Ang pagpapakalat para sa naka-grupo na data ay tinutukoy ng formula. Pagpapakalat ng discrete random variable.

Pagpapakalat sa mga istatistika Matatagpuan bilang indibidwal na mga palatandaan sa parisukat mula sa. Depende sa paunang data, tinutukoy ito ng mga formula ng simple at suspendido dispersions:

1. (para sa di-hangganan ng data) ay kinakalkula ng formula:

2. Weighted dispersion (para sa variational series):

kung saan n ang dalas (repeatability ng factor x)

Isang halimbawa ng paghahanap ng pagpapakalat

Inilalarawan ng pahinang ito ang isang karaniwang halimbawa ng pagpapakalat, maaari mo ring tingnan ang iba pang mga gawain para sa paghahanap nito.

Halimbawa 1. Mayroong sumusunod na data sa isang grupo ng 20 mag-aaral ng departamento ng sulat. Kinakailangan upang bumuo ng isang hilera ng pagitan ng pamamahagi ng tampok, kalkulahin ang average na halaga ng katangian at tuklasin ang pagpapakalat nito

Bumuo ng Interval Grouping. Tinutukoy namin ang saklaw ng agwat ng formula:

kung saan ang x max ay ang pinakamataas na halaga ng tampok na grupo;
X min-minimum na halaga ng isang tampok na grupo;
n - Bilang ng mga agwat:

Kumuha n \u003d 5. Hakbang ay: H \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

Gumawa ng isang grupo ng agwat

Para sa karagdagang mga kalkulasyon, bumuo kami ng isang subsidiary table:

X'i-middle interval. (Halimbawa, ang gitna ng agwat 159 - 165.6 \u003d 162.3)

Ang average na magnitude ng pag-unlad ng mga mag-aaral ay tutukoy sa formula ng average na aritmetika na timbang:

Tukuyin ang pagpapakalat ng formula:

Maaaring i-convert ang formula ng pagpapakalat:

Mula sa formula na ito ito ay sumusunod na ang pagpapakalat ay pantay Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat mula sa mga parisukat ng mga pagpipilian at parisukat at daluyan.

Pagpapakalat sa variational rows. Sa pantay na agwat, ayon sa paraan ng mga sandali, maaari itong kalkulahin sa pamamagitan ng sumusunod na paraan gamit ang pangalawang mga katangian ng pagpapakalat (paghati sa lahat ng mga variant sa laki ng agwat). Kahulugan ng desisyonkinakalkula ng paraan ng mga sandali, ayon sa sumusunod na formula mas kaunting oras:

kung saan ako ang magnitude ng agwat;
A - conditional zero, na maginhawa upang gamitin ang gitna ng agwat na nagtataglay ng pinakamalaking dalas;
M1 - ang parisukat ng unang order;
M2 - ang sandali ng ikalawang order

(Kung sa isang statistical set, ang pag-sign ay nagbabago sa isang paraan na mayroon lamang dalawang kapwa eksklusibong mga pagpipilian sa pagpipilian, pagkatapos ay isang pagkakaiba-iba ay tinatawag na alternatibo) ay maaaring kalkulahin ng formula:

Substituting sa formula dispersion Q \u003d 1- p, nakukuha namin:

Mga uri ng pagpapakalat

Kabuuang pagpapakalat Sinusukat ang pagkakaiba-iba ng tampok sa buong kabuuan bilang isang buo sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng mga kadahilanan na tumutukoy sa pagkakaiba-iba na ito. Ito ay katumbas ng average na parisukat ng mga deviations ng mga indibidwal na mga halaga ng tampok ng X mula sa kabuuang ibig sabihin ng halaga ng X at maaaring tinukoy bilang isang simpleng pagpapakalat o suspendido pagpapakalat.

characterizes isang random na pagkakaiba-iba, i.e. Bahagi ng pagkakaiba-iba, na kung saan ay dahil sa impluwensya ng hindi nakikitang mga kadahilanan at independiyenteng ng sign-factor na inilatag sa base ng grupo. Ang ganitong pagpapakalat ay katumbas ng average na parisukat ng mga deviations ng mga indibidwal na mga halaga ng tampok sa loob ng grupo X mula sa gitnang aritmetika grupo at maaaring kalkulahin bilang isang simpleng pagpapakalat o bilang isang weighted dispersion.

Sa ganitong paraan, undergroup dispersion measures. Pagkakaiba-iba ng isang tampok sa loob ng grupo at tinutukoy ng formula:

kung saan xi ay isang average na grupo;
Ni - ang bilang ng mga yunit sa grupo.

Halimbawa, ang mga dispersions ng intrangroup na kailangang matukoy sa gawain ng pag-aaral ng epekto ng mga kwalipikasyon sa pagtatrabaho para sa pagiging produktibo ng paggawa sa mga pagkakaiba-iba ng paggawa ng produksyon sa bawat grupo na sanhi ng lahat ng posibleng mga kadahilanan (teknikal na kalagayan ng kagamitan, mga kasangkapan at materyales sa seguridad, ang Edad ng mga manggagawa, labor intensity, atbp.), Bilang karagdagan sa mga pagkakaiba sa kwalipikadong paglabas (sa loob ng grupo, ang lahat ng manggagawa ay may parehong mga kwalipikasyon).

Ang average ng mga dispersions sa loob ng grupo ay sumasalamin sa random, i.e, na bahagi ng pagkakaiba-iba na naganap sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng iba pang mga kadahilanan, maliban sa pagpapangkat ng kadahilanan. Ito ay kinakalkula ng formula:

Kinikilala nito ang sistematikong pagkakaiba-iba ng isang epektibong tampok, na kung saan ay dahil sa impluwensiya ng isang sign-factor na inilatag sa base ng grupo. Ito ay katumbas ng average na parisukat ng mga deviations ng mga average ng grupo mula sa kabuuang average. Intergroup dispersion ay kinakalkula ng formula:

Panuntunan ng pagdaragdag ng pagpapakalat sa mga istatistika

Ayon kay panuntunan ng mga pagdidibuho ng karagdagan Ang kabuuang pagpapakalat ay katumbas ng kabuuan ng average ng intrukroup at intergroup dispersions:

Ang kahulugan ng panuntunang ito Ito ay ang pangkalahatang pagpapakalat na nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng mga kadahilanan ay katumbas ng halaga ng mga dispersions na nangyari sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng iba pang mga kadahilanan at pagpapakalat na nagmumula sa pagpapangkat ng kadahilanan.

Gamit ang formula para sa pagdaragdag ng dispersions, maaaring matukoy ng isa sa pamamagitan ng dalawang kilalang dispersions ng ikatlong hindi kilala, pati na rin upang hatulan ang lakas ng impluwensiya ng isang pangkat ng grupo.

Mga katangian ng pagpapakalat

1. Kung ang lahat ng mga halaga ng pag-sign ay nabawasan (palakihin) sa parehong pare-pareho ang halaga, pagkatapos ay ang pagpapakalat ay hindi magbabago.
2. Kung ang lahat ng mga tampok ay nabawasan (zoom) sa parehong bilang ng mga beses n, pagkatapos ay ang pagpapakalat ay bumaba naaayon (pagtaas) sa n ^ 2 beses.

Mga hakbang

Pagkalkula ng sample dispersion

1. Isulat ang mga halaga ng sample. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga sample lamang ng ilang mga pangkalahatang aggregates ay magagamit sa mga istatistika. Halimbawa, bilang isang panuntunan, hindi sinusuri ng mga istatistika ang mga gastos ng nilalaman ng kabuuan ng lahat ng mga kotse sa Russia - sinuri nila ang random na sample ng ilang libong mga kotse. Ang ganitong sample ay makakatulong na matukoy ang average na gastos para sa kotse, ngunit malamang na ang halaga na nakuha ay malayo sa tunay.

   • Halimbawa, pag-aralan namin ang bilang ng mga buns na ibinebenta sa isang cafe para sa 6 na araw na kinuha sa random order. Ang sample ay may sumusunod na anyo: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Ito ay isang sample, hindi isang kabuuan, dahil wala kaming data sa bun na ibinebenta para sa bawat araw ng cafe.
   • Kung bibigyan ka ng kabuuan, at hindi isang sample ng mga halaga, pumunta sa susunod na seksyon.

2. I-record ang formula upang kalkulahin ang sample dispersion. Ang pagpapakalat ay isang sukatan ng pagsabog ng ilang mga halaga. Ang mas malapit ang halaga ng pagpapakalat sa zero, ang mas malapit ang halaga ay pinagsama-sama sa bawat isa. Paggawa gamit ang isang sample ng mga halaga, gamitin ang sumusunod na formula upang kalkulahin ang pagpapakalat:

   • S 2 (\\ displaystyle s ^ (2)) = ∑[( X i (\\ displayStyle x_ (i)) - x̅) 2 (\\ displayStyle ^ (2)] / (n - 1)
   • S 2 (\\ displaystyle s ^ (2)) - Ito ay isang pagpapakalat. Ang pagpapakalat ay sinusukat sa mga yunit ng square ng pagsukat.
   • X i (\\ displayStyle x_ (i)) - Ang bawat halaga sa sample.
   • X i (\\ displayStyle x_ (i)) Ito ay kinakailangan upang ibawas ang x̅, bumuo ng isang parisukat, at pagkatapos ay tiklop ang mga resulta na nakuha.
   • x̅ - Selective mean (average na halaga ng sample).
   • n - ang bilang ng mga halaga sa sample.

3. Kalkulahin ang average na halaga ng sample. Ito ay ipinahiwatig bilang x̅. Ang average na halaga ng sampling ay kinakalkula bilang karaniwang average na aritmetika: tiklop ang lahat ng mga halaga sa sample, at pagkatapos ay ang resulta ay hinati sa bilang ng mga halaga sa sample.

   • Sa ating halimbawa, tiklop ang mga halaga sa sample: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 \u003d 84
     Ngayon ang resulta ay hinati sa bilang ng mga halaga sa sample (sa aming halimbawa, sila ay 6): 84 ÷ 6 \u003d 14.
     Selective average x̅ \u003d 14.
   • Ang selective average ay isang sentral na halaga sa paligid kung saan ang mga halaga ay ipinamamahagi sa sample. Kung ang mga halaga sa sample ay naka-grupo sa paligid ng sample medium, pagkatapos ay ang pagpapakalat ay maliit; Kung hindi, ang pagpapakalat ay malaki.

4. Tanggalin ang napiling average ng bawat halaga sa sample. Ngayon kalkulahin ang pagkakaiba X i (\\ displayStyle x_ (i)) - x̅, saan X i (\\ displayStyle x_ (i)) - Ang bawat halaga sa sample. Ang bawat resulta na nakuha ay nagpapatotoo sa paglihis ng isang partikular na halaga mula sa sample medium, iyon ay, kung gaano kalayo ang halaga na ito mula sa average na halaga ng sample.

   • Sa aming halimbawa:
     X 1 (\\ displayStyle x_ (1)) - x̅ \u003d 17 - 14 \u003d 3.
     x 2 (\\ displayStyle x_ (2)) - x̅ \u003d 15 - 14 \u003d 1.
     x 3 (\\ displayStyle x_ (3)) - x̅ \u003d 23 - 14 \u003d 9.
     x 4 (\\ displayStyle x_ (4)) - x̅ \u003d 7 - 14 \u003d -7.
     x 5 (\\ displayStyle x_ (5)) - x̅ \u003d 9 - 14 \u003d -5.
     X 6 (\\ displayStyle x_ (6)) - x̅ \u003d 13 - 14 \u003d -1.
   • Ang katumpakan ng mga resulta na nakuha ay madaling suriin, dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na zero. Ito ay dahil sa kahulugan ng ibig sabihin ng halaga, dahil ang mga negatibong halaga (distansya mula sa average na halaga sa mas maliit na mga halaga) ay ganap na binabayaran ng mga positibong halaga (distansya mula sa average na halaga sa mga malalaking halaga).

5. Tulad ng nabanggit sa itaas, ang halaga ng mga pagkakaiba X i (\\ displayStyle x_ (i)) - X̅ ay dapat na zero. Nangangahulugan ito na ang average dispersion ay palaging katumbas ng zero, na hindi nagbibigay ng anumang ideya ng scattering ang mga halaga ng isang tiyak na halaga. Upang malutas ang problemang ito, kunin ang bawat pagkakaiba sa parisukat X i (\\ displayStyle x_ (i)) - x̅. Ito ay hahantong sa katotohanan na makakatanggap ka lamang ng mga positibong numero na, kapag nagdadagdag, hindi kailanman magbibigay ng 0.

   • Sa aming halimbawa:
     ( X 1 (\\ displayStyle x_ (1)) - x̅) 2 \u003d 3 2 \u003d 9 (\\ displayStyle ^ (2) \u003d 3 ^ (2) \u003d 9)
     (x 2 (\\ displayStyle (x_ (2)) - x̅) 2 \u003d 1 2 \u003d 1 (\\ displayStyle ^ (2) \u003d 1 ^ (2) \u003d 1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Nakakita ka ng isang parisukat ng pagkakaiba - x̅) 2 (\\ displayStyle ^ (2) Para sa bawat halaga sa sample.

6. Kalkulahin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga pagkakaiba. Iyon ay, hanapin ang bahagi ng formula na nakasulat tulad ng sumusunod: σ [( X i (\\ displayStyle x_ (i)) - x̅) 2 (\\ displayStyle ^ (2)]. Narito ang sign σ ay nangangahulugang ang kabuuan ng mga parisukat ng mga pagkakaiba para sa bawat halaga X i (\\ displayStyle x_ (i)) Sa sample. Nakakita ka na ng mga parisukat ng mga pagkakaiba (X i (\\ displayStyle (x_ (i)) - x̅) 2 (\\ displayStyle ^ (2) Para sa bawat halaga X i (\\ displayStyle x_ (i)) sa sample; Ngayon lamang fold ang mga parisukat.

   • Sa aming halimbawa: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 \u003d 166 .

7. Ang resultang resulta ay nahahati sa N - 1, kung saan n ang bilang ng mga halaga sa sample. Ilang oras ang nakalipas, para sa pagkalkula ng pagpapakalat ng mga istatistika, ang resulta ay lamang sa n; Sa kasong ito, makakatanggap ka ng average na laki ng dispersion square, na perpekto para sa paglalarawan ng pagpapakalat ng sample na ito. Ngunit tandaan na ang anumang sample ay isang maliit na bahagi lamang ng pangkalahatang hanay ng mga halaga. Kung kumuha ka ng isa pang sample at magsagawa ng parehong mga kalkulasyon, makakatanggap ka ng isa pang resulta. Tulad ng naka-out, naghahati sa N - 1 (at hindi lamang sa N) ay nagbibigay ng isang mas tumpak na pagtatasa ng pagpapakalat ng pangkalahatang populasyon, na interesado ka. Ang dibisyon sa N - 1 ay karaniwang tinanggap, kaya kasama ito sa formula para sa pagkalkula ng sample dispersion.

   • Sa aming halimbawa, ang sample ay may kasamang 6 na halaga, iyon ay, n \u003d 6.
     Sampling dispersion \u003d. S 2 \u003d 166 6 - 1 \u003d (\\ displayStyle S ^ (2) \u003d (\\ frac (166) (6-1)) \u003d) 33,2

8. Pagkakaiba sa pagkakaiba mula sa karaniwang paglihis. Tandaan na ang formula ay nasa formula, kaya ang pagpapakalat ay sinusukat sa mga yunit ng square ng pagsukat ng pagsusuri na halaga. Minsan ang gayong magnitude ay medyo mahirap na gumana; Sa ganitong mga kaso, gamitin ang karaniwang paglihis, na pantay na parisukat na ugat mula sa pagpapakalat. Iyon ang dahilan kung bakit ipinahiwatig ang sample dispersion bilang S 2 (\\ displaystyle s ^ (2)), at ang karaniwang paglihis ng sample - bilang S (\\ displayStyle s).

   • Sa aming halimbawa, ang karaniwang paglihis ng sample: S \u003d √33,2 \u003d 5.76.

   Pagkalkula ng pagpapakalat ng aggregate

   1. Pag-aralan ang ilang kabuuan ng mga halaga. Kasama sa pinagsama ang lahat ng mga halaga ng halaga na isinasaalang-alang. Halimbawa, kung pinag-aaralan mo ang edad ng mga residente ng rehiyon ng Leningrad, kabilang ang aggregate ang edad ng lahat ng residente ng lugar na ito. Sa kaso ng pagtatrabaho sa isang set, inirerekomenda na lumikha ng isang talahanayan at gumawa ng isang hanay ng kabuuan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:

      • Mayroong 6 aquarium sa ilang kuwarto. Sa bawat aquarium, ang sumusunod na bilang ng mga buhay ng isda:
        x 1 \u003d 5 (\\ displayStyle x_ (1) \u003d 5)
        x 2 \u003d 5 (\\ displayStyle x_ (2) \u003d 5)
        x 3 \u003d 8 (\\ displayStyle x_ (3) \u003d 8)
        x 4 \u003d 12 (\\ displayStyle x_ (4) \u003d 12)
        x 5 \u003d 15 (\\ displayStyle x_ (5) \u003d 15)
        x 6 \u003d 18 (\\ displayStyle x_ (6) \u003d 18)

   2. Isulat ang formula upang kalkulahin ang pagpapakalat ng pangkalahatang populasyon. Dahil ang kumbinasyon ay kinabibilangan ng lahat ng mga halaga ng ilang halaga, ang formula sa ibaba ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang eksaktong halaga ng pagpapakalat ng set. Upang makilala ang pagpapakalat ng isang hanay ng mga sampling dispersion (ang halaga ng kung saan ay tinantiya lamang), ang mga istatistika ay gumagamit ng iba't ibang mga variable:

      • σ 2 (\\ displayStyle ^ (2) = (∑( X i (\\ displayStyle x_ (i)) - μ) 2 (\\ displayStyle ^ (2)) / N.
      • σ 2 (\\ displayStyle ^ (2) - Pagpapakalat ng pinagsama (basahin bilang "sigma sa isang parisukat"). Ang pagpapakalat ay sinusukat sa mga yunit ng square ng pagsukat.
      • X i (\\ displayStyle x_ (i)) - Ang bawat halaga sa pinagsama-samang.
      • Σ - Mag-sign ng halaga. Iyon ay, mula sa bawat halaga X i (\\ displayStyle x_ (i)) Ito ay kinakailangan upang ibawas μ, bumuo ng isang parisukat, at pagkatapos ay tiklop ang mga resulta na nakuha.
      • μ ang average na hanay na halaga.
      • n - ang bilang ng mga halaga sa pangkalahatang populasyon.

   3. Kalkulahin ang ibig sabihin ng halaga ng kabuuan. Kapag nagtatrabaho sa pangkalahatang set, ang average na halaga nito ay ipinahiwatig bilang μ (MJ). Ang average na hanay ng halaga ay kinakalkula bilang karaniwang average na aritmetika: tiklop ang lahat ng mga halaga sa pangkalahatang populasyon, at pagkatapos ay ang resulta ay hinati sa bilang ng mga halaga sa pangkalahatang hanay.

      • Tandaan na ang average na mga halaga ay hindi laging kinakalkula bilang average na aritmetika.
      • Sa aming halimbawa, ang ibig sabihin ng halaga ng kabuuan: μ \u003d 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (DisplayStyle (\\ frac (5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18) (6))) = 10,5

   4. Tanggalin ang average na hanay ng halaga mula sa bawat halaga sa pangkalahatang populasyon. Ang mas malapit ang halaga ng pagkakaiba sa zero, mas malapit ang tiyak na halaga sa average na halaga ng kabuuan. Hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat halaga sa pinagsama-samang at average na halaga nito, at matatanggap mo ang unang ideya ng pamamahagi ng mga halaga.

      • Sa aming halimbawa:
        X 1 (\\ displayStyle x_ (1)) - μ \u003d 5 - 10.5 \u003d -5.5.
        x 2 (\\ displayStyle x_ (2)) - μ \u003d 5 - 10.5 \u003d -5.5.
        x 3 (\\ displayStyle x_ (3)) - μ \u003d 8 - 10.5 \u003d -2.5.
        x 4 (\\ displayStyle x_ (4)) - μ \u003d 12 - 10.5 \u003d 1.5.
        x 5 (\\ displayStyle x_ (5)) - μ \u003d 15 - 10.5 \u003d 4.5.
        X 6 (\\ displayStyle x_ (6)) - μ \u003d 18 - 10.5 \u003d 7.5.

   5. Earb ang parisukat bawat resulta. Ang mga halaga ng pagkakaiba ay parehong positibo at negatibo; Kung ilalapat mo ang mga halagang ito sa diretso ng numeric, pagkatapos ay magsinungaling sila sa kanan at sa kaliwa ng average na halaga ng set. Ito ay hindi angkop para sa pagkalkula ng pagpapakalat, dahil positibo at negatibong mga numero ang pumabay sa bawat isa. Samakatuwid, kumuha ng isang parisukat ang bawat pagkakaiba upang makakuha ng mga positibong numero.

      • Sa aming halimbawa:
        ( X i (\\ displayStyle x_ (i)) - μ) 2 (\\ displayStyle ^ (2) Para sa bawat halaga ng set (mula sa i \u003d 1 hanggang i \u003d 6):
        (-5,5) 2 (\\ displayStyle ^ (2) = 30,25
        (-5,5) 2 (\\ displayStyle ^ (2)Saan x n (\\ displayStyle x_ (n)) - Huling halaga sa pangkalahatang populasyon.
      • Upang makalkula ang average na halaga ng mga resulta, kailangan mong mahanap ang kanilang kabuuan at hatiin ito sa N: (( X 1 (\\ displayStyle x_ (1)) - μ) 2 (\\ displayStyle ^ (2) + ( x 2 (\\ displayStyle x_ (2)) - μ) 2 (\\ displayStyle ^ (2) + ... + ( x n (\\ displayStyle x_ (n)) - μ) 2 (\\ displayStyle ^ (2)) / N.
      • Isulat mo ngayon ang paliwanag gamit ang mga variable: (σ ( X i (\\ displayStyle x_ (i)) - μ) 2 (\\ displayStyle ^ (2)) / n at nakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng pagpapakalat ng kabuuan.

Ayon sa pumipili na pagsusuri, ang mga depositor ay nagtatanim sa mga tuntunin ng deposito sa SBerbank ng lungsod:

Matukoy ang:

1) pagkakaiba-iba ng pagkakaiba-iba;

2) ang average na laki ng deposito;

3) ang average na linear deviation;

4) pagpapakalat;

5) pangalawang parisukat paglihis;

6) koepisyent ng pagkakaiba-iba ng mga deposito.

Desisyon:

Ang hanay ng pamamahagi na ito ay naglalaman ng mga bukas na agwat. Sa ganitong mga hilera, ang magnitude ng agwat ng unang grupo ay kinukuha ng kondisyon na katumbas ng halaga ng kasunod na agwat, at ang magnitude ng pagitan ng huling grupo ay katumbas ng magnitude ng agwat ng nakaraang isa.

Ang magnitude ng ikalawang grupo ng grupo ay 200, samakatuwid, ang halaga ng unang grupo ay katumbas din ng 200. Ang laki ng agwat ng penultimate group ay 200, na nangangahulugang ang huling agwat ay may halaga na katumbas ng 200 .

1) Tatanggalin namin ang saklaw ng pagkakaiba-iba bilang isang pagkakaiba sa pagitan ng pinakadakilang at pinakamaliit na tanda ng tampok:

Ang saklaw ng pagkakaiba-iba ng laki ng kontribusyon ay 1000 rubles.

2) Ang average na laki ng deposito ay tinutukoy ng formula ng average na aritmetika na timbang.

Dati nang matukoy ang discrete na halaga ng katangian sa bawat agwat. Upang gawin ito, ayon sa gitnang formula ng aritmetika, makikita natin ang gitna ng mga agwat.

Ang average na halaga ng unang agwat ay magiging:

pangalawa - 500, atbp.

Ipasok natin ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa talahanayan:

Ang average na deposito sa SBerbank ng lungsod ay 780 rubles:

3) ang average na linear deviation ay ang average na aritmetika ng absolute deviations ng mga indibidwal na mga halaga ng tampok ng kabuuang average:

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng average deflection lineongo sa pagitan ng pamamahagi ay ang mga sumusunod:

1. Ang average na aritmetika na timbang ay kinakalkula, tulad ng ipinapakita sa talata 2).

2. Ang mga absolute deviations ay tinutukoy mula sa average:

3. Ang mga deviation na nakuha ay pinarami ng mga frequency:

4. May isang kabuuan ng tinimbang na mga deviations nang hindi isinasaalang-alang ang tanda:

5. Ang halaga ng tinimbang na deviations ay nahahati sa mga frequency:

Maginhawa upang gamitin ang kinakalkula na talahanayan ng data:

Ang average na linear deviation ng kontribusyon ng mga customer ng SBerbank ay 203.2 rubles.

4) Ang pagpapakalat ay ang average na aritmetika na mga parisukat ng mga deviations ng bawat halaga ng character mula sa gitnang aritmetika.

Ang pagkalkula ng pagpapakalat sa mga hanay ng pamamahagi ng interval ay ginawa ng formula:

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng pagpapakalat sa kasong ito ay ang mga sumusunod:

1. Tukuyin ang average na aritmetika na tinimbang, tulad ng ipinapakita sa talata 2).

2. Hanapin ang pagpipilian ng deviations mula sa average:

3. Maaga ang mga deviations ng bawat pagpipilian mula sa average:

4. Maramihang mga parisukat para sa timbang deviations (frequency):

5. Slimming ang mga gawa na nakuha:

6. Ang nagresultang halaga ay nahahati sa pagbubuo (mga frequency):

Mga kalkulasyon na ibibigay sa talahanayan:

Variational scope (o pagkakaiba-iba ng pagkakaiba-iba) - Ito ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamataas at pinakamababang halaga ng tampok:

Sa aming halimbawa, ang pagkakaiba-iba ng produksyon ng mga manggagawa ay: sa unang Brigade R \u003d 105-95 \u003d 10 bata, sa ikalawang brigada r \u003d 125-75 \u003d 50 bata. (5 beses na higit pa). Ipinahihiwatig nito na ang pag-unlad ng 1st brigada ay mas "matatag", ngunit ang mga reserbang paglago ng produksyon ay higit pa sa ikalawang brigada, dahil Kung ang lahat ng mga manggagawa ay nakamit ng lahat ng mga manggagawa para sa brigada na ito, maaari itong manufactured 3 * 125 \u003d 375 na bahagi, at sa 1st Brigade lamang 105 * 3 \u003d 315 na bahagi.
Kung ang mga extreme sign ng katangian ay hindi pangkaraniwan para sa pinagsama-samang, pagkatapos ay ginagamit ang apartment o decile swings. Ang apartment rq \u003d Q3-Q1 ay sumasaklaw sa 50% ng kabuuang dami, ang decisive span ay ang unang RD1 \u003d D9-D1) ng 80% ng data, ang ikalawang decile Raman RD2 \u003d D8-D2 ay 60%.
Ang kawalan ng tagapagpahiwatig ng sukat ng pagkakaiba-iba ay, ngunit ang halaga nito ay hindi nagpapakita ng lahat ng mga oscillations ng tampok.
Ang pinakasimpleng nagbubuod na tagapagpahiwatig na sumasalamin sa lahat ng mga palatandaan ng tampok ay medium linear deviation., na kumakatawan sa average na aritmetika absolute deviations ng indibidwal na pagpipilian mula sa kanilang average na laki:

,
Para sa naka-grupo na data
,
Kung saan ang XI ay ang halaga ng pag-sign sa discrete row o sa gitna ng agwat sa pamamahagi ng agwat.
Sa itaas na mga formula ng pagkakaiba sa numerator, ang module ay kinuha, kung hindi man, ayon sa ari-arian ng gitnang aritmetika, ang numerator ay laging zero. Samakatuwid, ang average na linear deflection sa statistical practice ay bihirang ginagamit, lamang sa mga kaso kung saan ang kabuuan ng mga tagapagpahiwatig nang hindi isinasaalang-alang ang pag-sign ay may pang-ekonomiyang kahulugan. Sa tulong nito, halimbawa, ang komposisyon ng pagtatrabaho, kakayahang kumita ng produksyon, ang paglilipat ng dayuhang kalakalan ay pinag-aralan.
Pagpapakalat Tampok - Ito ang average na parisukat ng pagpipiliang deviations mula sa kanilang average na laki:
Simpleng pagpapakalat
,
Tinimbang na pagpapakalat
.
Ang formula para sa pagkalkula ng pagpapakalat ay maaaring gawing simple:

Kaya, ang pagpapakalat ay katumbas ng pagkakaiba sa gitna ng pagpipiliang mga parisukat at parisukat ng average ng pagpipiliang kumbinasyon:
.
Gayunpaman, dahil sa kabuuan ng mga parisukat ng mga deviations, ang pagpapakalat ay nagbibigay ng isang pangit na pag-unawa sa mga deviations, kaya ito ay kinakalkula batay sa average quadratic deviation.na nagpapakita kung gaano karaming sa average na tiyak na mga pagpipilian para sa isang tampok mula sa kanilang average na halaga ay tinanggihan. Ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagkuha ng square root mula sa pagpapakalat:
Para sa di-pangunahing data
,
Para sa variational series.

Ang mas maliit ang halaga ng pagpapakalat at ang average na parisukat na paglihis, mas pare-pareho ang kabuuan, mas maaasahan (tipikal), magkakaroon ng average na halaga.
Ang average na linear at secondary quadratic deviation ay ang pinangalanang mga numero, i.e., ay ipinahayag sa mga yunit ng pag-sign, magkapareho sa nilalaman at malapit sa halaga.
Kalkulahin ang mga absolute indicator ng pagkakaiba-iba ay inirerekomenda gamit ang mga talahanayan.
Table 3 - Pagkalkula ng mga katangian ng pagkakaiba-iba (sa halimbawa ng datching ng data ng kapalit na workshop ng mga brigada ng manggagawa)

Katamtamang mga manggagawa sa pagmimina:

Medium Linear Deviation:

Pagpapakalat ng produksyon:

Ang average na parisukat na paglihis ng produksyon ng mga indibidwal na manggagawa mula sa average na produksyon:
.

1 pagkalkula ng pagpapakalat sa pamamagitan ng paraan ng sandali

Ang pagkalkula ng dispersions ay nauugnay sa malaki kalkulasyon (lalo na kung ang average na halaga ay ipinahayag sa isang malaking bilang na may ilang mga decimal sign). Ang mga kalkulasyon ay maaaring gawing simple kung gumagamit ng pinasimple na formula at pagpapakalat ng mga katangian.
Ang pagpapakalat ay may mga sumusunod na katangian:

1. kung ang lahat ng mga halaga ng pag-sign ay nabawasan o nadagdagan ng parehong halaga, pagkatapos ay ang pagpapakalat ay hindi bababa mula sa:

,

, pagkatapos o
Gamit ang mga katangian ng pagpapakalat at unang bawasan ang lahat ng mga variant ng hanay ng halaga ng isang, at pagkatapos ay paghahati ng halaga ng interval H, makuha namin ang formula para sa pagkalkula ng pagpapakalat sa mga hanay ng pagkakaiba-iba na may pantay na agwat way of Moments:
,
kung saan - ang pagpapakalat na kinakalkula ng paraan ng mga sandali;
H - ang magnitude ng pagitan ng serye ng pagkakaiba-iba;
- Bagong (transformed) na pagpipilian sa halaga;
Isang permanenteng halaga, na gumagamit ng gitna ng agwat na may pinakamataas na dalas; alinman sa opsyon na may pinakamataas na dalas;
- ang parisukat ng unang order;
- sandali ng pangalawang order.
Magsagawa ng pagkalkula ng pagpapakalat sa pamamagitan ng paraan ng mga sandali batay sa data sa kapalit na workshop ng mga brigada ng manggagawa.
Table 4 - Pagkalkula ng pagpapakalat sa pamamagitan ng paraan ng mga sandali

Pagkalkula ng pamamaraan:

1. kalkulahin ang pagpapakalat:

2 pagkalkula ng pagpapakalat ng isang alternatibong tampok

Kabilang sa mga palatandaan na pinag-aralan ng mga istatistika, mayroon ding mga kakaiba sa dalawa lamang na eksklusibong kahulugan. Ang mga ito ay mga alternatibong palatandaan. Ito ay nakalakip, ayon sa pagkakabanggit, dalawang halaga ng dami: Mga Pagpipilian 1 at 0. Ang dalas ng mga pagpipilian 1, na kung saan ay tinutukoy ng P, ay ang proporsyon ng mga yunit na may tampok na ito. Ang pagkakaiba 1-P \u003d Q ay ang dalas ng mga pagpipilian 0. Kaya,

Average na Arithmetic Alternatibong Tampok
, T. K. P + Q \u003d 1.

Pagpapakalat ng isang alternatibong tampok
dahil 1-P \u003d Q.
Kaya, ang pagpapakalat ng isang alternatibong tampok ay katumbas ng gawain ng bahagi ng mga yunit na may tampok na ito, at ang pagbabahagi ng mga yunit na walang tampok na ito.
Kung ang 1 at 0 mga halaga ay magkakaiba, iyon ay, P \u003d Q, ang pagpapakalat ay umaabot sa pinakamataas na PQ \u003d 0.25.
Ang pagpapakalat ng isang alternatibong tampok ay ginagamit sa mga pumipili na mga survey, halimbawa, kalidad ng produkto.

3 intergroup dispersion. Panuntunan ng pagdaragdag ng mga dispersyon

Ang pagpapakalat, sa kaibahan sa iba pang mga katangian ng pagkakaiba-iba, ay isang additive na halaga. Iyon ay, sa pinagsama-samang, na nahahati sa mga grupo ayon sa kadahilanan h. , pagpapakalat ng produktibong tampok y.maaari itong decomposed sa pagpapakalat sa bawat grupo (intrangroup) at pagpapakalat sa pagitan ng mga grupo (intergroup). Pagkatapos, kasama ang pag-aaral ng pagkakaiba-iba ng tampok sa buong kabuuan ng kabuuan, posible na pag-aralan ang pagkakaiba-iba sa bawat grupo, pati na rin sa pagitan ng mga grupong ito.

Kabuuang pagpapakalatsinusukat ang pagkakaiba-iba ng tampok w. Kasama ang buong kumbinasyon sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng mga kadahilanan na naging sanhi ng pagkakaiba-iba (deviations). Ito ay katumbas ng average na parisukat ng mga deviations ng mga indibidwal na mga halaga ng tampok w. Mula sa kabuuang average at maaaring kalkulahin bilang isang simple o suspendido pagpapakalat.
Intergroup dispersion characterizes ang pagkakaiba-iba ng pagganap w.sanhi ng impluwensya ng isang salik sa pag-sign. h.batay sa pagpapangkat. Kinikilala nito ang pagkakaiba-iba ng average ng grupo at katumbas ng average na parisukat ng average deviations ng grupo mula sa kabuuang average:
,
kung saan ang average na aritmetika i-kaysa sa grupo;
- ang bilang ng mga yunit sa I-na pangkat (dalas ng I-kaysa sa grupo);
- Kabuuang average na aggregate.
Undergroup dispersion. Sinasalamin ang random na pagkakaiba-iba, i.e., na bahagi ng pagkakaiba-iba, na sanhi ng impluwensya ng mga hindi nakikitang mga kadahilanan at hindi nakasalalay sa sign-factor batay sa pagpapangkat. Kinikilala nito ang pagkakaiba-iba ng mga indibidwal na halaga na may kaugnayan sa mga average ng grupo, ay katumbas ng average na parisukat ng mga deviations ng mga indibidwal na katangian ng mga halaga w. Sa loob ng grupo mula sa gitnang aritmetika ng grupong ito (average na grupo) at kinakalkula bilang isang simple o suspendido na pagpapakalat para sa bawat grupo:
O. ,
Kung saan ang bilang ng mga yunit sa grupo.
Batay sa mga dispersions ng intragroup para sa bawat grupo, maaari mong matukoy pangkalahatang gitna ng mga dispersions ng intragroup:
.
Ang relasyon sa pagitan ng tatlong pagpapakalat ay tinawag. mga panuntunan ng mga dispersions ng karagdaganAyon sa kung saan ang kabuuang pagpapakalat ay katumbas ng kabuuan ng pagpapakalat ng intergroup at ang average ng mga dispersions ng intragroup:

Halimbawa. Kapag pinag-aaralan ang impluwensiya ng paglabas ng taripa (kwalipikasyon) ng mga manggagawa, ang sumusunod na data ay nakuha para sa pagganap ng kanilang paggawa.
Talaan 5 - Pamamahagi ng mga manggagawa sa kalagitnaan ng oras na henerasyon.

Sa halimbawang ito, ang mga manggagawa ay nahahati sa dalawang grupo sa kadahilanan h.- Kwalipikasyon, na kung saan ay nailalarawan sa pamamagitan ng kanilang paglabas. Executive Feature - Development - Nag-iiba ang parehong sa ilalim ng impluwensiya nito (intergroup pagkakaiba-iba) at sa kapinsalaan ng iba pang mga random na mga kadahilanan (intrangroup pagkakaiba). Ang gawain ay upang sukatin ang mga pagkakaiba-iba na ito gamit ang tatlong dispersions: pangkalahatan, intergroup at intrukroup. Ang empirical koepisyent ng pagpapasiya ay nagpapakita ng proporsyon ng pagkakaiba-iba ng produktibo w.sa ilalim ng impluwensiya ng isang kadahilanan h.. Ang natitirang bahagi ng kabuuang pagkakaiba-iba w.sanhi ng pagbabago ng iba pang mga kadahilanan.
Sa halimbawa, ang empirical determination coefficient ay:
o 66.7%,
Nangangahulugan ito na ang 66.7% pagkakaiba-iba ng mga manggagawa sa pagiging produktibo ng paggawa ay dahil sa mga pagkakaiba sa mga kwalipikasyon, at ng 33.3% - ang impluwensya ng iba pang mga kadahilanan.
Empirical correlation. Ay nagpapakita ng higpit ng relasyon sa pagitan ng pagpapangkat at epektibong mga tampok. Kinakalkula bilang root square mula sa empirical koepisyent ng determinasyon:

Ang empirical correlation attitude, bilang, ay maaaring kumuha ng mga halaga mula 0 hanggang 1.
Kung walang koneksyon, pagkatapos \u003d 0. Sa kasong ito, \u003d 0, iyon ay, ang mga average ng grupo ay katumbas ng bawat isa at ang pagkakaiba-iba ng intergroup ay hindi. Nangangahulugan ito ng pag-sign ng grupo - ang kadahilanan ay hindi nakakaapekto sa pagbuo ng isang karaniwang pagkakaiba-iba.
Kung ang koneksyon ay functional, pagkatapos \u003d 1. Sa kasong ito, ang pagpapakalat ng average ng grupo ay katumbas ng pangkalahatang pagpapakalat (), iyon ay, walang pagkakaiba-iba ng intrukroup. Nangangahulugan ito na ang tampok na grupo ay ganap na tumutukoy sa pagkakaiba-iba ng tampok na pinag-aralan na katangian.
Ang mas malapit sa halaga ng kaugnayan sa ugnayan sa isa, mas mas malapit, mas malapit sa pag-andar ng relasyon sa pagitan ng mga palatandaan.
Para sa isang husay na pagtatasa ng higpit ng relasyon sa pagitan ng mga palatandaan, ang mga ratio ng Caddoka ay ginagamit.

Sa halimbawa Ano ang nagpapatotoo sa malapit na koneksyon sa pagitan ng kapasidad ng manggagawa at sa kanilang mga kwalipikasyon.

Pagpapakalat Random variable - sukatin ang scatter ng ito random variable, iyon ay sa kanya paglihis mula sa pag-asa sa matematika. Sa mga istatistika upang italaga ang pagpapakalat, ang pagtatalaga (sigma sa parisukat) ay kadalasang ginagamit. Parisukat na ugat ng pagpapakalat, pantay na tinatawag na. karaniwang lihis o karaniwang scatter. Ang standard deviation ay sinusukat sa parehong mga yunit bilang random variable mismo, at ang pagpapakalat ay sinusukat sa mga parisukat ng yunit ng pagsukat.

Kahit na ito ay napaka-maginhawa upang gamitin lamang ang isang halaga upang masuri ang buong sample (tulad ng average na halaga o fashion at panggitna), ang diskarte na ito ay madaling humantong sa hindi tamang output. Ang dahilan para sa posisyon na ito ay hindi sa pinaka-magnitude, ngunit sa katunayan na ang isang halaga ay hindi sumasalamin sa scatter ng mga halaga ng data.

Halimbawa, sa sample:

ang average na halaga ay 5.

Gayunpaman, sa sample mismo ay hindi isang solong elemento na may halaga 5. Maaaring kailangan mong malaman ang antas ng kalapitan ng bawat elemento ng sample sa average na halaga nito. O, sa ibang salita, kakailanganin mong malaman ang pagpapakalat ng pagkakaiba. Alam ang antas ng pagbabago ng data, maaari kang maging mas mahusay na interpreted ibig sabihin, median at fashion.. Ang antas ng pagbabago ng mga halaga ng sampling ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagkalkula ng kanilang pagpapakalat at karaniwang paglihis.

Pagpapakalat at square root mula sa isang pagpapakalat na tinatawag na standard deviation, makilala ang average na paglihis mula sa average na halaga ng sample. Kabilang sa dalawang magnitude na ito ang pinakadakilang halaga karaniwang lihis. Ang halaga na ito ay maaaring kinakatawan bilang average na distansya kung saan matatagpuan ang mga item mula sa average na sample elemento.

Ang pagpapakalat ay mahirap na bigyang kahulugan. Gayunpaman, ang parisukat na ugat ng halagang ito ay isang karaniwang paglihis at mahusay na naaangkop sa interpretasyon.

Ang karaniwang paglihis ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagtukoy muna ang pagpapakalat at pagkatapos ay kalkulahin ang square root mula sa pagpapakalat.

Halimbawa, para sa hanay ng data na ipinapakita sa figure, ang mga sumusunod na halaga ay makuha:

Larawan 1.

Dito, ang average na halaga ng mga parisukat ng mga pagkakaiba ay 717.43. Upang makakuha ng isang karaniwang paglihis, ito ay nananatiling lamang upang kumuha ng isang parisukat na ugat ng numerong ito.

Ang resulta ay humigit-kumulang 26.78.

Dapat tandaan na ang standard deviation ay binibigyang kahulugan bilang ang average na distansya kung saan matatagpuan ang mga item mula sa average na halaga ng sample.

Ipinapakita ng standard deviation kung gaano kahusay ang inilalarawan ng average na halaga sa buong sample.

Ipagpalagay na ikaw ang pinuno ng departamento ng pagmamanupaktura para sa pagpupulong ng PC. Ang quarterly report ay nagsasaad na ang paglabas para sa huling quarter ay umabot sa 2500 mga PC. Masama ba o mabuti? Tinanong mo (o nasa ulat na mayroong graph na ito) sa ulat upang ipakita ang karaniwang paglihis ayon sa mga data na ito. Ang digit ng standard deviation, halimbawa, ay 2000. Ito ay nagiging malinaw para sa iyo bilang pinuno ng departamento, na ang linya ng produksyon ay nangangailangan ng mas mahusay na kontrol (masyadong malalaking deviations sa bilang ng PC nakolekta).

Alalahanin: Sa isang malaking standard deviation, ang data ay malawak na nakakalat na kamag-anak sa ibig sabihin ng halaga, at may maliit - sila ay naka-grupo malapit sa average na halaga.

Apat na statistical function ng display (), isang hindi pagkakaunawaan (), standotclone () at standotclick () - ay dinisenyo upang kalkulahin ang pagpapakalat at ang karaniwang paglihis ng mga numero sa mga pagitan ng cell. Bago ang pagkalkula ng pagpapakalat at karaniwang paglihis ng hanay ng data, kinakailangan upang matukoy kung ang mga data na ito ay kumakatawan sa pangkalahatang hanay o sample mula sa pangkalahatang populasyon. Sa kaso ng isang sample mula sa pangkalahatang populasyon, ang mga function ng display () at standotonclone () ay dapat gamitin, at sa kaso ng pangkalahatang set - ang pag-andar ng dispen () at standotloup ():

Pangkalahatang Aggregate.	Function.
	Dispen ()
	Stadothotlip ()
Sample.
	Dis ()
	Standotclone ()

Ang pagpapakalat (pati na rin ang karaniwang paglihis), tulad ng aming nabanggit, ipahiwatig ang lawak kung saan ang halaga na kasama sa hanay ng data ay nakakalat sa paligid ng average na aritmetika.

Ang isang maliit na halaga ng pagpapakalat o standard deviation ay nagpapahiwatig na ang lahat ng data ay puro sa paligid ng average na aritmetika, at ang malaking halaga ng mga halagang ito ay ang data ay nakakalat sa isang malawak na hanay ng mga halaga.

Ang pagpapakalat ay lubos na mahirap na bigyang kahulugan ang kahulugan (ano ang ibig sabihin ng isang maliit na halaga, mahusay na halaga?). Pagganap Mga Gawain 3.pinapayagan ang visually sa tsart, ipakita ang kahulugan ng pagpapakalat para sa isang hanay ng data.

Mga gawain

· Ehersisyo 1.

· 2.1. Pagsulat: pagpapakalat at karaniwang paglihis; Ang kanilang simbolikong pagtatalaga na may statistical data processing.

· 2.2. Ayusin ang work sheet alinsunod sa Figure 1 at gawin ang mga kinakailangang kalkulasyon.

· 2.3. Lumikha ng mga pangunahing formula na ginamit sa mga kalkulasyon

· 2.4. Ipaliwanag ang lahat ng mga simbolo (,,)

· 2.5. Kalkulahin ang praktikal na kahalagahan ng konsepto ng pagpapakalat at karaniwang paglihis.

Task 2.

1.1. Bigyan ang konsepto: pangkalahatang aggregate at sample; Mathematical expectation at arithmetic average ng kanilang simbolikong pagtatalaga na may statistical data processing.

1.2. Alinsunod sa Figure 2, ayusin ang isang work sheet at gumawa ng mga kalkulasyon.

1.3. Lumikha ng mga pangunahing formula na ginagamit sa mga kalkulasyon (para sa pangkalahatang populasyon at sample).

Figure 2.

1.4. Ipaliwanag kung bakit ang average na mga halaga ng aritmetika ay posible sa mga sample bilang 46.43 at 48.78 (tingnan ang application file). Gumuhit ng mga konklusyon.

Task 3.

Mayroong dalawang mga sample na may ibang dataset, ngunit ang average para sa kanila ay magkapareho:

Figure 3.

3.1. Ayusin ang nagtatrabaho sheet alinsunod sa Figure 3 at gumawa ng mga kinakailangang kalkulasyon.

3.2. Magbigay ng mga pangunahing formula para sa pagkalkula.

3.3. Bumuo ng mga graphics alinsunod sa mga numero 4, 5.

3.4. Ipaliwanag ang mga dependency na nakuha.

3.5. Tukuyin ang mga katulad na kalkulasyon para sa dalawang sample.

Source sample 11119999.

Ang mga halaga ng ikalawang sample ay napili upang ang average na aritmetika para sa pangalawang sample ay pareho, halimbawa:

Kunin ang mga halaga para sa pangalawang sample ang iyong sarili. Mag-subscribe at bumuo ng mga graph tulad ng Mga Larawan 3, 4, 5. Ipakita ang mga pangunahing formula na ginamit kapag kinakalkula.

Gumawa ng angkop na konklusyon.

Lahat ng mga gawain upang mag-isyu sa anyo ng isang ulat sa lahat ng kinakailangang mga guhit, mga graph, mga formula at maikling paliwanag.

Tandaan: Ang mga graph ng gusali ay dapat na clarified sa mga guhit at maikling paliwanag.