Katkaistun pyramidin sivupinnat. Pyramidi

Tällä oppitunnilla tarkastelemme katkaistua pyramidia, tutustumme oikeaan katkaistuun pyramidiin ja tutkimme niiden ominaisuuksia.

Muistellaan n-sivuisen pyramidin käsitettä kolmiopyramidin esimerkin avulla. Kolmio ABC on asetettu. Kolmion tason ulkopuolelta otetaan piste P, joka on yhdistetty kolmion kärkipisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista pintaa kutsutaan pyramidiksi (kuva 1).

Riisi. 1. Kolmion muotoinen pyramidi

Leikataan pyramidi tasolla, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan tason kanssa. Näiden tasojen väliltä saatua kuvaa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi (kuva 2).

Riisi. 2. Katkaistu pyramidi

Pääelementit:

Yläpohja;

Alempi pohja ABC;

sivureuna;

Jos PH on alkuperäisen pyramidin korkeus, niin on katkaistun pyramidin korkeus.

Katkaistun pyramidin ominaisuudet johtuvat sen rakennusmenetelmästä, nimittäin kantatasojen yhdensuuntaisuudesta:

Katkaistun pyramidin kaikki sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia. Harkitse esimerkiksi fasettia. Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuuden mukaan (koska tasot ovat yhdensuuntaisia, ne leikkaavat alkuperäisen ABP-pyramidin sivupinnan yhdensuuntaisia suoria linjoja pitkin), samalla ne eivät ole yhdensuuntaisia. On selvää, että nelikulmio on puolisuunnikkaan muotoinen, kuten kaikki katkaistun pyramidin sivupinnat.

Perussuhde on sama kaikille puolisuunnikkaan:

Meillä on useita samankaltaisia kolmioita, joilla on sama samankaltaisuuskerroin. Esimerkiksi kolmiot ja RAV ovat samankaltaisia tasojen yhdensuuntaisuuden ja samankaltaisuuskertoimen vuoksi:

Samanaikaisesti kolmiot ja punasolut ovat samankaltaisia samankaltaisuuskertoimella:

Ilmeisesti samankaltaisuuskertoimet kaikille kolmelle samankaltaisten kolmioiden parille ovat yhtä suuret, joten kantojen suhde on sama kaikille puolisuunnikkaan.

Säännöllistä katkaistua pyramidia kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi, joka saadaan leikkaamalla säännöllinen pyramidi, jonka taso on yhdensuuntainen kannan kanssa (kuva 3).

Riisi. 3. Korjaa katkaistu pyramidi

Määritelmä.

Pyramidia kutsutaan säännölliseksi pyramidiksi, jonka pohjalla on säännöllinen n-kulmio, ja kärki heijastetaan tämän n-kulmion keskustaan (kirjoitetun ja rajatun ympyrän keskipisteeseen).

Tässä tapauksessa neliö on pyramidin pohjalla, ja huippu heijastetaan sen diagonaalien leikkauspisteeseen. Saadulla säännöllisellä nelikulmaisella katkaistulla pyramidilla ABCD on alempi kanta ja ylempi kanta. Alkuperäisen pyramidin korkeus - RO, katkaistu pyramidi - (kuva 4).

Riisi. 4. Säännöllinen nelikulmainen katkaistu pyramidi

Määritelmä.

Katkaistun pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on piirretty mistä tahansa yhden kannan pisteestä toisen kannan tasoon.

Alkuperäisen pyramidin apoteemi on PM (M on AB:n keskikohta), katkaistun pyramidin apoteemi on (kuva 4).

Määritelmä.

Katkaistun pyramidin apoteemi on minkä tahansa sivupinnan korkeus.

On selvää, että kaikki katkaistun pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret toistensa kanssa, toisin sanoen sivureunat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita.

Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala on yhtä suuri kuin peruskehän ja apoteemin puolisumman tulo.

Todiste (säännölliselle suorakaiteen muotoiselle katkaistulle pyramidille - kuva 4):

Joten on tarpeen todistaa:

Sivupinnan pinta-ala koostuu tässä sivupintojen - puolisuunnikkaan - alueiden summasta. Koska puolisuunnikkaat ovat samat, meillä on:

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala on kantajen ja korkeuden puolisumman tulo, apoteemi on puolisuunnikkaan korkeus. Meillä on:

Q.E.D.

N-sivuinen pyramidi:

Missä n on pyramidin sivupintojen lukumäärä, a ja b ovat puolisuunnikkaan kanta, on apoteemi.

Säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 3 cm ja 9 cm, korkeus - 4 cm. Etsi sivupinta-ala.

Riisi. 5. Kuva tehtävälle 1

Ratkaisu. Havainnollistetaan tilanne:

Annettu:,,

Pisteen O kautta vedetään suora MN, joka on yhdensuuntainen alemman alustan molempien sivujen kanssa, samoin pisteen läpi suora (kuva 6). Koska neliöt ja rakenteet ovat yhdensuuntaiset katkaistun pyramidin kannaissa, saadaan puolisuunnikkaan sivupinnat. Lisäksi sen sivusivu kulkee sivupintojen ylä- ja alareunojen keskeltä ja on katkaistun pyramidin apoteemi.

Riisi. 6. Lisärakenteet

Harkitse tuloksena olevaa puolisuunnikasta (kuva 6). Tässä puolisuunnikkaan ylempi pohja, alempi pohja ja korkeus tunnetaan. On löydettävä sivu, joka on annetun katkaistun pyramidin apoteemi. Piirretään kohtisuoraan MN:ään nähden. Pudotetaan kohtisuora NQ pisteestä. Saamme, että suurempi pohja on jaettu kolmen senttimetrin osiin (). Harkitse suorakulmaista kolmiota, sen jalat tunnetaan, tämä on Egyptin kolmio, Pythagoraan lauseen mukaan määritämme hypotenuusan pituuden: 5 cm.

Nyt on kaikki elementit pyramidin sivupinnan alueen määrittämiseksi:

Pyramidin ylittää pohjan kanssa yhdensuuntainen taso. Osoita kolmiomaisen pyramidin esimerkillä, että pyramidin sivureunat ja korkeus on jaettu tällä tasolla suhteellisiin osiin.

Todiste. Havainnollistetaan:

Riisi. 7. Kuva tehtävälle 2

RAVS-pyramidi on asetettu. RO on pyramidin korkeus. Pyramidi leikataan tasolla, saadaan katkaistu pyramidi ja. Piste - RO-korkeuden leikkauspiste katkaistun pyramidin pohjan tason kanssa. On tarpeen todistaa:

Avain ratkaisuun on yhdensuuntainen tasoominaisuus. Kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa minkä tahansa kolmannen tason siten, että leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset. Siten:. Vastaavien suorien viivojen samansuuntaisuus tarkoittaa neljän samankaltaisen kolmion parin läsnäoloa:

Vastaavien sivujen suhteellisuus seuraa kolmioiden samankaltaisuudesta. Tärkeä ominaisuus on, että näiden kolmioiden samankaltaisuuskertoimet ovat samat:

Q.E.D.

Säännöllinen kolmiopyramidi RAVS, jolla on korkeus ja pohjan sivu, leikataan tasolla, joka kulkee RN-korkeuden keskikohdan läpi yhdensuuntaisesti ABC:n pohjan kanssa. Etsi tuloksena olevan katkaistun pyramidin sivupinta-ala.

Ratkaisu. Havainnollistetaan:

Riisi. 8. Kuva tehtävälle 3

ACB on suorakulmainen kolmio, H on tämän kolmion keskipiste (kirjoitettujen ja rajattujen ympyröiden keskipiste). RM on tietyn pyramidin apoteemi. - katkaistun pyramidin apoteemi. Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuuden mukaan (kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa minkä tahansa kolmannen tason niin, että leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset) meillä on useita samankaltaisia kolmioita, joilla on sama samankaltaisuuskerroin. Erityisesti olemme kiinnostuneita suhteesta:

Etsitään NM. Tämä on pohjaan kirjoitetun ympyrän säde, tiedämme vastaavan kaavan:

Nyt suorakulmaisesta kolmiosta РНМ Pythagoraan lauseen mukaan löydämme РМ - alkuperäisen pyramidin apoteemin:

Alkusuhteesta:

Nyt tiedämme kaikki elementit katkaistun pyramidin sivupinnan alueen löytämiseksi:

Joten tutustuimme katkaistun pyramidin ja säännöllisen katkaistun pyramidin käsitteisiin, annoimme perusmääritelmiä, tarkastelimme ominaisuuksia ja todistimme lauseen sivupinta-alasta. Seuraava oppitunti käsittelee ongelmanratkaisua.

Bibliografia

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. Luokka 10-11: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja profiilitasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, Rev. ja lisää. - M .: Mnemozina, 2008 .-- 288 s.: ill.
Sharygin I.F. Geometria. Luokka 10-11: Oppikirja yleisille oppilaitoksille / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: Ill.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. Luokka 10: Oppikirja oppilaitoksille, joissa on syvällinen ja erikoistunut matematiikan opiskelu / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, Stereotypia. - M .: Bustard, 2008 .-- 233 s.: ill.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.expponenta.ru ().

Kotitehtävät

- Tämä on monitahoinen, jonka muodostavat pyramidin pohja ja sen suuntainen osa. Voimme sanoa, että katkaistu pyramidi on pyramidi, jonka yläosa on katkaistu. Tällä muodolla on monia ainutlaatuisia ominaisuuksia:

Pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia;
Säännöllisen katkaistun pyramidin lateraaliset rivat ovat samanpituisia ja kallistuneet pohjaan nähden samassa kulmassa;
Pohjat ovat kuin monikulmiot;
Säännöllisen katkaistun pyramidin pinnat ovat identtisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Ne on myös kallistettu alustaan samassa kulmassa.

Katkaistun pyramidin sivupinta-alan kaava on sen sivujen pintojen summa:

Koska katkaistun pyramidin sivut ovat puolisuunnikkaan muotoisia, sinun on käytettävä kaavaa parametrien laskemiseen puolisuunnikkaan alue... Oikean katkaistun pyramidin saamiseksi voit käyttää erilaista pinta-alakaavaa. Koska sen kaikki sivut, pinnat ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret, on mahdollista soveltaa pohjan ja apoteemin kehyksiä sekä päätellä pinta-ala pohjan kulman kautta.

Jos säännöllisen katkaistun pyramidin olosuhteiden mukaan on annettu apoteemi (sivusivun korkeus) ja pohjan sivujen pituudet, niin on mahdollista laskea pinta-ala summan puolitulon kautta. tukikohtien ja apoteemin ympärysmitoista:

Katsotaanpa esimerkkiä katkaistun pyramidin sivupinta-alan laskemisesta.
Säännöllinen viisikulmainen pyramidi on annettu. Apothem l= 5 cm, kasvojen pituus suuressa pohjassa on a= 6 cm, ja reuna pienemmässä pohjassa b= 4 cm. Laske katkaistun pyramidin pinta-ala.

Ensin etsitään pohjan kehät. Koska meille on annettu viisikulmainen pyramidi, ymmärrämme, että kannat ovat viisikulmioita. Tämä tarkoittaa, että kuvio, jossa on viisi identtistä sivua, on tyvillä. Etsi suuremman pohjan ympärysmitta:

Samalla tavalla löydämme pienemmän pohjan kehän:

Nyt voimme laskea oikean katkaistun pyramidin alueen. Korvaamme tiedot kaavaan:

Näin ollen laskemme säännöllisen katkaistun pyramidin alueen kehän ja apoteemin läpi.

Toinen tapa laskea säännöllisen pyramidin sivupinta-ala on kaava pohjan kulmien läpi ja juuri näiden tukien alueen läpi.

Katsotaanpa laskentaesimerkkiä. Muista, että tämä kaava koskee vain oikeaa katkaistua pyramidia.

Olkoon säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Alapohjan reuna on a = 6 cm ja ylemmän pohjan reuna on b = 4 cm. Dihedraalinen kulma pohjassa on β = 60 °. Etsi säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala.

Ensin lasketaan tukien pinta-ala. Koska pyramidi on oikea, kaikki kantojen pinnat ovat keskenään yhtä suuret. Ottaen huomioon, että pohjassa on nelikulmio, ymmärrämme, että se on laskettava neliön alue... Se on leveyden ja pituuden tulo, mutta nämä arvot ovat samat neliöitynä. Etsi suuremman pohjan pinta-ala:

Nyt käytämme löydettyjä arvoja laskettaessa sivupinta-alaa.

Tietäen muutaman yksinkertaisen kaavan, laskemme helposti katkaistun pyramidin sivusuunnikkaan pinta-alan eri arvojen avulla.

29.05.2016
Värähtelypiiri on sähköpiiri, joka sisältää induktorin, kondensaattorin ja sähköenergian lähteen. Kun piirin elementit on kytketty sarjaan, värähtelevää piiriä kutsutaan peräkkäiseksi, rinnakkaiseksi - rinnakkaiseksi. Värähtelypiiri on yksinkertaisin järjestelmä, jossa voi esiintyä vapaita sähkömagneettisia värähtelyjä. Piirin resonanssitaajuus määritetään ns. Thomsonin kaavalla: ƒ = 1 / (2π√ (LC)) For ...
20.09.2014
Vastaanotin on suunniteltu vastaanottamaan LW-alueen signaaleja (150 kHz… 300 kHz). Vastaanottimen pääominaisuus on antennissa, jonka induktanssi on suurempi kuin perinteisellä magneettiantennilla. Tämän avulla voit käyttää trimmerin kondensaattorin kapasitanssia alueella 4 ... 20 pF, ja tällaisella vastaanottimella on hyväksyttävä herkkyys ja alhainen RF-polun vahvistus. Vastaanotin toimii kuulokkeille (kuulokkeille), se saa virtansa ...
24.09.2014
Tämä laite on suunniteltu säätämään nesteen tasoa säiliöissä, heti kun neste nousee asetetulle tasolle, laite alkaa antaa jatkuvaa äänimerkkiä, kun nestetaso saavuttaa kriittisen tason, laite alkaa antaa ajoittaista ääntä signaali. Ilmaisin koostuu kahdesta generaattorista, niitä ohjataan anturielementillä E. Se sijoitetaan säiliöön korkeintaan ...
22.09.2014
KR1016VI1 on digitaalinen moniohjelmaajastin, joka on suunniteltu toimimaan ILTs3-5 \ 7 -ilmaisimen kanssa. Se tarjoaa lähtölaskennan ja näytön nykyisen ajan tunteina ja minuutteina, viikonpäivän ja ohjauskanavan numeron (9 hälytystä). Herätyskellon piiri näkyy kuvassa. Mikropiiri on kellotettu. resonaattori Q1 taajuudella 32768Hz. ruoka on negatiivista, yleinen plus kuuluu ...

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka yksi pinta on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (kuva 15). Pyramidi on ns oikea jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Sivujousi pyramidi on sivupinnan se puoli, joka ei kuulu pohjaan Korkeus Pyramidiksi kutsutaan etäisyyttä sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivureunat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Ylhäältä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeudeksi kutsutaan apoteemi . Diagonaalinen leikkaus pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu yhteen pintaan.

Sivuttaispinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaksi. Koko pinta-ala kutsutaan kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summaksi.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan pohjan ympärille piirretyn ympyrän keskelle.

2. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu heijastuu pohjan ympärille rajatun ympyrän keskelle.

3. Jos pyramidissa kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuina pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi seuraava kaava on oikea:

missä V- tilavuus;

S pää- peruspinta-ala;

H- pyramidin korkeus.

Oikean pyramidin kaavat ovat oikein:

missä s- pohjakehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pää- peruspinta-ala;

V Onko oikean pyramidin tilavuus.

Katkaistu pyramidi jota kutsutaan pyramidin osaksi, joka on jalan ja pyramidin pohjan suuntaisen leikkaustason välissä (kuva 17). Tavallinen katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on jalan ja pyramidin pohjan suuntaisen kulmatason välissä.

Säätiöt katkaistut pyramidit - samanlaiset monikulmiot. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoinen. Korkeus katkaistu pyramidi on kantansa välinen etäisyys. Diagonaalinen katkaistua pyramidia kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. Diagonaalinen leikkaus katkaistun pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu yhteen pintaan.

Katkaistulle pyramidille ovat voimassa seuraavat kaavat:

(4)

missä S 1 , S 2 - ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä- kokonaispinta-ala;

S puoli- sivuttainen pinta-ala;

H- korkeus;

V- katkaistun pyramidin tilavuus.

Oikealle katkaistulle pyramidille kaava on oikea:

missä s 1 , s 2 - pohjan kehät;

h a- säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, joten sen pohjassa on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välillä: ja ts. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivuttaisen rivan kaltevuuskulma (esim SB) Onko itse reunan ja sen pohjan tasoon projektion välinen kulma. Kylkiluun SB tämä kulma on kulma SBD... Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN ja OB... Olkoon segmentin pituus BD on yhtä suuri kuin 3 a... Piste O-osio BD on jaettu osiin: ja Mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2. Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat cm ja cm ja korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Pohjien alueen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Joten kantojen pinta-alat ja Kun kaavassa on korvattu kaikki tiedot, laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm 3.

Esimerkki 3. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka pohjien sivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen. Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on tiedettävä pohja ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Löydämme sen mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman alustan tasossa, A 1 D- kohtisuoraan A 1 päälle KUTEN. A 1 E= 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytää DE teemme lisäpiirustuksen, jossa kuvaamme ylhäältä katsottuna (kuva 20). Kohta O- ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK Onko piirretyn ympyrän säde ja OM- piirretyn ympyrän säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan alkaen

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4. Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat a ja b (a> b). Kukin sivupinta muodostaa kulman pyramidin perustason kanssa j... Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD yhtä suuri kuin pintojen summa ja puolisuunnikkaan pinta-ala ABCD.

Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin huippu heijastetaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Kohta O- kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD pohjan tasossa. Tasokuvan ortogonaalisen projektion alueen lauseella saamme:

Samalla tavalla se tarkoittaa Siten tehtävä rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD... Piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Kohta O- puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.