Instruktioner

Hvis modulet præsenteres som en kontinuerlig funktion, kan værdien af ​​dets argument være enten positiv eller negativ: | x | = x, x ≥ 0; | x | = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2);

Det er let at se, at addition og subtraktion af komplekse tal følger samme regel som addition og.

Produktet af to komplekse tal er:

z1 * z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.

Da i ^ 2 = -1 er slutresultatet:

(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).

Eksponentiering og rodudtrækning for komplekse tal defineres på samme måde som for reelle tal. Men i det komplekse domæne, for ethvert tal, er der nøjagtig n tal b, således at b ^ n = a, det vil sige n rødder af den n. grad.

Især betyder det, at enhver algebraisk ligning af n.grad i en variabel har nøjagtigt n komplekse rødder, hvoraf nogle kan være og.

Lignende videoer

Kilder:

• Foredrag "Komplekse tal" i 2019

Roden er et ikon, der angiver den matematiske operation for at finde et sådant tal, hvis hævelse til den kraft, der er angivet foran rodtegnet, skal give det tal, der er angivet under det samme tegn. For at løse problemer, hvor der er rødder, er det ofte ikke nok blot at beregne værdien. Det er nødvendigt at udføre yderligere operationer, hvoraf den ene er introduktionen af ​​et tal, en variabel eller et udtryk under rodtegnet.

Instruktioner

Bestem rodens eksponent. En eksponent er et heltal, der angiver i hvilken grad resultatet af beregningen af ​​roden skal hæves for at få et radikalt udtryk (det tal, hvorfra denne rod er udtrukket). Eksponenten af ​​roden som et hævet skrift før rodikonet. Hvis det ikke er angivet, er det kvadratroden, hvis magt er to. Eksempelvis er rodens eksponent √3 to, eksponenten ³√3 er tre, rodens eksponent ⁴√3 er fire og så videre.

Hæv det tal, du vil sætte under rodtegnet, til potensen lig med eksponenten for denne rod, som du definerede i det foregående trin. For eksempel, hvis du skal indtaste tallet 5 under rodtegnet ⁴√3, er rodens eksponent fire, og du har brug for resultatet af at hæve 5 til den fjerde effekt 5⁴ = 625. Du kan gøre dette på en hvilken som helst praktisk måde for dig - i tankerne ved hjælp af en lommeregner eller de tilsvarende tjenester, der er sendt.

Indtast værdien opnået i det foregående trin under rodtegnet som en faktor for det radikale udtryk. For det eksempel, der blev brugt i det foregående trin med introduktionen under roden ⁴√3 5 (5 * ⁴√3), kan denne handling være som følger: 5 * ⁴√3 = ⁴√ (625 * 3).

Forenkle det resulterende radikale udtryk, hvis det er muligt. For eksemplet fra de foregående trin er dette, at du bare skal gange tallene under rodtegnet: 5 * ⁴√3 = ⁴√ (625 * 3) = ⁴√1875. Dette afslutter operationen med at indtaste tallet under roden.

Hvis problemet indeholder ukendte variabler, kan de ovenfor beskrevne trin udføres generelt. For eksempel, hvis du vil indtaste en ukendt variabel x under den fjerde rod, og det radikale udtryk er 5 / x³, kan hele sekvensen af ​​handlinger skrives som følger: x * ⁴√ (5 / x³) = ⁴√ (x⁴ * 5 / x3) = ⁴√ (x * 5).

Kilder:

• hvad er navnet på rodtegnet

Reelle tal er ikke nok til at løse en kvadratisk ligning. Den enkleste andengradsligning, der ikke har rødder blandt reelle tal, er x ^ 2 + 1 = 0. Når man løser det, viser det sig, at x = ± sqrt (-1), og i henhold til lovene i elementær algebra, udtræk en lige rod af det negative tallene det er forbudt.

Vi vælger ikke matematik sit fag, og hun vælger os.

Den russiske matematiker Yu.I. Manin

Ligninger med modul

De mest vanskelige at løse problemer med skolematematik er ligninger, der indeholder variabler under modulstegnet. For at kunne løse sådanne ligninger med succes skal du kende modulets definition og grundlæggende egenskaber. Naturligvis bør eleverne have færdighederne til at løse ligninger af denne type.

Grundlæggende begreber og egenskaber

Modulus (absolut værdi) af et reelt tal betegnet og er defineret som følger:

De enkle egenskaber ved et modul inkluderer følgende forhold:

Bemærk, at de to sidste egenskaber er gyldige for enhver jævn grad.

Hertil kommer, hvis, hvor, så

Mere komplekse modulegenskaber, som effektivt kan bruges til at løse ligninger med moduler, er formuleret ved hjælp af følgende sætninger:

Sætning 1.For alle analytiske funktioner og uligheden er sand

Sætning 2. Lighed er lig med ulighed.

Sætning 3. Lighed ensbetydende med ulighed.

Lad os overveje typiske eksempler på løsning af problemer om emnet "Ligninger, indeholdende variable under modultegnet ".

Løsning af ligninger med modul

Den mest almindelige metode i skolematematik til at løse ligninger med et modul er metoden, baseret på udvidelse af moduler. Denne metode er alsidig, generelt kan dens anvendelse imidlertid føre til meget besværlige beregninger. I den forbindelse bør eleverne være opmærksomme på andre, mere effektive metoder og teknikker til løsning af sådanne ligninger. I særdeleshed, du skal have færdigheder i at anvende sætninger, givet i denne artikel.

Eksempel 1. Løs ligningen. (1)

Løsning. Ligning (1) vil blive løst ved den "klassiske" metode - metoden til at udvide modulerne. For at gøre dette deler vi talaksen point og i intervaller og overveje tre sager.

1. Hvis, så ,,, og ligning (1) tager form. Derfor følger det. Men her er derfor fundværdien ikke roden til ligning (1).

2. Hvis, så får vi fra ligning (1) eller.

Siden da roden af ​​ligning (1).

3. Hvis, så antager ligning (1) formen eller. Noter det.

Svar: , .

Når vi løser efterfølgende ligninger med et modul, vil vi aktivt bruge modulernes egenskaber for at øge effektiviteten ved at løse sådanne ligninger.

Eksempel 2. Løs ligningen.

Løsning. Siden og, så indebærer ligningen... I denne forbindelse,,, og ligningen tager form... Fra dette får vi... Men , derfor har den oprindelige ligning ingen rødder.

Svar: der er ingen rødder.

Eksempel 3. Løs ligningen.

Løsning. Siden da. Hvis så, og ligningen tager form.

Herfra får vi.

Eksempel 4. Løs ligningen.

Løsning.Vi omskriver ligningen i en tilsvarende form. (2)

Den resulterende ligning tilhører ligninger af typen.

Under hensyntagen til sætning 2 kan det argumenteres for, at ligning (2) svarer til en ulighed. Herfra får vi.

Svar: .

Eksempel 5. Løs ligningen.

Løsning. Denne ligning har formen... Derfor , ifølge sætning 3, her har vi uligheden eller.

Eksempel 6. Løs ligningen.

Løsning. Antag at. Fordi , så tager den givne ligning form af en kvadratisk ligning, (3)

hvor ... Da ligning (3) har en enkelt positiv rod og så ... Derfor får vi to rødder af den oprindelige ligning: og.

Eksempel 7. Løs ligningen. (4)

Løsning. Siden ligningensvarer til en kombination af to ligninger: og , så, når man løser ligning (4), er det nødvendigt at overveje to tilfælde.

1. Hvis, så eller.

Herfra får vi, og.

2. Hvis, så eller.

Siden da.

Svar: , , , .

Eksempel 8.Løs ligningen . (5)

Løsning. Siden og da. Af dette og af Eq. (5) følger det, og dvs. her har vi ligningssystemet

Dette ligningssystem er imidlertid inkonsekvent.

Svar: der er ingen rødder.

Eksempel 9. Løs ligningen. (6)

Løsning. Hvis vi betegner det, så og fra ligning (6) får vi

Eller. (7)

Da ligning (7) har formen, svarer denne ligning til en ulighed. Herfra får vi. Siden da eller.

Svar: .

Eksempel 10.Løs ligningen. (8)

Løsning.Ifølge sætning 1 kan vi skrive

(9)

Under hensyntagen til ligning (8) konkluderer vi, at begge uligheder (9) bliver til ligheder, dvs. ligningssystemet holder

Men ifølge sætning 3 svarer ovenstående ligningssystem til ulighedssystemet

(10)

Løsning af systemet med uligheder (10) får vi. Da systemet med uligheder (10) svarer til ligning (8), har den oprindelige ligning en enkelt rod.

Svar: .

Eksempel 11. Løs ligningen. (11)

Løsning. Lad og derefter lighed følger af ligning (11).

Derfor følger det, at og. Så her har vi et system med uligheder

Løsningen på dette system af uligheder er og.

Svar: , .

Eksempel 12.Løs ligningen. (12)

Løsning. Ligning (12) løses ved hjælp af sekventiel udvidelse af moduler. For at gøre dette skal du overveje flere tilfælde.

1. Hvis, så.

1.1. Hvis, så og ,.

1.2. Hvis så. Men , derfor, i dette tilfælde, har ligning (12) ingen rødder.

2. Hvis, så.

2.1. Hvis, så og,.

2.2. Hvis, så og.

Svar: , , , , .

Eksempel 13.Løs ligningen. (13)

Løsning. Da venstre side af ligning (13) er ikke-negativ, så og. I denne henseende og ligning (13)

tager form eller.

Det er kendt, at ligningen svarer til kombinationen af ​​to ligninger og , beslutte, hvad vi får,. Fordi , så har ligning (13) én rod.

Svar: .

Eksempel 14. Løs ligningssystem (14)

Løsning. Siden og, derefter og. Derfor opnår vi fra ligningssystemet (14) fire ligningssystemer:

Rødderne til ovenstående ligningssystemer er rødderne i ligningssystemet (14).

Svar: ,, , , , , , .

Eksempel 15. Løs ligningssystem (15)

Løsning. Siden da. I denne henseende får vi fra ligningssystemet (15) to ligningssystemer

Rødderne til det første ligningssystem er og, og fra det andet ligningssystem får vi og.

Svar: , , , .

Eksempel 16. Løs ligningssystem (16)

Løsning. Af den første ligning af system (16) følger det.

Siden da ... Overvej den anden ligning af systemet. For så vidt, derefter , og ligningen tager form,, eller.

Hvis du erstatter værdienind i systemets første ligning (16), så eller.

Svar: , .

Til en dybere undersøgelse af problemløsningsmetoder, relateret til løsning af ligninger, indeholdende variabler under modultegnet, du kan anbefale tutorials fra listen over anbefalet læsning.

1. Opsamling af opgaver i matematik for ansøgere til tekniske gymnasier / Udg. M.I. Skanavi. - M .: Fred og Uddannelse, 2013.- 608 s.

2. Suprun V.P. Matematik for gymnasieelever: problemer med øget kompleksitet. - M .: CD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 200 s.

3. Suprun V.P. Matematik for gymnasieelever: ikke-standardiserede problemløsningsmetoder. - M .: CD "Librokom" / URSS, 2017.- 296 s.

Har du stadig spørgsmål?

For at få hjælp fra en vejleder -.

blog. site, med hel eller delvis kopiering af materialet, er et link til kilden påkrævet.

Og det beregnes i overensstemmelse med følgende regler:

For korthed, brug | a |... Så | 10 | = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100 | = 100 osv.

Enhver størrelse NS svarer til en temmelig nøjagtig værdi | NS|. Og det betyder identitet på= |NS| sæt på som nogle argument funktion NS.

Tidsplan det her fungere præsenteret nedenfor.

Til x > 0 |x| = x, og for x< 0 |x|= -x; i denne henseende er linjen y = | x| på x> 0 kombineret med en lige linje y = x(halvdel af den første koordinatvinkel), og for NS< 0 - с прямой y = -x(bisektor for den anden koordinatvinkel).

Valgte ligninger inkludere ukendte under skiltet modul.

Vilkårlige eksempler på sådanne ligninger - | NS— 1| = 2, |6 — 2NS| =3NS+ 1 osv.

Løsning af ligninger at indeholde det ukendte under modultegnet er baseret på, at hvis den absolutte værdi af det ukendte tal x er lig med et positivt tal a, så er dette tal x i sig selv lig med enten a eller -a.

For eksempel: hvis | NS| = 10, så eller NS= 10, eller NS = -10.

Overveje løse individuelle ligninger.

Lad os analysere løsningen af ​​ligningen | NS- 1| = 2.

Lad os udvide modulet så forskellen NS- 1 kan være lig med enten + 2 eller - 2. Hvis x - 1 = 2, så NS= 3; hvis NS- 1 = - 2, så NS= - 1. Vi foretager en substitution, og vi får, at begge disse værdier opfylder ligningen.

Svar. Denne ligning har to rødder: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Lad os analysere ligningsløsning | 6 — 2NS| = 3NS+ 1.

Efter moduludvidelse vi får: eller 6 - 2 NS= 3NS+ 1 eller 6 - 2 NS= - (3NS+ 1).

I det første tilfælde NS= 1, og i den anden NS= - 7.

Undersøgelse. På NS= 1 |6 — 2NS| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; det følger af retten, NS = 1 - rod givet ligninger.

På x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = - 20; siden 20 ≠ -20, altså NS= - 7 er ikke en rod af denne ligning.

Svar. Har ligninger enkelt rod: NS = 1.

Ligninger af denne type kan være løse og grafisk.

Så lad os beslutte for eksempel, grafisk ligning | NS- 1| = 2.

I første omgang udfører vi byggeriet funktionsgrafik på = |x- 1 |. Den første er at tegne en graf over funktionen på=NS- 1:

Den del af det grafik som er placeret over aksen NS vi vil ikke ændre. For hende NS- 1> 0 og derfor | NS-1|=NS-1.

Den del af grafen, der er placeret under aksen NS, vil vi skildre symmetrisk om denne akse. Siden for denne del NS - 1 < 0 и соответственно |NS - 1|= - (NS - 1). Det resulterende linje(helttrukket linje) og vilje funktionsgraf y = | NS—1|.

Denne grænse vil krydse med lige på= 2 på to punkter: M 1 med abscisse -1 og M 2 med abscissa 3. Og følgelig ligningen | NS- 1 | = 2 vil der være to rødder: NS 1 = - 1, NS 2 = 3.

Et af de sværeste emner for eleverne er at løse ligninger, der indeholder en variabel under modulstegnet. Lad os finde ud af det til en start, hvad er det forbundet med? Hvorfor er kvadratiske ligninger f.eks. Klik som nødder for de fleste børn, og med et så langt fra kompliceret koncept som et modul har det så mange problemer?

Efter min mening er alle disse vanskeligheder forbundet med manglen på klart formulerede regler for løsning af ligninger med et modul. Så når man løser en andengradsligning, ved eleven med sikkerhed, at han først skal anvende diskriminantformlen og derefter formlen for andengradsligningens rødder. Men hvad hvis der er et modul i ligningen? Vi vil forsøge klart at beskrive den nødvendige handlingsplan for sagen, når ligningen indeholder en ukendt under modulstegnet. Her er nogle eksempler for hver sag.

Men først, lad os huske modul definition... Så talets modul -en selve dette nummer kaldes if -en ikke-negative og -en hvis tallet -en mindre end nul. Du kan skrive det sådan:

| a | = a hvis a ≥ 0 og | a | = -a hvis a< 0

Når vi taler om modulets geometriske sans, skal det huskes, at hvert reelt tal svarer til et bestemt punkt på den numeriske akse - dets k koordinere. Modulet eller den absolutte værdi af et tal er altså afstanden fra dette punkt til den numeriske akses oprindelse. Afstand angives altid som et positivt tal. Således er den absolutte værdi af ethvert negativt tal et positivt tal. Forresten, selv på dette stadium begynder mange studerende at blive forvirrede. Ethvert tal kan være i modulet, men resultatet af at anvende modulet er altid et positivt tal.

Lad os nu gå direkte til at løse ligningerne.

1. Overvej en ligning med formen | x | = c, hvor c er et reelt tal. Denne ligning kan løses ved hjælp af moduldefinitionen.

Vi deler alle reelle tal i tre grupper: dem, der er større end nul, dem, der er mindre end nul, og den tredje gruppe er tallet 0. Lad os skrive løsningen i form af et diagram:

(± c hvis c> 0

Hvis | x | = c, derefter x = (0, hvis c = 0

(ingen rødder hvis med< 0

1) | x | = 5, fordi 5> 0, derefter x = ± 5;

2) | x | = -5, fordi -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0, derefter x = 0.

2. En ligning med formen | f (x) | = b, hvor b> 0. For at løse denne ligning er det nødvendigt at slippe af med modulet. Vi gør det sådan: f (x) = b eller f (x) = -b. Nu er det nødvendigt at løse hver af de opnåede ligninger separat. Hvis i den oprindelige ligning b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, fordi 4> 0, altså

x + 2 = 4 eller x + 2 = -4

2) | x 2-5 | = 11, fordi 11> 0, så

x 2 - 5 = 11 eller x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ingen rødder

3) | x 2 - 5x | = -8, fordi -otte< 0, то уравнение не имеет корней.

3. En ligning af formen | f (x) | = g (x). I modulets betydning vil en sådan ligning have løsninger, hvis dens højre side er større end eller lig med nul, dvs. g (x) ≥ 0. Så vil vi have:

f (x) = g (x) eller f (x) = -g (x).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. Denne ligning vil have rødder, hvis 5x - 10 ≥ 0. Det er med dette, løsningen af ​​sådanne ligninger begynder.

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Løsning:

2x - 1 = 5x - 10 eller 2x - 1 = - (5x - 10)

3. Vi forener ODZ. og løsningen får vi:

Roden x = 11/7 passer ikke i henhold til O.D.Z., den er mindre end 2, og x = 3 opfylder denne betingelse.

Svar: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Vi løser denne ulighed ved hjælp af intervaller:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Løsning:

x - 1 = 1 - x 2 eller x - 1 = - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 eller x = 1 x = 0 eller x = 1

3. Vi kombinerer løsningen og ODZ:

Kun rødderne x = 1 og x = 0 er egnede.

Svar: x = 0, x = 1.

4. En ligning af formen |f (x) | = | g (x) |. En sådan ligning svarer til de følgende to ligninger f (x) = g (x) eller f (x) = -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Denne ligning svarer til følgende to:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 eller x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 eller x = 4 x = 2 eller x = 1

Svar: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ligninger løst ved substitutionsmetoden (variabel ændring). Denne løsningsmetode er nemmest at forklare med et specifikt eksempel. Så lad en kvadratisk ligning med et modul gives:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. Ved modulets egenskab x 2 = | x | 2, så ligningen kan omskrives som følger:

| x | 2 - 6 | x | + 5 = 0. Lad os erstatte | x | = t ≥ 0, så har vi:

t 2 - 6t + 5 = 0. Ved at løse denne ligning får vi at t = 1 eller t = 5. Lad os vende tilbage til erstatningen:

| x | = 1 eller | x | = 5

x = ± 1 x = ± 5

Svar: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Lad os tage et andet eksempel:

x 2 + | x | - 2 = 0. Ved modulets egenskab x 2 = | x | 2, derfor

| x | 2 + | x | - 2 = 0. Lad os erstatte | x | = t ≥ 0, så:

t 2 + t - 2 = 0. Ved at løse denne ligning opnår vi t = -2 eller t = 1. Lad os vende tilbage til erstatningen:

| x | = -2 eller | x | = 1

Ingen rødder x = ± 1

Svar: x = -1, x = 1.

6. En anden type ligninger er ligninger med et "komplekst" modul. Disse ligninger inkluderer ligninger, der har "moduler i et modul". Ligninger af denne art kan løses ved hjælp af modulets egenskaber.

1) | 3 - | x || = 4. Vi vil gå frem på samme måde som i ligninger af den anden type. Fordi 4> 0, så får vi to ligninger:

3 - | x | = 4 eller 3 - | x | = -4.

Nu udtrykker vi i hver ligning modulet x, derefter | x | = -1 eller | x | = 7.

Vi løser hver af de opnåede ligninger. Der er ingen rødder i den første ligning, fordi -1< 0, а во втором x = ±7.

Svaret er x = -7, x = 7.

2) | 3 + | x + 1 || = 5. Vi løser denne ligning på samme måde:

3 + | x + 1 | = 5 eller 3 + | x + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 eller x + 1 = -2. Ingen rødder.

Svar: x = -3, x = 1.

Der er også en universel metode til løsning af ligninger med et modul. Dette er afstandsmetoden. Men vi vil overveje det senere.

websted, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

MBOU Secondary School nr. 17 Ivanov

« Ligninger med modul "
Metodisk udvikling

Samlet af

matematiklærer

N.V. Lebedeva

20010 g.

Forklarende note

Kapitel 1. Introduktion

Afsnit 2. Grundlæggende egenskaber Afsnit 3. Geometrisk fortolkning af begrebet modulets tal Afsnit 4. Graf over funktionen y = | x | Afsnit 5. Konventioner

Kapitel 2. Løsning af ligninger, der indeholder et modul

Afsnit 1. Formelens ligninger | F (x) | = m (protozoer) Afsnit 2. Ligninger på formen F (| х |) = m Afsnit 3. Formelens ligninger | F (x) | = G (x) Afsnit 4. Formens ligninger | F (x) | = ± F (x) (smuk) Afsnit 5. Formens ligninger | F (x) | = | G (x) | Afsnit 6. Eksempler på løsning af ikke-standard ligninger Afsnit 7. Formens ligninger | F (x) | + | G (x) | = 0 Afsnit 8. Formens ligninger |a 1 x ± b 1 | ± | a 2 x ± b 2 | ±… | a n x ± i n | = m Afsnit 9. Ligninger, der indeholder flere moduler

Kapitel 3. Eksempler på løsning af forskellige ligninger med et modul.

Afsnit 1. Trigonometriske ligninger Afsnit 2. Eksponentielle ligninger Afsnit 3. Logaritmiske ligninger Afsnit 4. Irrationelle ligninger Afsnit 5. Opgaver med øget kompleksitet Svar på øvelser Bibliografi

Forklarende note.

Begrebet absolut værdi (modul) for et reelt tal er en af ​​dets væsentlige egenskaber. Dette koncept er udbredt inden for forskellige grene af fysiske, matematiske og tekniske videnskaber. I praksis med at undervise i et matematikforløb i gymnasiet i overensstemmelse med programmet for forsvarsministeriet i Den Russiske Føderation forekommer begrebet "absolut værdi af et tal" gentagne gange: i 6. klasse defineres et modul, dens geometriske betydning, indføres; i 8. klasse dannes begrebet absolut fejl, løsningen af ​​de enkleste ligninger og uligheder, der indeholder modulet, overvejes, aritmetiske kvadratrods egenskaber undersøges; i 11. klasse findes konceptet i afsnittet "Rod n-grad". Undervisningserfaring viser, at eleverne ofte støder på vanskeligheder med at løse opgaver, der kræver viden om dette materiale, og ofte springer over, før de begynder at fuldføre. I teksterne til eksamensopgaverne i løbet af 9. og 11. klasse indgår også lignende opgaver. Derudover er de krav, som universiteterne stiller til uddannede, forskellige, nemlig på et højere niveau end kravene i skolepensum. For livet i det moderne samfund er dannelsen af ​​en matematisk tankestil, manifesteret i visse mentale færdigheder, meget vigtig. I processen med at løse problemer med moduler er evnen til at anvende sådanne teknikker som generalisering og konkretisering, analyse, klassificering og systematisering nødvendig. Løsningen af ​​sådanne opgaver giver dig mulighed for at kontrollere viden om hovedafsnittene af skoleforløbet, niveauet af logisk tænkning og de indledende færdigheder i forskningsaktivitet. Dette arbejde er afsat til en af ​​sektionerne - løsning af ligninger, der indeholder et modul. Den består af tre kapitler. Det første kapitel introducerer de grundlæggende begreber og de vigtigste teoretiske beregninger. I det andet kapitel foreslås ni grundlæggende typer af ligninger, der indeholder et modul, metoder til deres løsning overvejes, eksempler på forskellige kompleksitetsniveauer analyseres. Det tredje kapitel indeholder mere komplekse og ikke-standardiserede ligninger (trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske og irrationelle). Til hver ligningstype er der øvelser til selvstændig løsning (svar og instruktioner er vedlagt). Hovedformålet med dette arbejde er at yde lærere metodisk hjælp til at forberede lektioner og tilrettelægge valgfrie kurser. Materialet kan også bruges som læremiddel til gymnasieelever. De opgaver, der tilbydes i arbejdet, er interessante og ikke altid lette at løse, hvilket gør det muligt at gøre elevernes uddannelsesmotivation mere bevidst, teste deres evner og forbedre forberedelsesniveauet for skolekandidater til at komme ind på universiteter. Differentieret udvælgelse af de foreslåede øvelser involverer overgangen fra det reproduktive niveau for at mestre materialet til det kreative, såvel som muligheden for at lære at anvende din viden, når du løser ikke-standardiserede problemer.

Kapitel 1. Indledning.

Afsnit 1. Bestemmelse af den absolutte værdi .

Definition : Den absolutte værdi (modul) af et reelt tal -en et ikke-negativt tal kaldes: -en eller -en. Betegnelse: │ -en │ Posten læses som følger: "modulet med tallet a" eller "den absolutte værdi af tallet a"

│ a, hvis a> 0

│a│ = │ 0 hvis a = 0 (1)

│ - a, hvis a
Eksempler: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Udvid udtryksmodul:

a) │x - 8│, hvis x> 12 b) │2x + 3│, hvis x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Afsnit 2. Grundlæggende egenskaber.

Lad os overveje de vigtigste egenskaber ved den absolutte værdi. Ejendom # 1: Modstående tal har lige store moduler, dvs. │а│ = │- a│ Lad os vise, at ligestillingen er korrekt. Lad os skrive definitionen af ​​tallet - en : │- a│= (2) Lad os sammenligne samlinger (1) og (2). Det er klart, definitionerne af de absolutte værdier af tal -en og - en match. Derfor, │а│ = │- a│
Når vi overvejer følgende egenskaber, begrænser vi os til deres formulering, da deres bevis er givet ind Ejendom #2: Den absolutte værdi af summen af ​​et begrænset antal reelle tal overstiger ikke summen af ​​de absolutte værdier af udtrykkene: │а 1 + а 2 +… + а n │ ≤│а 1 │ + │а 2 │ +… + │а n │ Ejendomsnummer 3: Den absolutte værdi af forskellen mellem to reelle tal overstiger ikke summen af ​​deres absolutte værdier: │а - в│ ≤│а│ + │в│ Ejendom # 4: Den absolutte værdi af produktet af et begrænset antal reelle tal er lig med produktet af faktorernes absolutte værdier: Ejendom # 5: Den absolutte værdi af kvotienten af ​​reelle tal er lig med kvotienten af ​​deres absolutte værdier:

Afsnit 3. Geometrisk fortolkning af begrebet et tals modul.

Hvert reelt tal kan knyttes til et punkt på tallinjen, som vil være et geometrisk billede af dette reelle tal. Hvert punkt på talelinjen svarer til dens afstand fra oprindelsen, dvs. segmentets længde fra oprindelsen til det givne punkt. Denne afstand betragtes altid som en ikke-negativ værdi. Derfor vil længden af ​​det tilsvarende segment være den geometriske fortolkning af den absolutte værdi af det givne reelle tal

Den præsenterede geometriske illustration bekræfter klart ejendom nr. 1, dvs. moduler med modsatte tal er ens. Derfor er lighedens gyldighed let forståelig: │x - a│ = │a - x│. Også løsningen til ligningen │х│ = m, hvor m ≥ 0, nemlig х 1,2 = ± m, bliver mere indlysende. Eksempler: 1) │х│ = 4 х 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

Afsnit 4. Graf over funktionen y = │х│

Omfanget af denne funktion er alle reelle tal.

Afsnit 5. Konventioner.

I fremtiden, når man overvejer eksempler på løsning af ligninger, vil følgende konventioner blive brugt: (- tegn på systemet [- tegn på helheden Ved løsning af ligningssystemet (uligheder) findes skæringspunktet mellem de løsninger, der indgår i ligningssystemet (uligheder). Ved løsning af et sæt ligninger (uligheder) findes foreningen af ​​løsninger, der er inkluderet i ligningssættet (uligheder).

Kapitel 2. Løsning af ligninger, der indeholder et modul.

I dette kapitel vil vi se på algebraiske måder at løse ligninger, der indeholder et eller flere moduler.

Afsnit 1. Ligninger med formen │F (x) │ = m

En ligning af denne type kaldes den enkleste. Den har en løsning, hvis og kun hvis m ≥ 0. Ved definitionen af ​​modulet er den oprindelige ligning ækvivalent med en kombination af to ligninger: │ F(x) │ =m
Eksempler:
№1. Løs ligningen: │7x - 2│ = 9


Svar: x 1 = - 1; NS 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Svar: summen af ​​rødderne er - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 betegner vi x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ± √5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - begge værdier opfylder betingelsen m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Svar: antallet af rødder i ligningen er 7. Øvelser:
№1. Løs ligningen og angiv summen af ​​rødderne: │х - 5│ = 3 №2 ... Løs ligningen og angiv den mindre rod: │x 2 + x│ = 0 №3 ... Løs ligningen og angiv den større rod: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Løs ligningen og angiv hele roden: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Løs ligningen og angiv antallet af rødder: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

Afsnit 2. Ligninger på formen F (│х│) = m

Funktionsargumentet i venstre side er under modultegnet, og højre side er uafhængig af variablen. Overvej to måder at løse ligninger af denne type på. Metode 1: Ved definition af den absolutte værdi svarer den originale ligning til kombinationen af ​​to systemer. I hver af disse pålægges et undermoduludtryk en betingelse. F(│х│) =m
Da funktionen F (│х│) er lige på hele definitionsdomænet, er rødderne af ligningerne F (x) = m og F (- x) = m par af modsatte tal. Derfor er det nok at løse et af systemerne (når man overvejer eksempler på denne måde, vil løsningen af ​​et system blive givet). Metode 2: Anvendelse af metoden til indførelse af en ny variabel. I dette tilfælde introduceres betegnelsen │х│ = a, hvor a ≥ 0. Denne metode er mindre omfangsrig i designet.
Eksempler: №1 ... Løs ligningen: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Lad os bruge introduktionen af ​​en ny variabel. Vi betegner │x│ = a, hvor a ≥ 0. Vi får ligningen 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 Vender tilbage til den oprindelige variabel: │x │ = 1 og │х│ = 1/3. Hver ligning har to rødder. Svar: x 1 = 1; NS 2 = - 1; NS 3 = 1 / 3 ; NS 4 = - 1 / 3 . №2. Løs ligningen: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Lad os finde løsningen på det første system i sættet: 4x 2 + 5x -2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5 -√57 / 8 Bemærk, at x 2 ikke opfylder betingelsen x ≥ 0. Løsning det andet system vil være det modsatte af x 1. Svar: x 1 = -5+√57 / 8 ; NS 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Løs ligningen: х 4 - │х│ = 0 Vi betegner │х│ = а, hvor а ≥ 0. Vi får ligningen а 4 - а = 0 а · (а 3 - 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Tilbage til den oprindelige variabel: │х│ = 0 og │х│ = 1 х = 0; ± 1 Svar: x 1 = 0; NS 2 = 1; NS 3 = - 1.
Øvelser: №6. Løs ligningen: 2│x│ - 4,5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Løs ligningen, angiv i svaret antallet af rødder: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Løs ligningen, i svaret angiv de hele løsninger: x 4 + │x│ - 2 = 0

Afsnit 3. Ligninger på formen │F (x) │ = G (x)

Højre side af en ligning af denne type afhænger af variablen og har derfor en løsning, hvis og kun hvis den højre side er en funktion G (x) ≥ 0. Den originale ligning kan løses på to måder : Metode 1: Standard, er baseret på afsløring af et modul baseret på dets definition og består i en ækvivalent overgang til en kombination af to systemer. │ F(x) │ =G(NS)

Det er rationelt at bruge denne metode i tilfælde af et komplekst udtryk for funktionen G (x) og mindre kompleks - for funktionen F (x), da løsningen af ​​uligheder med funktionen F (x) antages. Metode 2: Den består i overgangen til et ækvivalent system, hvor der stilles en betingelse på højre side. │ F(x)│= G(x)

Denne metode er mere praktisk at bruge, hvis udtrykket for funktionen G (x) er mindre kompliceret end for funktionen F (x), da det antages, at uligheden G (x) ≥ 0. Desuden i tilfælde af flere moduler, anbefales denne metode til at anvende den anden mulighed. Eksempler: №1. Løs ligningen: │x + 2│ = 6 -2x
(1 vej) Svar: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2 veje) Svar: Røddernes produkt er 3.
№3. Løs ligningen, angiv summen af ​​rødderne i svaret:
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Svar: summen af ​​rødderne er 4.
Øvelser: №9. │x + 4│ = - 3x №10. Løs ligningen, i svaret angive antallet af løsninger: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Løs ligningen, i svaret angiver produktet af rødderne: │х + 3│ = х 2 + х - 6

Afsnit 4. Ligninger med formen │F (x) │ = F (x) og │F (x) │ = - F (x)

Lignelser af denne art kaldes undertiden "smukkeste". Da ligningernes højre side afhænger af en variabel, findes der løsninger, hvis og kun hvis den højre side er ikke-negativ. Derfor er de oprindelige ligninger ækvivalente med ulighederne:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 og │F (x) │ = - F (x) F (x) Eksempler: №1 ... Løs ligningen, i svaret angiv den mindre hele rod: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Svar: x = 1№2. Løs ligningen, angiv i svaret længden af ​​hullet: │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [ - 3; 3] Svar: Længden af ​​hullet er 6.№3 . Løs ligningen, angiv i svaret antallet af heltalsløsninger: │2 + х - х 2 │ = 2 + х - х 2 2 + х - х 2 ≥ 0 х 2 - х - 2 ≤ 0 [ - 1; 2] Svar: 4 hele løsninger.№4 . Løs ligningen, angiv i svaret den største rod:
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Svar: x = 3.

Øvelser: №12. Løs ligningen, angiv i hele svaret hele roden: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Løs ligningen, i svaret angiv antallet af heltalsløsninger: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Løs ligningen, skriv i svaret et helt tal, der ikke er roden til ligningen:

Afsnit 5. Formel ationsF (x) │ = │G (x) │

Da begge sider af ligningen er ikke-negative, indebærer løsningen at overveje to tilfælde: submoduludtrykkene er ens eller modsatte i tegnet. Derfor svarer den originale ligning til en kombination af to ligninger: │ F(x)│= │ G(x)│
Eksempler: №1. Løs ligningen, angiv i hele svaret hele roden: │x + 3│ = │2x - 1│
Svar: hel rod x = 4.№2. Løs ligningen: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
Svar: x = 2.№3 . Løs ligningen, i svaret angiver produktet af rødderne:




Ligningsrødder 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1,2 = - 1 ± √5 / 4 Svar: Røddernes produkt er - 0,25. Øvelser: №15 ... Løs ligningen, skriv hele løsningen i dit svar: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Løs ligningen, angiv i svaret den mindre rod: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Løs ligningen, angiv summen af ​​rødderne i svaret:

Afsnit 6. Eksempler på løsning af ikke-standard ligninger

I dette afsnit vil vi overveje eksempler på ikke-standardiserede ligninger, når vi løser, hvilket udtryks absolutte værdi afsløres ved definition. Eksempler:

№1. Løs ligningen, angiv summen af ​​rødderne i svaret: x │x│- 5x - 6 = 0
Svar: summen af ​​rødderne er 1 №2. . Løs ligningen, angiv i svaret den mindre rod: x 2 - 4x
- 5 = 0
Svar: mindre rod x = - 5. №3. Løs ligningen:

Svar: x = -1. Øvelser: №18. Løs ligningen og angiv summen af ​​rødderne: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Løs ligningen: x 2 - 3x =

№20. Løs ligningen:

Afsnit 7. Ligninger med formen │F (x) │ + │G (x) │ = 0

Det er let at se, at på venstre side af en ligning af denne type er summen af ​​ikke-negative værdier. Følgelig har den oprindelige ligning en løsning, hvis og kun hvis begge led samtidigt er lig med nul. Ligningen svarer til et ligningssystem: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Eksempler: №1 ... Løs ligningen:
Svar: x = 2. №2. Løs ligningen: Svar: x = 1. Øvelser: №21. Løs ligningen: №22 ... Løs ligningen, angiv summen af ​​rødderne i svaret: №23 ... Løs ligningen, angiv antallet af løsninger i svaret:

Afsnit 8. Ligninger af formen │а 1 х + в 1 │ ± │а 2 х + в 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m

For at løse ligninger af denne type bruges metoden med intervaller. Hvis vi løser det ved successiv udvidelse af moduler, så får vi n sæt systemer, hvilket er meget besværligt og ubelejligt. Lad os overveje algoritmen til metoden til intervaller: 1). Find variabelværdier NS for hvilket hvert modul er lig nul (nul af undermoduludtryk):
2). Markér de fundne værdier på talelinjen, som er opdelt i intervaller (henholdsvis antallet af intervaller er n+1 ) 3). Bestem det tegn, som hvert modul afsløres med hvert af de opnåede intervaller (når du laver en løsning, kan du bruge en talelinje ved at markere tegn på det) 4). Den originale ligning svarer til helheden n+1 systemer, der hver især angiver tilhørende en variabel NS et af intervallerne. Eksempler: №1 ... Løs ligningen, angiv den største rod i svaret:
1). Find nullerne for undermoduludtrykkene: x = 2; x = -3 2). Lad os markere de fundne værdier på talelinjen og bestemme det tegn, som hvert modul afsløres med de opnåede intervaller:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- ingen løsninger Ligningen har to rødder. Svar: den største rod x = 2. №2. Løs ligningen, angive hele roden i svaret:
1). Find nulerne i submoduludtrykkene: x = 1,5; x = -12). Lad os markere de fundne værdier på talelinjen og bestemme det tegn, som hvert modul afsløres med de opnåede intervaller: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Det sidste system har ingen løsninger, derfor har ligningen to rødder. Når du løser ligningen, skal du være opmærksom på "-"-tegnet foran det andet modul. Svar: hele rod x = 7. №3. Løs ligningen, i svaret angiver summen af ​​rødderne: 1). Lad os finde nulerne i submoduludtrykkene: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Lad os markere de fundne værdier på talelinjen og bestemme med hvilket tegn hvert modul afsløres med de opnåede intervaller: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Ligningen har to rødder x = 0 og 2. Svar: summen af ​​rødderne er 2. №4 . Løs ligningen: 1). Find nulerne i submoduludtrykkene: x = 1; x = 2; x = 3,2). Lad os bestemme tegnet, som hvert modul afsløres med på de opnåede intervaller. 3).
Lad os kombinere løsningerne fra de første tre systemer. Svar: ; x = 5.
Øvelser: №24. Løs ligningen:
№25. Løs ligningen, angiv summen af ​​rødderne i svaret: №26. Løs ligningen, angiv i svaret den mindre rod: №27. Løs ligningen, angiv i svaret den større rod:

Afsnit 9. Ligninger, der indeholder flere moduler

Ligninger, der indeholder flere moduler, antager absolutte værdier i submoduludtryk. Det grundlæggende princip for at løse ligninger af denne type er sekventiel afsløring af moduler, der starter med den "eksterne". I løbet af løsningen bruges teknikkerne diskuteret i afsnit №1, №3.

Eksempler: №1. Løs ligningen:
Svar: x = 1; - elleve. №2. Løs ligningen:
Svar: x = 0; 4; - 4. №3. Løs ligningen, i svaret angiver produktet af rødderne:
Svar: produktet af rødderne er - 8. №4. Løs ligningen:
Lad os betegne sætets ligninger (1) og (2) og overvej løsningen af ​​hver af dem separat for designens bekvemmelighed. Da begge ligninger indeholder mere end ét modul, er det mere bekvemt at udføre en tilsvarende overgang til sæt af systemer. (1)

(2)


Svar:
Øvelser: №36. Løs ligningen, skriv summen af ​​rødderne i svaret: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Løs ligningen, hvis der er mere end én rod, skal du i svaret angive summen af ​​rødderne: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Løs ligningen: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Løs ligningen, angiv i svaret antallet af rødder ved: 2 │ sin х│ = √2 №40 ... Løs ligningen, angive antallet af rødder i svaret:

Afsnit 3. Logaritmiske ligninger.

Inden de følgende ligninger løses, er det nødvendigt at gentage egenskaberne for logaritmerne og den logaritmiske funktion. Eksempler: №1. Løs ligningen, i svaret angiver produktet af rødderne: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 tilfælde: hvis x ≥ - 1, så log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - opfylder betingelsen х ≥ - 1 2 tilfælde: hvis х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x =- 5- opfylder stand x - 1
Svar: produktet af rødderne er - 15.
№2. Løs ligningen, i svaret angiver summen af ​​rødderne: lg
O.D.Z.

Svar: summen af ​​rødderne er 0,5.
№3. Løs ligningen: log 5
O.D.Z.

Svar: x = 9. №4. Løs ligningen: │2 + log 0,2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 Lad os bruge formlen til overgang til en anden base. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Find nulerne i submoduludtrykkene: x = 25; x = Disse tal deler området for tilladte værdier i tre intervaller, så ligningen svarer til kombinationen af ​​tre systemer.
Svar: )