator... Hvornår D ≠ 0, så er systemet kompatibelt. Lad os nu sammensætte 3 yderligere determinanter:
,
,
Vi løser systemet med Cramers formler:
Eksempler på løsning af ligningssystemer ved Cramers metode.
Eksempel 1.
På baggrund af systemet:
Lad os løse det ved hjælp af Cramers metode.
Først skal du beregne determinanten for systemets matrix:
Fordi Δ ≠ 0, derfor er systemet konsistent ud fra Cramers sætning, og det har én løsning. Vi beregner yderligere determinanter. Determinanten Δ 1 opnås fra determinanten Δ, der erstatter dens første kolonne med kolonnen med frie koefficienter. Vi får:
På samme måde får vi determinanten Δ 2 fra determinanten af systemets matrix ved at erstatte den anden kolonne med kolonnen med frie koefficienter:
