Monimutkaisin neliön yhtälö. Päätös epätäydellisten neliön yhtälöiden

Jatkamme tutkia aiheita " yhtälöiden ratkaiseminen" Olemme jo tavannut lineaarisia yhtälöitä ja menevät tuttavaksi neliöyhtälöt.

Ensin analysoimme, mitä neliön yhtälö on yleensä kirjoitettu ja antaa niihin liittyvät määritelmät. Tämän jälkeen yksityiskohtaisesti analysoimme yksityiskohtaisesti, kuinka epätäydelliset neliön yhtälöt ratkaistaan. Lisäksi voimme ratkaista täydelliset yhtälöt, saamme juurihaajan, tutustumme neliöyhtälön syrjintään ja harkitsemme ominaisuuksien esimerkkien ratkaisuja. Lopuksi jäljitetään juurien ja kertoimien välinen yhteys.

Navigointi sivu.

Mikä on neliöyhtälö? Niiden laji

Ensin sinun on ymmärrettävä selvästi, mikä neliöyhtälö on. Siksi keskustelu neliöyhtälöistä alkaa loogisesti neliöyhtälön määritelmästä sekä niihin liittyvistä määritelmistä. Tämän jälkeen on mahdollista pohtia tärkeimmät neliöyhtälöt: sovellettavat ja maksamattomia sekä täydellisiä ja epätäydellisiä yhtälöitä.

Määritelmä ja esimerkkejä neliöyhtälöistä

Määritelmä.

Nesadratiikan yhtälö - Tämä on tyypin yhtälö a · X 2 + B · X + C \u003d 0 jossa x on muuttuva, a, b ja c - joitakin numeroita ja erilaisia \u200b\u200bnolla.

Välittömästi sanotaan, että neliön yhtälöitä kutsutaan usein toisesta asteesta. Tämä johtuu siitä, että neliöyhtälö on algebraalinen yhtälö toinen aste.

Äänitetyn määritelmän avulla voit antaa esimerkkejä neliöyhtälöistä. Joten 2 · x 2 + 6 · x + 1 \u003d 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 \u003d 0 jne. - Nämä ovat neliöyhtälöitä.

Määritelmä.

Numerot a, B ja C kutsutaan neliöyhtälön kertoimet a · x 2 + b · x + c \u003d 0 ja kerrointa A kutsutaan ensimmäisenä tai vanhempana tai kerroin x 2, b on toinen kertoimella tai kerroin x: llä ja vapaalla jäsenellä .

Esimerkiksi otan neliön yhtälön muodon 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, tässä vanhempi kerroin on 5, toinen kerroin on -2 ja vapaa jäsen on -3. Huomaa, kun kertoimet B ja / tai C ovat negatiivisia kuin edellä olevassa esimerkissä, se käyttää muodon 5 · x 2 -2 · X-3 \u003d 0 ja ei 5 x 2 · x-3 \u003d 0 ja ei 5 · x 2 + (- 2) · x + (- 3) \u003d 0.

On syytä huomata, että kun kertoimet A ja / tai B ovat yhtä kuin 1 tai -1, ne eivät yleensä ole läsnä neliön yhtälön tallentamisessa nimenomaisesti, mikä liittyy tällaisen tietueen ominaisuuksiin. Esimerkiksi neliön yhtälö Y 2 -Y + 3 \u003d 0, vanhempi kerroin on yksikkö ja y: n kerroin y on -1.

Määritetyt ja naimaton neliöyhtälöt

Vanhempi kerroksen arvosta riippuen edellä mainitut ja maksamattomat neliön yhtälöt erotetaan. Anna asianmukaiset määritelmät.

Määritelmä.

Neliöyhtälö, jossa vanhempi kerroin on 1, kutsutaan annetaan neliön yhtälö. Muuten neliöyhtälö on alaston.

Tämän määritelmän mukaan neliön yhtälöt x 2 -3 · x + 1 \u003d 0, x 2-x-2/3 \u003d 0 jne. - Nämä kullakin heistä ensimmäinen kerroin on yhtä suuri kuin yksi. 5 · x 2-x-1 \u003d 0 ja vastaavat. - Ei-kelvolliset neliön yhtälöt, niiden vanhemmat kertoimet ovat erilaiset kuin 1.

Kaikesta maksamattomista neliöyhtälöstä jakamalla se molemmat osat vanhempaan kerroin, voit mennä annettuun. Tämä toiminta vastaa muutosta, eli tällä menetelmällä saatu alennetussa neliöyhtälöllä on samat juuret kuin alkuperäinen epälaalisesti neliöyhtälö, tai samoin kuin sillä ei ole juuria.

Analysoimme esimerkkiä, koska siirtyminen integraalisesta neliön yhtälöstä annetaan annetaan.

Esimerkki.

Yhtälöstä 3 · x 2 + 12 · x-7 \u003d 0 Siirry vastaavaan esittelemään neliöyhtälöön.

Päätös.

Riittää, että meidät jakaa molemmat osat alkuperäisestä yhtälöstä vanhempi kerroin 3, se eroaa nollasta, joten voimme suorittaa tämän toiminnon. Meillä on (3 · x 2 + 12 · x-7): 3 \u003d 0: 3, joka on sama, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 \u003d 0, ja Lisäksi (3: 3) · x 2 + (12: 3) · X-7: 3 \u003d 0, mistä. Joten saimme tietyn neliön yhtälön, joka vastaa lähteen.

Vastaus:

Täysi ja epätäydelliset neliön yhtälöt

Neliöyhtälön määritelmässä on tila ≠ 0. Tämä tila on välttämätöntä, jotta yhtälö A · x 2 + b · x + c \u003d 0 on täsmälleen neliö, koska A \u003d 0 se todella tulee muodon b · x + c \u003d 0 lineaariseksi yhtälöksi.

Kuten kertoimet B ja C, ne voivat olla nolla, ja molemmat erikseen ja yhdessä. Näissä tapauksissa neliön yhtälö kutsutaan epätäydellisiksi.

Määritelmä.

Square yhtälö A · X 2 + B · X + C \u003d 0 kutsutaan epätäydellinenJos ainakin yksi kertoimista B, C on nolla.

Puolestaan

Määritelmä.

Koko neliön yhtälö - Tämä on yhtälö, jonka kaikki kertoimet eroavat nollasta.

Tällaiset nimikkeet eivät ole vahingossa. Seuraavasta päättelystä tulee selväksi.

Jos kerroin B on nolla, neliön yhtälö ottaa muodon A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0, ja se vastaa yhtälöä A · x 2 + C \u003d 0. Jos C \u003d 0, eli neliöyhtälöllä on lomake A · X 2 + B · x + 0 \u003d 0, sitten se voidaan kirjoittaa uudelleen A-X 2 + B · X \u003d 0. Ja b \u003d 0 ja c \u003d 0, saamme neliön yhtälön A · x 2 \u003d 0. Saadut yhtälöt eroavat koko neliöyhtälöstä sillä, että niiden vasen osat eivät sisällä komponenttia vaihtelevasta X: stä tai vapaasta jäsenestä tai molemmista. Tästä syystä heidän nimensä - epätäydelliset neliöyhtälöt.

Joten yhtälöt x 2 + x + 1 \u003d 0 ja -2 · x 2 -5 · x + 0,2 \u003d 0 ovat esimerkkejä täydellisistä neliöyhtälöistä ja x 2 \u003d 0, -2 · x 2 \u003d 0, 5 · x 2 + 3 \u003d 0, -x 2 -5 · x \u003d 0 ovat epätäydellisiä neliöyhtälöitä.

Päätös epätäydellisten neliön yhtälöiden

Edellisen kohdan tiedoista seuraa, että on olemassa kolme tyyppisiä epätäydellisiä neliön yhtälöitä:

• a · X 2 \u003d 0, kertoimet b \u003d 0 ja c \u003d 0 vastaavat sitä;
• a · x 2 + c \u003d 0, kun b \u003d 0;
• ja A · X 2 + B · X \u003d 0, kun C \u003d 0.

Analysoimme, jotta kunkin näistä lajeista epätäydelliset neliön yhtälöt ratkaistaan.

a · X 2 \u003d 0

Aloitetaan epätäydellisten neliön yhtälöiden ratkaisu, jossa kertoimet B ja C ovat nolla, toisin sanoen muodon yhtälöt A · x 2 \u003d 0. Yhtälö A · X 2 \u003d 0 vastaa yhtälöä x 2 \u003d 0, joka saadaan molempien osien alkuperäisestä jakautumisesta, joka on erilainen kuin nolla. Ilmeisesti yhtälö x 2 \u003d 0 on nolla, 0 2 \u003d 0. Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, kuten selitetään todellakin eri määrästä P, epätasa-arvo P 2\u003e 0, josta täsmennetään, että P ≠ 0: ssä tasa-arvoa P 2 \u003d 0 ei koskaan saavuteta.

Joten epätäydellinen neliön yhtälö A · x 2 \u003d 0 on ainoa juuri x \u003d 0.

Esimerkkinä annamme ratkaisun epätäydellisen neliön yhtälön -4 · x 2 \u003d 0. Se vastaa yhtälöä x 2 \u003d 0, sen ainoa juuri on X \u003d 0, joten alkuperäisellä yhtälöllä on ainoa nollajuuri.

Lyhyt ratkaisu tässä tapauksessa voidaan antaa seuraavasti:
-4 · x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a · X 2 + C \u003d 0

Nyt harkitse, kuinka epätäydelliset neliön yhtälöt ratkaistaan, jossa kerroin B on nolla ja C ≠ 0, eli muodon A · x 2 + C \u003d 0 yhtälöt. Tiedämme, että termi siirretään yhtälön osasta toiseen vastakkaisella merkillä sekä yhtälön molempien osien jakautuminen poikkeamaan nollasta, numero annetaan vastaava yhtälö. Siksi on mahdollista suorittaa seuraavat epätäydellisen neliön yhtälön A · X 2 + C \u003d 0:

• siirtää C oikealle osaan, joka antaa yhtälön A · x 2 \u003d -c,
• ja jakaa molemmat osat siihen, saamme.

Tuloksena oleva yhtälö antaa sinulle mahdollisuuden tehdä johtopäätöksiä sen juuristaan. Arvosta A ja C riippuen ekspressioarvo voi olla negatiivinen (esimerkiksi jos A \u003d 1 ja C \u003d 2, sitten) tai positiivinen (esimerkiksi jos A \u003d -2 ja C \u003d 6, sitten) , se ei ole nolla, koska tilassa C ≠ 0. Erikseen analysoimme tapauksia ja.

Jos yhtälöllä ei ole juuria. Tämä lausunto seuraa sitä, että minkä tahansa numeron neliö on numero ei-negatiivinen. Tästä seuraa, että milloin tahansa, mikä tahansa numero P, tasa-arvo ei voi olla oikein.

Jos yhtälön juuret ovat erilaiset. Tässä tapauksessa, jos muistat, yhtälön juuret saavat välittömästi välittömästi numeron, koska. On helppo arvata, että numero on myös yhtälön juuret, todella,. Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, jotka voidaan näyttää esimerkiksi vastakkaisella menetelmällä. Tehdään se.

Merkitse vain yhtälön ainoat epäviralliset juuret x 1 ja -x 1. Oletetaan, että yhtälöllä on toinen juuri x 2, joka eroaa osoitteisista juurista X1 ja -X 1. On tunnettua, että yhtälön korvaaminen x sen juuret kiinnittävät yhtälön oikeaan numeeriseen tasa-arvoon. X 1 ja -X 1 meillä on ja X 2 meillä on. Numeeristen tasa-arvojen ominaisuudet voivat olla saattaneet suorittaa uskollisten numeeristen yhtiön maaperän vähennys, joten tasa-arvojen vastaavien osien vähentäminen ja X 1 2-X2 2 \u003d 0. Numeroiden toimien ominaisuudet mahdollistavat saadun tasa-arvon uudelleenkirjoittamisen (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Tiedämme, että kahden numeron työ on nolla, jos ja vain, jos ainakin yksi niistä on nolla. Näin ollen tuloksena olevasta tasa-arvosta seuraa, että x 1 -x 2 \u003d 0 ja / tai x 1 + x 2 \u003d 0, joka on sama, x 2 \u003d x 1 ja / tai x 2 \u003d -x 1. Joten tulimme ristiriitaisuuteen, koska aluksi sanottiin, että yhtälön X 2 juuret eroavat x 1 ja -X 1. Tämä osoittautuu, että yhtälöllä ei ole muita juuria, paitsi.

Yhteenveto tästä tuotteesta. Epätäydellinen neliön yhtälö A · X 2 + C \u003d 0 vastaa yhtälöä

• ei ole juuria, jos
• siinä on kaksi juuria ja jos.

Harkitse esimerkkejä epätäydellisten neliön yhtälöiden liuoksesta A · x 2 + C \u003d 0.

Aloitetaan neliön yhtälö 9 · x 2 + 7 \u003d 0. Kun olet siirtänyt vapaan jäsenen yhtälön oikeaanpuoleiseen osaan, se vie muodon 9 · x 2 \u003d -7. Jakamalla molemmat osat saatu yhtälö 9: llä, tulevat. Koska negatiivinen numero osoittautui oikeassa osassa, tällä yhtälöllä ei ole juuria, joten alkuperäinen epätäydellinen neliön yhtälö 9 · x 2 + 7 \u003d 0 ei ole juuria.

Päätän toisen epätäydellisen neliön yhtälön --x 2 + 9 \u003d 0. Meillä on yhdeksän oikealla puolella: -X 2 \u003d -9. Nyt jaamme molemmat osat -1 -1, saamme x 2 \u003d 9. Oikea osa sisältää positiivisen numeron, jossa päätämme, että tai. Kun olet kirjoittanut lopullisen vastauksen: epätäydellinen neliön yhtälö -X 2 + 9 \u003d 0 on kaksi juuria x \u003d 3 tai x \u003d -3.

a · X 2 + B · X \u003d 0

On edelleen käsitellä viimeisen epätäydellisen neliön yhtälöiden lajin ratkaisua C \u003d 0: ssä. Lomakkeen epätäydellinen neliöyhtälöt A · X 2 + B · X \u003d 0 avulla voit ratkaista menetelmä kertoimien hajoamismenetelmä. On selvää, että voimme sijaitsee yhtälön vasemmassa osassa, josta se riittää kantamaan yleinen kerroin X suluissa. Näin voit siirtyä alkuperäisestä epätäydellisestä neliön yhtälöstä vastaavan yhtälöön X · (A · X + B) \u003d 0. Ja tämä yhtälö vastaa kaksi yhtälöä x \u003d 0 ja a · x + b \u003d 0, joista viimeinen on lineaarinen ja siinä on juuri x \u003d -b / a.

Joten, epätäydellinen neliön yhtälö A · x 2 + b · x \u003d 0 sisältää kaksi juuria x \u003d 0 ja x \u003d -b / a.

Materiaalin varmistamiseksi analysoimme tietyn esimerkin ratkaisun.

Esimerkki.

Päätä yhtälö.

Päätös.

Teemme x suluille, se antaa yhtälön. Se vastaa kaksi yhtälöä x \u003d 0 ja. Ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön: ja suorittamalla sekavan numeron jakautuminen tavallisella fraktiolla, löydämme. Näin ollen alkuperäisen yhtälön juuret ovat X \u003d 0 ja.

Saatuaan tarvittava käytäntö, ratkaisut tällaiset yhtälöt voidaan tallentaa lyhyesti:

Vastaus:

x \u003d 0 ,.

Syrjivä, neliön yhtälön juuren kaava

Selittävien yhtälöiden ratkaisemiseksi on kaavan juuret. Me kirjoitamme neliön yhtälön juurien kaava:, missä D \u003d B 2 -4 · A · C - niin sanottu syrjintä. Ennätys merkitsee sitä.

On hyödyllistä tietää, miten juuret kaavaa saatiin ja miten sitä käytetään, kun neliön yhtälöiden juuret löytyvät. Kerro minulle.

Neliön yhtälön juurien tuotos

Tarvitsemme ratkaista neliön yhtälö A · x 2 + b · x + c \u003d 0. Suorita vastaavat muutokset:

• Molemmat tämän yhtälön osat voimme jakaa numeron eroa nollasta, minkä seurauksena saamme pienemmän neliön yhtälön.
• Nyt korostamme täyden neliön Vasemmalla puolella :. Tämän jälkeen yhtälö ottaa lomakkeen.
• Tässä vaiheessa voit siirtää viimeiset kaksi osaa oikealle puolelle vastakkaisella merkillä, meillä on.
• Ja me edelleen muuttamalla lauseketta, joka osoittautui oikeassa osassa :.

Tämän seurauksena pääsemme yhtälöön, joka vastaa alkuperäistä neliön yhtälöa A · X 2 + B · X + C \u003d 0.

Olemme jo ratkaisseet samanlaisia \u200b\u200byhtälön muodossa, kun ne purettiin. Tämä mahdollistaa seuraavat päätelmät yhtälön juurille:

• jos yhtälöllä ei ole voimassa olevia ratkaisuja;
• jos yhtälöllä on siis muoto, jossa hänen ainoa juurensa on näkyvissä;
• jos sitten tai että sama tai eli yhtälöllä on kaksi juuria.

Siten yhtälön juurien läsnäolo tai puuttuminen, mikä tarkoittaa, että alkuperäinen neliöyhtälö riippuu oikealla puolella olevan ekspression merkistä. Turnisesti tämän lausekkeen merkki määräytyy numeron numerolla, koska nimittäjä 4 · · 2 on aina positiivinen, eli ekspressiota B 2 -4 · a · c. Tämä ilmaisu b 2 -4 · a · c, kutsutaan syrjintä ja tunnisti kirjeen D.. Sieltä syrjivän olemus on selvä - sen arvon mukaan ja merkki on päättynyt, onko neliöyhtälössä kelvollinen juurtaja, ja jos se on, mikä on niiden numero - yksi tai kaksi.

Palaan yhtälöön, kirjoitamme sen uudelleen syrjivän nimitys :. Ja me päädymme päätelmiin:

• jos d<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jos d \u003d 0, niin tämä yhtälö on ainoa juuret;
• lopuksi, jos D\u003e 0, yhtälöllä on kaksi juuria tai, joka voidaan kirjoittaa uudelleen tai ja sen paljastamisen muodossa ja tuoda fraktiot yhteiseen nimittäjälle.

Joten saimme neliön yhtälön juurien kaavan, jossa on muoto, jossa syrjintä D lasketaan kaavalla D \u003d B 2 -4 · A · c.

Heidän avustaan, positiivisella syrjivällä, molemmat neliöyhtäluoneen molemmat kelvolliset juuret voidaan laskea. Equal nolla syrjivällä molemmat kaavat antavat saman juuriarvon, joka vastaa ainoa neliön yhtälön liuosta. Ja kielteisellä syrjivällä, kun yritämme käyttää neliön yhtälön juurien kaavaa, kohtaamme neliöjuuren uuttaminen negatiivisesta numerosta, joka näyttää meidät puitteet ja koulun opetussuunnitelman ulkopuolella. Negatiivisella syrjivällä, neliön yhtälöllä ei ole kelvollisia juuria, mutta siinä on pari kattavasti konjugaatti Juurit, jotka löytyvät samoista juuri-kaavoista, jotka saimme.

Algoritmi neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi juuri-kaavoissa

Käytännössä neliöyhtälöiden ratkaisemisessa voit käyttää välittömästi juurikaavaa, jonka arvot ovat mahdollista laskea. Mutta se viittaa monimutkaisten juurien löytämiseen.

Kuitenkin lukuvuonna algebra yleensä emme puhu monimutkaisesta, vaan neliön yhtälön pätevistä juurista. Tällöin on suositeltavaa ennen kuin käytät neliön yhtälön juurien kaavoja esikäsittelyssä, varmista, että se ei ole nonnegatiivinen (muuten voidaan päätellä, että yhtälöllä ei ole kelvollisia juuria) ja sen jälkeen , laskea juuret arvot.

Yllä oleva päättelyssä voit tallentaa algoritmiratkaisut neliön yhtälöstä. Neliön yhtälön A · X 2 + B · X + C \u003d 0, se on välttämätön:

• dEFRIANT D \u003d B 2 -4 · A · c Laske sen arvo;
• päätellä, että neliön yhtälöllä ei ole kelvollisia juuria, jos syrjintä on negatiivinen;
• laske yhtälön ainoa juuret kaavalla, jos d \u003d 0;
• löydä kaksi kelvollinen juuret neliöyhtälöstä juuressa kaavaa, jos syrjintä on positiivinen.

Täällä huomaat vain, että yhtä suuri nollaero, jonka avulla voit käyttää kaavaa, se antaa saman merkityksen kuin.

Voit siirtyä algoritmin esimerkkeihin neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkkejä neliön yhtälöiden ratkaisuista

Harkitse kolmen neliön yhtälön ratkaisuja, joilla on positiivinen, negatiivinen ja yhtä suuri nollaero. Kun olet ymmärtänyt ratkaisunsa, on mahdollista ratkaista mikä tahansa muu neliön yhtälö analogisesti. Aloitetaan.

Esimerkki.

Etsi yhtälön x 2 + 2 · x-6 \u003d 0 juuret.

Päätös.

Tällöin meillä on seuraavat neliön yhtälön kertoimet: a \u003d 1, b \u003d 2 ja c \u003d -6. Algoritmin mukaan sinun on ensin laskettava syrjintä, sillä tämä korvaamme nämä A, B ja C syrjimättömässä kaavassa, meillä on D \u003d B 2 -4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28. Koska 28\u003e 0, toisin sanoen syrjivä on suurempi kuin nolla, neliön yhtälöllä on kaksi kelvollista juuria. Löydämme ne juurien kaavalla, saamme, tässä voit yksinkertaistaa esittämien ilmaisujen kerroin juurimerkki Myöhemmin leikkaus fraktio:

Vastaus:

Siirry seuraavaan tyypilliseen esimerkkiin.

Esimerkki.

Päätä neliön yhtälö -4 · x 2 + 28 · x-49 \u003d 0.

Päätös.

Aloitamme syrjintää: D \u003d 28 2 -4 · (-4) · (-49) \u003d 784-784 \u003d 0. Näin ollen tämä neliö yhtälöllä on ainoa juuri, että löydämme, eli

Vastaus:

x \u003d 3.5.

Se on edelleen harkittava neliön yhtälöiden ratkaisua negatiivisella syrjivällä.

Esimerkki.

Päätä yhtälö 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0.

Päätös.

Tässä neliön yhtälön kertoimet: a \u003d 5, b \u003d 6 ja c \u003d 2. Korvatamme nämä arvot syrjivässä kaavassa, meillä on D \u003d B 2 -4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36-40 \u003d -4. Syrjintä on negatiivinen, joten tämä neliön yhtälö ei ole kelvollisia juuria.

Jos sinun on määritettävä monimutkaiset juuret, käytämme neliön yhtälön juurien tunnettua kaavaa ja suorittaa toimet, joilla on monimutkaisia \u200b\u200bnumeroita:

Vastaus:

ei ole olemassa olevia juuria, monimutkaiset juuret ovat seuraavat :.

Jälleen kerran huomaamme, että jos syrjintä on negatiivinen, koulu yleensä kirjaa välittömästi vastauksen, mikä osoittaa, ettei ole olemassa kelvollisia juuria, eikä monimutkaisia \u200b\u200bjuuria ole.

Kaavan juuret jopa toiselle kertoimille

Neliön yhtälön juurikuva, jossa D \u003d B 2 -4 · A · C mahdollistavat kompaktin muodon kaavan, jonka avulla voit ratkaista neliöyhtälöt tasaisella kerroin x: llä (tai yksinkertaisesti tekijällä, jolla on a Muoto 2 · n, esimerkiksi tai 14 · LN5 \u003d 2 · 7 · LN5). Antoivat.

Oletetaan, että meidän on ratkaistavan lomakkeen A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Etsi juuret käyttämällä meitä tunnettuja kaavaa. Tehdä tämä, laske syrjivä D \u003d (2 · n) 2 -4 · a · c \u003d 4 · n2 -4 · a · c \u003d 4 · (n2 -a), ja käytä sitten juurimuotoa:

Merkitse ekspressio n2 -a · c: ksi D 1 (joskus d "). Sitten käsiteltävänä olevan neliön yhtälön ydinkaava on toinen kertoimen 2 · n. , jossa d 1 \u003d n 2 -a · c.

On helppo nähdä, että d \u003d 4 · d 1 tai d 1 \u003d d / 4. Toisin sanoen D1 on syrjivän neljäs osa. On selvää, että merkki D1 on sama kuin D-merkki. Toisin sanoen merkki D1 on myös indikaattori neliön yhtälön juurien läsnäolosta tai puuttumisesta.

Joten ratkaista neliön yhtälö toisella kerroin 2 · n, se on tarpeen

• Laske D1 \u003d N2 -A · C;
• Jos d 1.<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jos d 1 \u003d 0 ja laske sitten vain yhtälön juuret kaavalla;
• Jos d 1\u003e 0, sitten löytää kaksi kelvollista juuria kaavalla.

Harkitse esimerkin ratkaisua käyttämällä tässä kappaleessa saatua juurikaata.

Esimerkki.

Päätä neliön yhtälö 5 · x 2 -6 · x-32 \u003d 0.

Päätös.

Toinen tämän yhtälön kerroin voi olla 2 · (-3). Toisin sanoen voit kirjoittaa alkuperäisen neliön yhtälön muodossa 5 · x 2 + 2 · (-3) · x-32 \u003d 0, tässä A \u003d 5, N \u003d -3 ja C \u003d -32 ja laske neljäs Osa syrjivästä: D 1 \u003d N2 -A · C \u003d (- 3) 2 -5 · (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Koska sen arvo on positiivinen, yhtälöllä on kaksi kelvollista juuria. Etsi ne käyttämällä vastaavaa juurihaaja:

Huomaa, että oli mahdollista käyttää neliön yhtälön juurien tavanomaista kaavaa, mutta tässä tapauksessa tarvitsee suurempaa laskennallista käyttöä.

Vastaus:

Yksinkertaistaminen neliöyhtälöiden lajin yksinkertaistaminen

Joskus ennen kuin laskeutuu neliön yhtälön juurien laskemiseen kaavojen mukaan, se ei estä kysymystä: "Onko mahdollista yksinkertaistaa tämän yhtälön ulkonäköä"? Hyväksy, että laskelmien osalta on helpompi ratkaista neliöyhtälö 11 · x 2 -4 · x-6 \u003d 0 kuin 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0.

Yleensä neliön yhtälön lajin yksinkertaistaminen saavutetaan kertomalla tai jakamalla se molemmat osat numerolla. Esimerkiksi edellisessä kappaleessa oli mahdollista yksinkertaistaa yhtälö 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0, erottaa molemmat osat 100: llä.

Tällainen transformaatio suoritetaan neliön yhtälöillä, joiden kertoimet eivät ole. Samanaikaisesti molemmat osa niiden kertoimien absoluuttisten arvojen yhtälö on yleensä jaettu. Ota esimerkiksi neliöyhtälö 12 · x 2 -42 · x + 48 \u003d 0. Kertoimien absoluuttiset arvot: solmu (12, 42, 48) \u003d solmu (solmu (12, 42), 48) \u003d solmu (6, 48) \u003d 6. Jakamalla molemmat alkuperäisen neliön yhtälön osat 6: llä, tulemme vastaavaan neliön yhtälöön 2 · x 2 -7 · x + 8 \u003d 0.

Ja neliöyhtäluonteen molempien osien lisääntyminen tehdään yleensä eroon murto-kerroksista. Tässä tapauksessa kertolasku suoritetaan sen kertoimien nimittäjillä. Esimerkiksi, jos molemmat neliön yhtälön osat kerrotaan NOC: lla (6, 3, 1) \u003d 6, se vie yksinkertaisemman muodon x 2 + 4 · x-18 \u003d 0.

Tämän kohdan päätteeksi huomaamme, että lähes aina päästä eroon miinuksesta neliön yhtälön ylimmän kerroksen kanssa, muuttamalla kaikkien jäsenten merkkejä, jotka vastaavat molempien osien lisääntymistä (tai divisioona). Esimerkiksi yleensä neliöyhtälöstä -2 · x 2-3 · x + 7 \u003d 0, ne siirtyvät liuokseen 2 · x 2 + 3 · x-7 \u003d 0.

Viestintä juurien ja neliön yhtälön kertoimien välillä

Neliöyhtäluonteen juurien kaava ilmaisee yhtälön juuret kertoimiensa kautta. Strippaus juurimuodosta, voit saada muita riippuvuuksia juurien ja kertoimien välillä.

Tunnetuimmat ja sovellettavat kaavoja Vieta View teoremista ja ovat kaikkein hyvin. Erityisesti alennetun neliön yhtälön osalta juurien määrä on yhtä suuri kuin toinen päinvastainen merkki, ja juurien tuote on vapaa jäsen. Esimerkiksi neliön yhtälön lajin mukaan 3 · x 2 -7 · x + 22 \u003d 0, on mahdollista välittömästi sanoa, että sen juurien summa on 7/3 ja juurien tuote on 22 / 3.

Käyttämällä jo tallennettuja kaavoja voidaan saada useita muita yhteyksiä juurien ja neliön yhtälön kertoimien välillä. Voit esimerkiksi ilmaista neliön yhtälön juurien neliöiden summan kertoimiensa kautta :.

Bibliografia.

• Algebra: opinnot. 8 cl. Yleissivistävä koulutus. laitokset / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Enlightenment, 2008. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordovich A. G. Algebra. 8. luokka. 2 TSP: ssä. 1. Opetus yleisten oppilaitosten opiskelijoille / A. Mordovich. - 11. ed., Ched. - M.: MNEMOZINA, 2009. - 215 s.: IL. ISBN 978-5-346-01155-2.

Esimerkiksi kolmen laukausta \\ (3x ^ 2 + 2x-7 \\), syrjintä on yhtä kuin \\ (2 ^ 2-4 \\ CDOT3 \\ CDOT (-7) \u003d 4 + 84 \u003d 88 \\). Ja kolmen laukauksen \\ (x ^ 2-5x + 11 \\), se on yhtä kuin \\ ((- 5) ^ 2-4 \\ cdot1 \\ cdot11 \u003d 25-44 \u003d -19 \\).

Syrjintä on merkitty kirjaimella \\ (D \\) ja sitä käytetään usein ratketessa. Myös syrjintön arvo voidaan ymmärtää, miten aikataulu näyttää jotain (ks. Alla).

Syrjinnän ja juuren neliön yhtälön juuret

Syrjivän arvon arvo näyttää neliön yhtälön määrä:
- Jos \\ (d \\) on positiivinen - yhtälöllä on kaksi juuria;
- Jos \\ (d \\) on nolla - vain yksi juuret;
- Jos \\ (d \\) on negatiivinen - ei juuria.

Tämä ei ole tarpeen oppia, on helppo tulla tähän johtopäätökseen, vain tietäen, että syrjivästä (eli \\ (\\ sqrt (d) \\) tulee kaavan laskemiseksi neliön yhtälön juurien laskemiseksi: \\ (X_ ( 1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d) (2a) \\) ja \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d) (2a) ) \\). Katsotaan kunkin tapauksen lue lisää.

Jos syrjinnä on positiivinen

Tässä tapauksessa sen juuret ovat jonkin verran positiivista numeroa, joten \\ (x_ (1) \\) ja \\ (x_ (2) \\) on erilainen arvo, koska ensimmäisellä kaavassa \\ (\\ sqrt (d) \\) Lisää ja toisessa vähennettynä. Ja meillä on kaksi eri juuria.

Esimerkki : Etsi yhtälön (X ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 \\) juuret
Päätös :

Vastaus : \\ (X_ (1) \u003d 1 \\); \\ (X_ (2) \u003d - 3 \\)

Jos syrjintä on nolla

Ja kuinka monta juuria se on, jos syrjintä on nolla? Puhutaan.

Juuri-kaavat näyttävät tästä: \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) ja \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ flac ( -B- \\ SQRT (D)) (2A) \\). Ja jos syrjivä on nolla, sen juuret ovat myös nolla. Sitten se osoittautuu:

\\ (X_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d) (2a) \\ () \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (0) (2a) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-b + 0) (2A) \\ (\u003d \\) \\ (\\ t) \\ (\\ t) \\ (\\ t) \\ (\\ t) \\ (2a) \\)

\\ (X_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ t) \\ (\\ t- \\ sqrt (0)) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-b-0) (2a) \\ () \\ (\u003d \\) \\ (\\ t) \\ (\\ t) \\ (\\ t) \\ t

Toisin sanoen yhtälön juurien arvot ovat samansuuntaisia, koska nollan lisäys tai vähennys ei muuta mitään.

Esimerkki : Etsi yhtälön (x ^ 2-4x + 4 \u003d 0 \\) juuret
Päätös :

\\ (x ^ 2-4x + 4 \u003d 0 \\)		Kirjoitamme kertoimet:
\\ (a \u003d 1; \\) \\ (b \u003d -4; \\) \\ (c \u003d 4; \\)		Laske syrjintä kaavan mukaan (d \u003d b ^ 2-4Ac \\)
\\ (D \u003d (- 4) ^ 2-4 \\ cdot1 \\ cdot4 \u003d \\) \(=16-16=0\)		Löydämme yhtälön juuret
\\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ FRAC (- (- 4) + \\ SQRT (0)) (2 \\ CDOT1) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Flac (4) (2) \\) \\ (\u003d 2 \\) \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ FRAC (- - 4) - \\ SQRT (0)) (2 \\ CDOT1) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Flac (4) (2) \\) \\ (\u003d 2 \\)		He saivat kaksi identtistä juuria, joten ei ole mitään järkeä kirjoittaa niitä erikseen - kirjoita yhdeksi.

Vastaus : \\ (x \u003d 2 \\)

Square yhtälöt näkyvät usein fysiikan ja matematiikan erilaisten ongelmien ratkaisemisessa. Tässä artikkelissa tarkastellaan, kuinka ratkaista nämä tasavarat yleisellä tavalla "syrjivällä". Esimerkkejä saatujen tietojen käyttämisestä annetaan myös artikkelissa.

Mitä yhtälöitä puhumme?

Alla olevassa kuvassa on kaava, jossa X on tuntematon muuttuja ja latinalaiset merkit A, B, C ovat joitain tunnettuja numeroita.

Jokainen näistä merkkejä kutsutaan kerroin. Kuten näet, numero "A" seisoo X-muuttujan edessä, pystytetty neliöön. Tämä on ekspressioaste, joten sitä kutsutaan neliöyhtälöksi. Sitä käytetään usein toisella nimellä: toinen tilausyhtälö. A: n arvo on neliökerroin (seisoo muuttujalla neliössä), B on lineaarinen kerroin (se sijaitsee ensimmäisen asteen nousevan muuttujan vieressä), lopuksi numero C on vapaa jäsen.

On huomattava, että yllä olevassa kuvassa esitetyn yhtälön muoto on jaettu klassinen neliö. Sen lisäksi on muita yhtälöitä, joissa kertoimet B, C voi olla nolla.

Kun tehtävänä on ratkaista kyseinen tasa-arvo, tämä tarkoittaa, että muuttujan X arvot on todettava, että se tyydyttäisi hänet. Täällä ensinnäkin sinun on muistettava seuraava asia: Koska IX: n enimmäisaste on 2, tällaisilla ilmaisuksilla ei voi olla yli 2 ratkaisua. Tämä tarkoittaa sitä, että jos samanaikaisen yhtälön ratkaiseminen havaittiin 2 x arvoa, mikä täyttää sen, on mahdollista varmistaa, että ei ole kolmas numero, korvaamalla, että X: n sijaan tasa-arvo olisi myös totuus. Matematiikan yhtälön ratkaisuja kutsutaan sen juuriksi.

Menetelmät toisen tilausyhtälön ratkaisemiseksi

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisut edellyttävät tietyn teorian tuntemusta niistä. Kouluvuonna Algebra harkitsee 4 erilaista ratkaisua. Luettele ne:

• faktoimalla;
• käyttämällä kaavaa täydellä neliölle;
• vastaavan kvadraattisen toiminnan kaaviota;
• syrjivä yhtälö.

Plus ensimmäinen menetelmä koostuu yksinkertaisuudestaan, mutta ei ole kaikkien yhtälöitä. Toinen menetelmä on yleinen, mutta hieman suurikokoinen. Kolmas menetelmä erottaa sen selkeyttä, mutta se ei ole aina kätevä ja sovellettavissa. Ja lopuksi syrjivän yhtälön käyttö on yleinen ja melko yksinkertainen tapa löytää ehdottomasti kaikki toisen kertaluvun yhtälö. Siksi artikkelissa harkitsee vain sitä.

Kaava yhtälön juurien saamiseksi

Käännä neliöyhtälön kokonaisnäkymä. Kirjoitamme sen: a * x² + b * x + c \u003d 0. Ennen kuin käytät sitä, että se ratkaisee "syrjivä", tasa-arvo olisi aina annettava kirjattuun mieleen. Toisin sanoen sen pitäisi koostua kolmesta termistä (tai vähemmän, jos B tai C on 0).

Esimerkiksi jos ilmaisulla on: X²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², sinun on ensin siirrettävä kaikki sen jäsenet yhteen tasa-arvon toiselle puolelle ja taitettava määrä, jotka sisältävät muuttujan X samassa astetta.

Tällöin tämä toimenpide johtaa seuraavaan ilmaisuun: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, joka vastaa yhtälöä 6 * x 2 + 4 * x-8 \u003d 0 (täällä vasemmalla ja oikealla osalla Tasa-arvo Meille kerrottiin -1).

Esimerkissä A \u003d 6, B \u003d 4, C \u003d -8. Huomaa, että kaikki tarkasteltavana olevan tasa-arvon jäsenet on aina tiivistetty toisiinsa, joten jos "-" merkki näyttää, tämä tarkoittaa, että negatiivinen kerroin on negatiivinen kuin tässä tapauksessa numero C.

Tämän hetken rikkomisen jälkeen käännymme nyt itse kaavan, joka mahdollistaa neliön yhtälön juurien saamisen. Siinä on ulkonäkö, joka esitetään alla olevassa kuvassa.

Kuten tästä ilmaisusta voidaan nähdä, voit vastaanottaa kaksi juuria (sinun on kiinnitettävä huomiota "±" -merkkiin). Tätä varten riittää korvaamaan kertoimet B, C ja A.

Syrjivä käsite

Edellisessä kappaleessa esitettiin kaava, jonka avulla voit nopeasti ratkaista toisen kertaluonteisen yhtälön. Sitä kutsutaan syrjiväksi, eli d \u003d b²-4 * a * c.

Miksi tämä kaavan osa jakaa, ja sillä on jopa oma nimi? Tosiasia on, että syrjivä sitoutuu kaikki kolme yhtälökertoimia yhdeksi ilmaisuksi. Viimeisin seikka merkitsee sitä, että se sisältää täysin tietoa juurista, jotka voidaan ilmaista seuraavalla luettelolla:

1. D\u003e 0: Tasa-arvo on 2 erilaista ratkaisua, molemmat edustavat voimassa olevia numeroita.
2. D \u003d 0: Yhtälö on vain yksi juurtaja, ja se on kelvollinen numero.

Johtajan määrittäminen

Annamme yksinkertaisen esimerkin, miten löytää syrjintää. Anna tällaisen tasa-arvon annettava: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x 2 + 7.

Annamme sen vakiomuodossa, saamme: (2 * x²-9 * x 2 + 5 * x 2) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, mistä tulemme Tasa-arvo: -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. Tässä A \u003d -2, B \u003d 2, C \u003d -11.

Nyt voit käyttää nimettyä kaavaa syrjivän: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Tuloksena oleva numero on vastaus tehtävään. Koska esimerkkiero on pienempi kuin nolla, voidaan sanoa, että tämä neliöyhtälö ei ole kelvollisia juuria. Sen ratkaisu sisältää vain monimutkaisen tyypin määrän.

Esimerkki epätasa-arvosta syrjinnän kautta

Ratkaistamme jonkin verran erilaisen tyypin ongelman: Tasa-arvo on -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Tällaiset C-arvot ovat välttämättömiä, joiden D\u003e 0.

Tällöin tunnetaan vain 2 kolmen kertoimesta, joten ei ole mahdollista laskea syrjinnän tarkkaa arvoa, mutta tiedetään, että se on positiivinen. Viimeisempää tosiseikkaa käytetään epätasa-arvon valmistuksessa: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * C\u003e 0. Saadun epätasa-arvon ratkaisu johtaa tulokseen: C\u003e -3.

Tarkista tuloksena oleva numero. Tehdä tämä, laske d 2 tapausta varten: C \u003d -2 ja C \u003d -4. Numero -2 täyttää tuloksena olevan tuloksen (-2\u003e -3), vastaava syrjintä on: d \u003d 12\u003e 0. Onneksi numero -4 ei täytä epätasa-arvoa (-4t, mikä tahansa numero, joka on enemmän -3, täyttää tilan.

Esimerkki yhtälön ratkaisemisesta

Annamme tehtävän, joka ei ole pelkästään syrjivä, vaan myös yhtälön ratkaisemisessa. On välttämätöntä löytää juuret tasa-arvoon -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

Tässä esimerkissä syrjintä on yhtä suuri kuin seuraava arvo: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Sitten yhtälön juuret määritetään seuraavasti: X \u003d (9 ± √137) / (- 4). Nämä ovat juurien tarkkoja arvoja, jos se on tarpeen laskea suunnilleen suunnilleen, sitten saadaan numerot: X \u003d -5,176 ja x \u003d 0,676.

Geometrinen tehtävä

Ratkaistamme tehtävän, joka edellyttää paitsi kykyä laskea syrjintää, mutta myös abstraktin ajattelun ja tietämyksen taitojen käyttö, miten neliöyhtälöt tekevät.

Bobilla oli värjätty peitto 5 x 4 metriä. Poika halusi ommella kiinteän nauhan kauniilta kangasta hänelle kehän ympärillä. Mikä paksuus on tämä nauha, jos tiedetään, että Bobilla on 10 m² kangasta.

Anna bändillä XM: n paksuus, sitten peitteen pitkän puoleisen kangasalue on (5 + 2 * x) * x ja pitkä sivu 2, sitten meillä on: 2 * x * ( 5 + 2 * x). Lyhyen puolen mukaan ompelen kankaan pinta-ala on 4 * x, koska nämä sivut 2, sitten saamme arvon 8 * x. Huomaa, että 2 * x pituus lisättiin pitkään puolelle, koska huopapituus kasvoi tällä numerolla. Kokonaiskudosalue on 10 m². Siksi saamme tasa-arvoa: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x 2 + 18 * x-10 \u003d 0.

Tässä esimerkissä syrjintä on: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Sen juuret ovat yhtä kuin 22. Käyttämällä kaavaa, löydämme halutut juuret: X \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Ilmeisesti kahdesta juurista ongelman tilan mukaan vain numero on 0,5.

Siten kankaan nauha, jonka bob ompelee sen peitolle, leveys on 50 cm.

Copsevskaya maaseudun lukio

10 tapaa ratkaista neliöyhtälöt

Leader: Patrikeva Galina Anatolyevna,

matemaattinen opettaja

s.Kopievo, 2007.

1. Square yhtälöiden kehittämisen historia

1.1 neliön yhtälöt muinaisessa babylonissa

1.2 Kuten osoite ja ratkaistu diofant-neliön yhtälöt

1.3 Square yhtälöt Intiassa

1.4 neliön yhtälöt AlcoHise

1.5 neliön yhtälöt Euroopassa XIII - XVII vuosisatoja

1.6 Tietoja Vieta Theoremista

2. Menetelmät neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi

Johtopäätös

Kirjallisuus

1. Neliöyhtälöiden kehityksen historia

1.1 neliön yhtälöt muinaisessa babylonissa

Tarve ratkaista yhtälöitä paitsi ensimmäiseksi, mutta myös toiseksi antiikin tutkinto johtui tarpeesta ratkaista maan alueiden sijaintiin liittyvät tehtävät ja sotilaallisen luonteen maanrakennusten sekä tähtitieteen kehityksen ja Matematiikka itse. Square yhtälöt pystyivät ratkaista noin 2000 vuotta aiemmin. e. Babylonian.

Soveltamalla modernia algebraalista tietuetta voimme sanoa, että heidän klinoksessaan on, lukuun ottamatta epätäydellisiä ja sellaisia, esimerkiksi täysimittaisia \u200b\u200byhtälöitä:

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Babylonian teksteissä esitetyt näiden yhtälöiden ratkaiseminen vastaa olennaisesti nykyaikaista, mutta ei tunneta, miten Babylonialaiset pääsivät tämän säännön mukaan. Lähes kaikki lääkärit löytyvät tähän asti, vain tehtävät reseptien muodossa esitetyillä päätöksillä ilman ilmoituksia siitä, miten ne löydettiin.

Huolimatta Algebran korkeasta kehityksestä Babylonissa, negatiivisen lukumäärän ja yleisten menetelmien käsite neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi puuttuu klinoksia.

1.2 Kuten osuus ja ratkaistu diofant-neliön yhtälöt.

Diofantan "aritmeettisessa" ei ole järjestelmällistä esittelyä Algebra, mutta se sisältää systemaattisen määrän tehtäviä, joihin liittyy selityksiä ja ratkaistaan \u200b\u200beri asteiden yhtälöiden valmistuksessa.

Kun laatiko diofantti yhtälöt yksinkertaistamaan liuosta taitavasti tuntematonta.

Tässä esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Tehtävä 11. "Etsi kaksi numeroa, tietäen, että niiden summa on 20, ja työ on 96"

Diofant väittää seuraavasti: ongelman kunnosta seuraa, että halutut numerot eivät ole yhtäläisiä, koska jos ne olisivat yhtä suuret, heidän työnsä ei olisi 96 ja 100. Näin ollen yksi niistä on yli puolet niistä niiden summa eli. 10 + H. Toinen on vähemmän, ts. 10 - H. . Niiden välinen ero 2x .

Tästä syystä yhtälö:

(10 + x) (10 - X) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

X 2 - 4 \u003d 0 (1)

Täältä x \u003d 2. . Yksi halutusta numerosta on 12 , Muut 8 . Päätös x \u003d -2. Diophanta ei ole olemassa, koska Kreikan matematiikka tiesi vain positiiviset numerot.

Jos päätämme tämän tehtävän, valitsemalla yksi halutuista numeroista tuntemattomina, tulemme ratkaisemaan yhtälön

y (20 - Y) \u003d 96,

2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

On selvää, että valitsemalla halutun numeron tuntematon peli, Diofant yksinkertaistaa päätöstä; Hän voi vähentää tehtävää ratkaista epätäydellinen neliöyhtälö (1).

1.3 Square yhtälöt Intiassa

Tehtävät neliöyhtälöitä löytyvät jo tähtitieteellisestä "Ariabhatti", jotka on koottu 499. Intian matemaatikko ja astronomi Ariabhatta. Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (VII-luvulla), esitteli yleisen säännön ratkaista yhdelle kanonelliselle lomakkeelle annetut neliön yhtälöt:

Ah 2 +. b. x \u003d S, A\u003e 0. (1)

Yhtälössä (1) kertoimissa paitsi mutta voi olla negatiivinen. Brahmagupta-sääntö on pääasiassa samansuuntainen.

Muinaisessa Intiassa julkiset kilpailut jaettiin vaikeiden tehtävien ratkaisemiseen. Yhdessä vanhoista intialaisista kirjoista seuraavia kilpailuja sanotaan tällaisista kilpailuista: "Kun aurinko on kimalteleva omien tähtien kanssa, niin tiedemies on varjostaa toisen kansalliskokoukselle, tarjota ja ratkaista algebrallisia tehtäviä." Tehtävät nauttivat usein runollisessa muodossa.

Tässä on yksi kuuluisan Intian matematiikan XII luvuston tehtävistä. Bhaskarva.

Tehtävä 13.

"Apinat ja kaksitoista Lianam ...

Teho kasvot, hauskaa. Alkoi hypätä, roikkuu ...

Ne ovat kahdeksannen neliöalueella, kuinka monta apinaa oli,

Glade oli huvittunut. Kerrotko minulle, tässä pinossa? "

Bhaskaran päätös todistaa siihen, että hän tiesi neliöyhtälöiden juurien kaksinkertaisesta (kuvio 3).

Vastaava tehtävä 13 yhtälö:

( x. /8) 2 + 12 = x.

Bhaskarara kirjoittaa aiheesta:

x 2 - 64x \u003d -768

ja täydentää tämän yhtälön vasen osaa neliöön lisää molempiin osiin 32 2 , sitten:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 neliön yhtälöt Al - Khorezmi

Algebraalisessa käsittelyssä Al - Khorezmi antaa lineaaristen ja neliön yhtälöiden luokittelun. Kirjoittaja sisältää 6 yhtälön lajia, jotka ilmaisevat heidät seuraavasti:

1) "neliöt ovat juuret", ts. Ah 2 + C \u003d b. x.

2) "neliöt ovat yhtä suuria kuin numero", ts. Ah 2 \u003d s.

3) "Juurit ovat yhtä suuria kuin numero", toisin sanoen Ah \u003d s.

4) "neliöt ja numerot ovat yhtä suuria kuin juuret", ts. Ah 2 + C \u003d b. x.

5) "neliöt ja juuret ovat yhtä suuria kuin numero", toisin sanoen Ah 2 +. bX. \u003d s.

6) "juuret ja numerot ovat yhtä suuria kuin neliöt", toisin sanoen bX. + C \u003d ah 2.

Al-Khorezmille välttäen negatiivisten lukujen käytön, kunkin yhtälön jäsenet ovat komponentteja eikä vähennettä. Samalla ei ole tietysti otettu huomioon yhtälöitä, joilla ei ole myönteisiä ratkaisuja. Kirjoittaja esittää keinoja ratkaista nämä yhtälöt käyttämällä Al - Jabr ja Al - Mukabalan tekniikoita. Hänen päätöksensä tietenkin, ei ole samat kuin meidän. Jo ei kuitenkaan mainita, että se on puhtaasti retorinen, esimerkiksi on huomattava, että ensimmäisen tyypin epätäydellisen neliön yhtälön ratkaisemiseksi

al - Khorezmi, kuten kaikki matematiikka, kunnes XVII-luvulla otetaan huomioon nollaratkaisu, todennäköisesti sillä ei ole merkitystä erityisissä käytännön tehtävissä. Kun ratkaistaan \u200b\u200btäydelliset neliön al-chores yhtälöt yksityisillä numeerisissa esimerkeissä, siinä määritellään päätöslauselmat ja sitten geometriset todisteet.

Tehtävä 14. "Square ja numero 21 ovat 10 juuria. Etsi juurta » (Se ymmärretään yhtälön X 2 + 21 \u003d 10x) juuriksi.

Tekijän päätös lukee jotain tällaista: me jaamme juurien määrän, saat 5, kerrotaan itsellesi, yhden 21 työstä, pysyy 4. Juoksun poistaminen neljästä, saat 2 . Onde 2 OT5, saat 3, se on haluttu juurta. Tai lisää 2 - 5, joka antaa 7, sillä on myös juurtaja.

Al-Khorezmi-hoito on ensimmäinen, joka tuli meille kirjan, jossa neliöyhtälöiden luokittelu järjestelmällisesti ja kaavat annetaan.

1.5 neliön yhtälöt Euroopassa XIII. - XVII Bb

Al-KhorezMI: n al-KhorezMI: n neliön yhtälöiden kaavat esiteltiin ensimmäisen kerran Italian Mathematician Leonardo Fibonacci kirjoitti 1202 kirjoitettu "Abaka". Tämä perusteellinen työ, joka heijastaa matematiikan vaikutusta, molemmat islamin ja muinaisen Kreikan maat, erotetaan sekä täydellisyydestä että esityksen selkeydestä. Tekijä kehitti itsenäisesti joitain uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta ja Euroopassa lähestyi negatiivisten lukujen käyttöönottoa. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tietämyksen leviämistä paitsi Italiassa vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monet haasteet "Abaka-kirjasta" läpäisi lähes kaikki Euroopan oppikirjat XVI - XVII-vuosisatoja. ja osittain XVIII.

Yleinen sääntö samaan kanoniseen muotoon annetun neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi:

x 2 +. bX. \u003d C,

kaikenlaisia \u200b\u200bkertoimien merkkien yhdistelmiä b. , peräkkäin Se on muotoiltu Euroopassa vain 1544 metrin jäykissä.

Neliön yhtälön liuoksen kaavan tuotos on saatavilla Vietassa, mutta Viet tunnisti vain positiiviset juuret. Italian matemaatikot Tarttolia, Kardano, Bombelly joukossa ensimmäistä XVI-luvulla. Positiivisten ja negatiivisten juurien lisäksi. Vain XVII-luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden työvoiman ansiosta neliöyhtälöiden ratkaiseminen on moderni ulkonäkö.

1.6 Tietoja Vieta Theoremista

Teorea, jossa ilmaistaan \u200b\u200bsuhde neliön yhtälön kertoimien ja sen juurien välisen suhteen, joka on Vietan nimi, muotoiltiin ensimmäistä kertaa vuonna 1591 seuraavasti: "Jos B. + D. kerrottuna A. - A. 2 hyvin BD. T. A. yhtä SISÄÄN Ja yhtä suuri D. ».

Ymmärtääkseen VIETA, sinun pitäisi muistaa, että MUTTA Kuten jokainen vokaalikirje merkitsi, hänellä on tuntematon (meidän h.), vokaalit SISÄÄN, D. - Tuntemattoman kertoimet. Modernin algebran kielellä edellä mainitussa VITATA tarkoittaa: jos on olemassa

(A +. b. ) X - X 2 \u003d ab ,

x 2 - (a + b. ) x + a b. = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b. .

Visieipat ovat asettaneet yhtälöiden välisten yhtälöiden juurien ja kertoimien välisten yhtälöiden juurien ja kertoimien välinen suhde, joka on asettanut yhtenäisyyden yhtälöiden ratkaisemismenetelmiin. Vietin symboliikka on kuitenkin edelleen kaukana nykyisistä lajeista. Hän ei tunnistanut negatiivisia numeroita ja tätä, kun ratkettiin yhtälöitä, pidettiin vain tapauksia, kun kaikki juuret ovat positiivisia.

2. Menetelmät neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi

Square yhtälöt ovat perusta, johon Algebran majesteettinen rakennus lepää. Square yhtälöitä käytetään laajalti trigonometristen, ohjeellisten, logaritmisen, irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ja eriarvoisuuden ratkaisemisessa. Me kaikki osaamme, miten ratkaista neliön yhtälöt koulupenkille (luokka 8) ennen yliopiston loppua.

Yksinkertaisin tapa. Tehdä tämä, poista z fracketit. Saat: Z (AZ + B) \u003d 0. Kerrotorit voidaan kirjoittaa: Z \u003d 0 ja AZ + B \u003d 0, koska molemmat voivat tuottaa nollan seurauksena. Tallenna AZ + B \u003d 0, lähetämme toisen oikealla toisella merkillä. Täältä saamme Z1 \u003d 0 ja Z2 \u003d -B / A. Nämä ovat alkuperäisen juuret.

Jos muodossa AZ² + C \u003d 0 on epätäydellinen yhtälö, tässä tapauksessa on vapaan jäsenen yksinkertainen siirto yhtälön oikeaan osaan. Muuta myös merkki samanaikaisesti. Se osoittautuu tallennuksen AZ² \u003d -C. Express Z² \u003d -C / A. Ota juurta ja kirjoita kaksi ratkaisua - neliöjuuren positiivinen ja negatiivinen arvo.

merkintä

Yhtälössä olevien fraktiokertoimien läsnä ollessa kerrotaan yhtälö vastaavaan kerroin, jotta päästä eroon fraktioista.

Tietämys siitä, miten ratkaista neliöyhtälöitä, on välttämätöntä koululaisille ja opiskelijoille, joskus se voi auttaa ja aikuinen henkilö tavallisessa elämässä. On olemassa useita erityisiä ratkaisuja.

Neliöyhtälöiden ratkaisu

Neliön yhtälö muodon A * X ^ 2 + B * x + c \u003d 0. Kertoimen X on haluttu muuttuja, A, B, C - numeeriset kertoimet. Muista, että "+" -merkki voi vaihdella "-" -merkillä.

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on käytettävä Vieta-teorea tai löytää syrjintää. Yleisin tapa on löytää syrjivä, koska joissakin arvoissa A, B, C, käyttää Vieta-teorea ole mahdollista.

Jos haluat löytää syrjivän (D), on tarpeen kirjoittaa kaava D \u003d b ^ 2 - 4 * a * c. Arvo D voi olla suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Jos D on suurempi tai pienempi kuin nolla, juuret ovat kaksi, jos D \u003d 0, vain yksi juuristus pysyy tarkemmin sanottuna, voimme sanoa, että dissa tässä tapauksessa on kaksi vastaavaa juuria. Sulje hyvin tunnettuja kertoimia A, B, C kaavassa ja laske arvo.

Kun olet löytänyt syrjivä, löytää X-käyttölomakkeet: X (1) \u003d (- B + SQRT (D)) / 2 * A; X (2) \u003d (- B-SQRT (D) / 2 * A, jossa SQRT on toiminto, joka tarkoittaa neliöjuuren uuttamista tietystä numerosta. Ottaen huomioon nämä lausekkeet, löydät kaksi yhtälön juuria, minkä jälkeen yhtälö katsotaan ratkaistuna.

Jos D on pienempi kuin nolla, sillä on vielä juurta. Koulussa tätä osaa ei käytännössä tutkittu. Yliopiston opiskelijoiden tulisi olla tietoisia siitä, mikä negatiivinen numero näkyy juuressa. Se erottuu siitä kuvitteellisesta osasta siitä, eli -1 juuren alla aina yhtä kuin kuvitteellinen elementti "I", joka kerrotaan juurella samalla positiivisella numerolla. Esimerkiksi jos D \u003d SQRT (-20), saadaan muunnoksen D \u003d SQRT (20) * i. Tämän muunnoksen jälkeen yhtälön liuos pienenee samaan etsimään juuret, kuten yllä on kuvattu.

Vieta-teema on arvojen X (1) ja X (2) valinnassa. Käytetään kaksi identtistä yhtälaista yhtälöä: x (1) + x (2) \u003d -b; x (1) * x (2) \u003d s. Lisäksi erittäin tärkeä asia on merkki B: n etuosassa, muista, että tämä merkki on vastapäätä yhtälössä. Ensi silmäyksellä näyttää siltä, \u200b\u200bettä on erittäin helppo harkita x (1) ja x (2), mutta kun ratkaistaan \u200b\u200bsinut törmää siihen, että numerot joutuvat hakemaan se.

Suljettavien yhtälöiden ratkaiseminen

Matematiikan sääntöjen mukaan jotkin voidaan hajottaa kertojille: (A + X (1)) * (B - X (2)) \u003d 0, jos tämä neliöyhtälö voi muuntaa kaavan mukaisilla kaavoilla Matematiikan, sitten rohkeasti kirjaa vastaus. X (1) ja X (2) ovat yhtä suuria kuin seuraavat suluissa olevat peruskirjat, mutta vastakkaisella merkillä.

Älä myöskään unohda epätäydellisiä neliöyhtälöitä. Sinulla voi olla joitain termejä, jos on, niin kaikki sen kertoimet ovat yksinkertaisesti yhtä suuria. Jos ei ole mitään ennen x ^ 2 tai x, kertoimet A ja B ovat yhtä suuria kuin 1.