Gulve og gulvbelægninger / 27.09.2019

Sideflader af den afkortede pyramide. Pyramide

I denne lektion vil vi se på den afkortede pyramide, stifte bekendtskab med den korrekte afkortede pyramide og studere deres egenskaber.

Lad os huske begrebet en n-sidet pyramide ved hjælp af eksemplet på en trekantet pyramide. Trekant ABC er indstillet. Uden for trekantsplanet tages punktet P, forbundet med trekanternes hjørner. Den resulterende polyedriske overflade kaldes en pyramide (fig. 1).

Ris. 1. Trekantet pyramide

Lad os skære pyramiden med et plan parallelt med pyramidebasens plan. Figuren opnået mellem disse planer kaldes en afkortet pyramide (fig. 2).

Ris. 2. Afkortet pyramide

Hovedelementer:

Øvre base;

Lavere base ABC;

Sidekant;

Hvis PH er højden af den oprindelige pyramide, så er højden af den afkortede pyramide.

Egenskaberne for en afkortet pyramide følger af metoden til dens konstruktion, nemlig fra paralleliteten af basisplanerne:

Alle sider af den afkortede pyramide er trapez. Overvej for eksempel en facet. Ifølge egenskaben ved parallelle planer (da planerne er parallelle, skærer de sidefladen af den oprindelige ABP-pyramide langs parallelle lige linjer), samtidig er de ikke parallelle. Det er klart, at firkanten er et trapez, ligesom alle sideflader af den afkortede pyramide.

Grundforholdet er det samme for alle trapezformer:

Vi har flere par lignende trekanter med samme lighedskoefficient. F.eks. Ligner trekanter og RAV på grund af planernes parallelitet og lighedskoefficienten:

På samme tid er trekanter og RBC'er ens med lighedskoefficienten:

Det er indlysende, at lighedskoefficienterne for alle tre par lignende trekanter er ens, så forholdet mellem baserne er det samme for alle trapezoider.

En regulær trunkeret pyramide er en afkortet pyramide opnået ved et udsnit af en regulær pyramide med et plan parallelt med bunden (fig. 3).

Ris. 3. Korrekt afkortet pyramide

Definition.

En pyramide kaldes en regulær pyramide, ved hvis basis der er en regelmæssig n-gon, og toppunktet projiceres til midten af denne n-gon (midten af den indskrevne og omskrevne cirkel).

I dette tilfælde ligger en firkant ved bunden af pyramiden, og toppen projiceres til skæringspunktet mellem dens diagonaler. Den opnåede regelmæssige firkantede afkortede pyramide ABCD har en nedre base og en øvre base. Højden af den oprindelige pyramide - RO, den afkortede pyramide - (fig. 4).

Ris. 4. Regelmæssig firkantet afkortet pyramide

Definition.

Højden af den afkortede pyramide er en vinkelret trukket fra et hvilket som helst punkt på den ene base til den anden bases plan.

Apotemet for den oprindelige pyramide er PM (M er midten af AB), apotemet for den afkortede pyramide er (fig. 4).

Definition.

Den afkortede pyramides apothem er højden på ethvert sideflade.

Det er klart, at alle sidekanterne af den afkortede pyramide er lig med hinanden, det vil sige, at sidekanterne er lige ensartede trapezoider.

Det laterale overfladeareal af en regulær afkortet pyramide er lig med produktet af halvsummen af basisomkredsen og apotemet.

Bevis (for en almindelig rektangulær afkortet pyramide - fig. 4):

Så det er nødvendigt at bevise:

Arealet af den laterale overflade her vil bestå af summen af arealerne af sidefladerne - trapez. Da trapezerne er de samme, har vi:

Arealet af et ensartet trapezformet produkt er halvdelen af baserne og højden, apothemen er trapezformens højde. Vi har:

Q.E.D.

For en n-sidet pyramide:

Hvor n er antallet af sideflade af pyramiden, a og b er basen af trapezformen, er apoten.

Sider af bunden af en regulær afkortet firkantet pyramide er lig med 3 cm og 9 cm, højde - 4 cm Find det laterale overfladeareal.

Ris. 5. Illustration til opgave 1

Løsning. Lad os illustrere tilstanden:

Givet:,,

Gennem punkt O tegner vi en lige linje MN parallelt med de to sider af den nederste base, på samme måde gennem et punkt tegner vi en lige linje (fig. 6). Da firkanterne og konstruktionerne er parallelle i bunden af den afkortede pyramide, får vi et trapez, der er lig med sidefladerne. Desuden vil dens laterale side passere gennem midten af de øvre og nedre kanter af sidefladerne og være apothem for den afkortede pyramide.

Ris. 6. Yderligere konstruktioner

Overvej det resulterende trapez (fig. 6). I denne trapez er den øvre base, den nederste base og højden kendt. Det er påkrævet at finde siden, som er apothemen for den givne afkortede pyramide. Lad os tegne vinkelret på MN. Lad os droppe den vinkelrette NQ fra punktet. Vi får, at den større base er opdelt i segmenter på tre centimeter (). Overvej en retvinklet trekant, benene i den er kendt, dette er den egyptiske trekant, ifølge Pythagoras sætning bestemmer vi længden af hypotenusen: 5 cm.

Nu er der alle elementer til bestemmelse af arealet af pyramidens laterale overflade:

Pyramiden krydses af et plan parallelt med basen. Bevis, ved hjælp af eksemplet med en trekantet pyramide, at sidekanterne og højden af pyramiden er delt af dette plan i proportionale dele.

Bevis. Lad os illustrere:

Ris. 7. Illustration til opgave 2

RAVS-pyramiden er sat. RO er højden af pyramiden. Pyramiden dissekeres af et fly, en afkortet pyramide opnås, og. Punkt - skæringspunktet for RO-højden med planet for bunden af den afkortede pyramide. Det er nødvendigt at bevise:

Nøglen til løsningen er den parallelle plan egenskab. To parallelle planer skærer et hvilket som helst tredje plan, så skæringslinjerne er parallelle. Derfor:. Parallellen af de tilsvarende rette linjer indebærer tilstedeværelsen af fire par lignende trekanter:

Proportionaliteten af de tilsvarende sider følger af ligheden mellem trekanter. Et vigtigt træk er, at lighedskoefficienterne for disse trekanter er de samme:

Q.E.D.

En almindelig trekantet pyramide RAVS med en højde og en side af basen dissekeres af et plan, der passerer gennem midten af RN -højden parallelt med ABC -basen. Find det laterale overfladeareal af den resulterende afkortede pyramide.

Løsning. Lad os illustrere:

Ris. 8. Illustration til opgave 3

ACB er en retvinklet trekant, H er midten af denne trekant (midtpunktet af de indskrevne og omskrevne cirkler). RM er apothemen for en given pyramide. - apothem af den afkortede pyramide. Ifølge egenskaben ved parallelle plan (to parallelle planer skærer et hvilket som helst tredje plan, så skæringslinjerne er parallelle), har vi flere par lignende trekanter med en lighedskoefficient. Vi er især interesserede i forholdet:

Lad os finde NM. Dette er radius af cirklen indskrevet i basen, vi kender den tilsvarende formel:

Nu, fra den retvinklede trekant РНМ, ifølge Pythagoras sætning, finder vi РМ - apothemen i den oprindelige pyramide:

Fra det oprindelige forhold:

Nu kender vi alle elementerne til at finde arealet af den laterale overflade af den afkortede pyramide:

Så vi stiftede bekendtskab med begreberne en afskåret pyramide og en almindelig afskåret pyramide, gav grundlæggende definitioner, betragtede egenskaber og beviste sætningen på det laterale overfladeareal. Den næste lektion vil handle om problemløsning.

Bibliografi

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. 10.-11. Klasse: en lærebog for studerende på uddannelsesinstitutioner (grund- og profilniveauer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. udgave, Rev. og tilføje. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 s .: ill.
Sharygin I.F. geometri. Karakter 10-11: Lærebog for generelle uddannelsesinstitutioner / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s .: Ill.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometri. Grade 10: Lærebog for uddannelsesinstitutioner med dybdegående og specialiseret undersøgelse af matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. udgave, Stereotype. - M .: Bustard, 2008 .-- 233 s .: ill.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().

Lektier

- Dette er et polyeder, som er dannet af bunden af pyramiden og sektionen parallelt med den. Vi kan sige, at en afkortet pyramide er en pyramide med en afskåret top. Denne form har mange unikke egenskaber:

Pyramidens sideflader er trapez;
Sideribberne i en regulær afskåret pyramide er af samme længde og skråner til bunden i samme vinkel;
Baserne er som polygoner;
I en regulær afkortet pyramide er ansigterne identiske ligebenede trapezoider, hvis areal er ens. De vippes også til basen i samme vinkel.

Formlen for det laterale overfladeareal af en afkortet pyramide er summen af siderne af dens sider:

Da siderne af den afkortede pyramide er trapezoider, skal du bruge formlen til at beregne parametrene område af trapez... For en korrekt afkortet pyramide kan du anvende en anden arealformel. Da alle dens sider, flader og vinkler ved basen er ens, er det muligt at anvende omkredsen af basen og apotemet og også udlede arealet gennem vinklen ved basen.

Hvis der i henhold til betingelserne i en almindelig afkortet pyramide er angivet apothemen (sidens sidehøjde) og længderne af basens sider, så er det muligt at beregne arealet gennem sumproduktet af summen af omkredsen af baserne og apotemet:

Lad os se på et eksempel på beregning af det laterale overfladeareal af en afkortet pyramide.
Der gives en regulær femkantet pyramide. Apothem l= 5 cm, længden af ansigtet i den store base er -en= 6 cm, og kanten i den mindre bund b= 4 cm Beregn arealet af den afkortede pyramide.

Lad os først finde omkredsen af baserne. Da vi får en femkantet pyramide, forstår vi, at baserne er femkanter. Det betyder, at en figur med fem identiske sider ligger ved bunden. Find omkredsen af den større base:

På samme måde finder vi omkredsen af den mindre base:

Nu kan vi beregne arealet af den korrekte afkortede pyramide. Vi erstatter dataene med formlen:

Således beregnede vi arealet af en almindelig afkortet pyramide gennem omkredsen og apotem.

En anden måde at beregne lateralt overfladeareal på en almindelig pyramide er formlen gennem hjørnerne ved bunden og området af netop disse baser.

Lad os se på et beregningseksempel. Husk, at denne formel kun gælder for den korrekte afkortede pyramide.

Lad en regulær firkantet pyramide gives. Kanten af den nederste base er a = 6 cm, og kanten af den øverste base er b = 4 cm. Den dihedriske vinkel ved basen er β = 60 °. Find det laterale overfladeareal af en almindelig afkortet pyramide.

Lad os først beregne arealet af baserne. Da pyramiden er korrekt, er alle basernes flader lig med hinanden. I betragtning af, at der er en firkant ved bunden, forstår vi, at det vil være nødvendigt at beregne kvadratisk areal... Det er produktet af bredde og længde, men disse værdier er de samme i kvadrat. Find området for den større base:

Nu bruger vi de fundne værdier til at beregne det laterale overfladeareal.

Ved at kende et par enkle formler beregnede vi let arealet af den afskårne pyramides laterale trapez gennem forskellige værdier.

29.05.2016
Et oscillerende kredsløb er et elektrisk kredsløb, der indeholder en induktor, en kondensator og en kilde til elektrisk energi. Når kredsløbets elementer er forbundet i serie, kaldes det oscillerende kredsløb sekventielt, med parallel - parallel. Et oscillerende kredsløb er det enkleste system, hvor frie elektromagnetiske svingninger kan forekomme. Kredsløbets resonansfrekvens bestemmes af den såkaldte Thomson-formel: ƒ = 1 / (2π√ (LC)) For ...
20.09.2014
Modtageren er designet til at modtage signaler i LW -området (150kHz ... 300kHz). Modtagerens hovedfunktion er i antennen, som har en højere induktans end en konventionel magnetisk antenne. Det giver dig mulighed for at bruge kapacitansen til trimmer -kondensatoren i området 4 ... 20pF, såvel som en sådan modtager har en acceptabel følsomhed og lav forstærkning af RF -banen. Modtageren fungerer til hovedtelefoner (hovedtelefoner), den drives af ...
24.09.2014
Denne enhed er designet til at styre væskeniveauet i tankene, så snart væsken stiger til det indstillede niveau, begynder enheden at give et kontinuerligt lydsignal, når væskeniveauet når et kritisk niveau, begynder enheden at give en intermitterende signal. Indikatoren består af 2 generatorer, de styres af et sensorelement E. Den placeres i tanken på et niveau op til ...
22.09.2014
KR1016VI1 er en digital multi-program timer designet til at arbejde med ILTs3-5 \ 7 indikatoren. Det giver nedtælling og visning på indikatoren for den aktuelle tid i timer og minutter, ugedag og nummer på kontrolkanalen (9 alarmer). Vækkeurkredsløbet er vist på figuren. Mikrokredsløbet er uret. resonator Q1 ved 32768Hz. maden er negativ, det samlede plus går til...

Pyramide. Afkortet pyramide

Pyramide kaldes et polyeder, hvis flader er en polygon ( grundlag ), og alle andre flader er trekanter med et fælles toppunkt ( sideflader ) (fig. 15). Pyramiden kaldes korrekt hvis dens base er en almindelig polygon, og toppen af pyramiden projiceres til midten af basen (fig. 16). En trekantet pyramide, hvor alle kanter er lige, kaldes tetraeder .

Side rib pyramide er den side af sidefladen, der ikke tilhører basen Højde pyramiden kaldes afstanden fra dens top til basens plan. Alle sidekanter af en regelmæssig pyramide er lig med hinanden, alle sidekanter er lige ensartede trekanter. Højden på sidefladen af en almindelig pyramide trukket fra toppen kaldes apotem . Diagonalt snit pyramidens sektion kaldes et plan, der passerer gennem to sidekanter, der ikke tilhører den ene flade.

Sidefladeareal pyramide kaldes summen af arealerne af alle sideflader. Fuldt overfladeareal kaldet summen af arealerne af alle sideflader og grundfladen.

Sætninger

1. Hvis alle sidekanter i en pyramide er lige skråtstillede i forhold til basens plan, så projiceres toppen af pyramiden ind i midten af cirklen, der er afgrænset omkring basen.

2. Hvis alle sidekanter i pyramiden har lige lange længder, projiceres toppen af pyramiden ind i midten af cirklen, der er afgrænset omkring basen.

3. Hvis alle flader i pyramiden hælder lige meget til basens plan, så projiceres toppen af pyramiden ind i midten af cirklen, der er indskrevet i basen.

For at beregne volumenet af en vilkårlig pyramide er følgende formel korrekt:

hvor V- volumen;

S hoved- basisareal

H- pyramidens højde.

For den korrekte pyramide er formlerne korrekte:

hvor s- base omkreds;

h a- apotem;

H- højde;

S fuld

S side

S hoved- basisareal

V Er volumen af den korrekte pyramide.

Afkortet pyramide kaldet den del af pyramiden, der er lukket mellem basen og det sekantiske plan parallelt med pyramidens bund (fig. 17). Regelmæssig afkortet pyramide kaldes den del af en almindelig pyramide, der er lukket mellem basen og det sekantiske plan parallelt med pyramidens bund.

Fundamenter afkortede pyramider - lignende polygoner. Sideflade - trapez. Højde en afkortet pyramide er afstanden mellem dens baser. Diagonal en afskåret pyramide kaldes et segment, der forbinder dets hjørner, der ikke ligger på det samme ansigt. Diagonalt snit sektionen af en afkortet pyramide kaldes et plan, der passerer gennem to sidekanter, der ikke tilhører det ene flade.

For en afkortet pyramide er følgende formler gyldige:

(4)

hvor S 1 , S 2 - områder af de øvre og nedre baser;

S fuld- samlet overfladeareal

S side- lateralt overfladeareal

H- højde;

V- mængden af den afkortede pyramide.

For en korrekt afkortet pyramide er formlen korrekt:

hvor s 1 , s 2 - omkredse af baserne;

h a- apothemen for den almindelige afkortede pyramide.

Eksempel 1. I en almindelig trekantet pyramide er dihedralvinklen ved basen 60º. Find tangenten af hældningsvinklen af sidekanten til basens plan.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 18).

Pyramiden er regulær, så ved bunden er der en ligesidet trekant, og alle sideflader er lige store trekanter. Dihedralvinklen ved basen er hældningsvinklen for pyramidens sideflade til basens plan. Den lineære vinkel er vinklen -en mellem to vinkelretninger: og dvs. Toppen af pyramiden er projiceret i midten af trekanten (midten af den omskrevne cirkel og den indskrevne cirkel i trekanten ABC). Hældningsvinklen på den laterale ribbe (f.eks SB) Er vinklen mellem selve kanten og dens projektion på bundens plan. Til ribben SB denne vinkel vil være vinklen SBD... For at finde tangenten skal du kende benene SÅ og OB... Lad længden af segmentet BD er lig med 3 -en... Prik O afsnit BD er opdelt i dele: og Fra finder vi SÅ: Fra vi finder:

Svar:

Eksempel 2. Find mængden af en almindelig afskåret firkantet pyramide, hvis diagonalerne i dens baser er cm og cm, og højden er 4 cm.

Løsning. For at finde volumen af den afkortede pyramide bruger vi formel (4). For at finde basenes område skal du finde siderne af basiskvadraterne og kende deres diagonaler. Basernes sider er henholdsvis 2 cm og 8 cm. Så basernes område og Efter at have substitueret alle data i formlen, beregner vi volumenet af den afkortede pyramide:

Svar: 112 cm 3.

Eksempel 3. Find arealet af sidefladen på en almindelig trekantet afkortet pyramide, hvis sider er 10 cm og 4 cm, og pyramidens højde er 2 cm.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 19).

Sidefladen af denne pyramide er en ligebenet trapez. For at beregne arealet af et trapez skal du kende basen og højden. Baserne er givet efter betingelse, kun højden er ukendt. Vi finder den hvorfra EN 1 E vinkelret fra punktet EN 1 på den nederste bases plan, EN 1 D- vinkelret fra EN 1 på SOM. EN 1 E= 2 cm, da dette er pyramidens højde. At finde DE vi vil lave en ekstra tegning, hvor vi vil skildre et billede ovenfra (fig. 20). Punkt O- projektion af midten af de øvre og nedre baser. siden (se fig. 20) og på den anden side Okay Er radius af den indskrevne cirkel og OM- radius af den indskrevne cirkel:

MK = DE.

Ved Pythagoras sætning fra

Område i siden:

Svar:

Eksempel 4. Ved pyramidens bund ligger et ensartet trapez, hvis baser -en og b (-en> b). Hver sideflade danner en vinkel med pyramidens basisplan lig med j... Find det samlede overfladeareal af pyramiden.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 21). Samlet overfladeareal af pyramiden SABCD lig med summen af arealerne og trapezformets areal ABCD.

Lad os bruge det udsagn, at hvis alle pyramidens flader er ligeligt skråtstillede til bundens plan, så projiceres spidsen til midten af cirklen, der er indskrevet i bunden. Punkt O- vertex projektion S ved bunden af pyramiden. Trekant SOD er den ortogonale projektion af trekanten CSD på basens plan. Ved sætningen om arealet af den ortogonale projektion af en plan figur får vi:

På samme måde betyder det Således blev opgaven reduceret til at finde arealet af trapez ABCD... Tegn et trapez ABCD separat (fig. 22). Punkt O- midten af cirklen indskrevet i trapezformen.