Gauss usuli bunga aniq misol. Gauss usuli Vilenkin
Chiziqli tenglamalar tizimini echishning eng oddiy usullaridan biri bu determinantlarni hisoblashga asoslangan texnikadir. Kramer qoidasi). Uning afzalligi shundaki, bu sizga yechimni darhol yozib olish imkonini beradi, ayniqsa, tizim koeffitsientlari sonlar emas, balki qandaydir parametrlar bo'lgan hollarda qulaydir. Uning kamchiliklari ko'p sonli tenglamalar uchun hisob-kitoblarning noqulayligi, bundan tashqari, Kramer qoidasi tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri kelmaydigan tizimlarga bevosita taalluqli emas. Bunday hollarda odatda qo'llaniladi Gauss usuli.
Yechimlari bir xil bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimlari deyiladi ekvivalent... Shubhasiz, chiziqli tizim echimlari to'plami, agar ba'zi tenglamalar almashtirilsa yoki tenglamalardan biri nol bo'lmagan songa ko'paytirilsa yoki bir tenglama boshqasiga qo'shilsa, o'zgarmaydi.
Gauss usuli (noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli) elementar transformatsiyalar yordamida tizim pog'onali tipdagi ekvivalent tizimga tushirilishida yotadi. Birinchidan, 1-tenglama yordamida x Tizimning keyingi barcha tenglamalari. Keyin, 2 -tenglama yordamida, x 3-chi va undan keyingi barcha tenglamalardan 2 tasi. Bu jarayon deyiladi to'g'ridan -to'g'ri Gauss usulida, oxirgi tenglamaning chap tomonida faqat bitta noma'lum qolguncha davom etadi x n... Shundan so'ng u ishlab chiqariladi orqaga qaytgan Gauss usuli- oxirgi tenglamani echib, biz topamiz x n; shundan so'ng, bu qiymatdan foydalanib, biz hisobdan oldingi tenglamadan x n-1 va boshqalar. Biz oxirgisini topamiz x Birinchi tenglamadan 1.
Gauss konvertatsiyasini tenglamalar bilan emas, balki ularning koeffitsientlari matritsalari yordamida amalga oshirish qulay. Matritsani ko'rib chiqing:
chaqirdi kengaytirilgan tizim matritsasi, chunki unda tizimning asosiy matritsasidan tashqari, erkin shartlar ustuni ham kiritilgan. Gauss usuli tizimning asosiy matritsasini tizimning kengaytirilgan matritsasi qatorlarining (!) Elementar konvertatsiyasidan foydalanib, uchburchak shaklga (yoki kvadrat bo'lmagan tizimlar uchun trapezoidal shaklga) tushirishga asoslangan.
Misol 5.1. Tizimni Gauss usuli yordamida yeching:
Yechim... Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va birinchi qatordan foydalanib, qolgan elementlarni nol qilib tashlaymiz:
biz birinchi ustunning 2, 3 va 4 -qatorlarida nollarni olamiz:
Endi 2-qator ostidagi ikkinchi ustundagi barcha elementlar nolga teng bo'lishi kerak. Buning uchun siz ikkinchi qatorni –4/7 ga ko'paytirib, 3 -qatorga qo'shishingiz mumkin. Biroq, kasrlar bilan shug'ullanmaslik uchun biz ikkinchi ustunning 2 -qatorida birlik yaratamiz va faqat
Endi uchburchak matritsani olish uchun siz 3 -ustunning to'rtinchi qatorining elementini nolga qo'yishingiz kerak, buning uchun siz uchinchi qatorni 8/54 ga ko'paytirib, to'rtinchisiga qo'shishingiz mumkin. Biroq, kasrlar bilan shug'ullanmaslik uchun biz 3 va 4 -qatorlar va 3 va 4 -ustunlar o'rnini almashtiramiz va shundan keyingina biz ko'rsatilgan elementni nol qilib tashlaymiz. E'tibor bering, ustunlar o'zgartirilganda, mos keladigan o'zgaruvchilar almashtiriladi va siz buni eslab qolishingiz kerak; ustunli boshqa elementar transformatsiyalarni (songa qo'shish va ko'paytirishni) amalga oshirish mumkin emas!
Oxirgi soddalashtirilgan matritsa asl matritsaga ekvivalent tenglamalar tizimiga mos keladi:
Demak, Gauss usulining teskari yo'nalishidan foydalanib, biz to'rtinchi tenglamadan topamiz x 3 = -1; uchinchisidan x 4 = -2, ikkinchidan x 2 = 2 va birinchi tenglamadan x 1 = 1. Matritsa shaklida javob shunday yoziladi
Biz tizim aniq bo'lganda, ya'ni ishni ko'rib chiqdik. faqat bitta yechim bo'lganda. Tizim mos kelmasa yoki noaniq bo'lsa nima bo'lishini ko'rib chiqamiz.
5.2-misol. Gauss usuli yordamida tizimni o'rganing:
Yechim... Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozing va o'zgartiring
Biz soddalashtirilgan tenglamalar tizimini yozamiz:
Bu erda, oxirgi tenglamada, 0 = 4 ekanligi ma'lum bo'ldi, ya'ni. qarama -qarshilik. Binobarin, tizimning yechimi yo'q, ya'ni. u mos kelmaydigan. à
5.3-misol. Gauss usuli yordamida tizimni o'rganing va hal qiling:
Yechim... Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va o'zgartiramiz:
O'zgartirishlar natijasida oxirgi satrda faqat nol bor. Bu tenglamalar soni bittaga kamayganligini anglatadi:
Shunday qilib, soddalashtirishlardan so'ng ikkita tenglama bo'ladi va to'rtta noma'lum, ya'ni. ikkita noma'lum "qo'shimcha". Bu "ortiqcha" bo'lsin, yoki, ular aytganidek, erkin o'zgaruvchilar bo'ladi x 3 va x 4 . Keyin
Taxmin qilib x 3 = 2a va x 4 = b, olamiz x 2 = 1–a va x 1 = 2b–a; yoki matritsa shaklida
Shu tarzda yozilgan yechim deyiladi umumiy, chunki parametrlarni berish orqali a va b har xil qiymatlar, tizimning barcha mumkin bo'lgan echimlari tasvirlanishi mumkin. a
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilsin, ular hal qilinishi kerak (tizimning har bir tenglamasini tenglikka aylantiradigan noma'lum xi qiymatlarini toping).
Biz bilamizki, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi:
1) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi mos kelmaydigan).
2) cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Noyob yechimga ega bo'ling.
Esda tutganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki mos kelmaydigan hollarda qo'llanilmaydi. Gauss usuli – har qanday chiziqli tenglamalar tizimining yechimlarini topish uchun eng kuchli va ko'p qirrali vosita, qaysi har bir holatda bizni javobga olib boradi! Usulning o'zi algoritmi har uch holatda ham bir xil ishlaydi. Agar determinantlarni bilish Kramer va matritsa usullarida zarur bo'lsa, Gauss usulini qo'llash uchun faqat arifmetik amallarni bilish talab qilinadi, bu esa hatto boshlang'ich sinf o'quvchilari uchun ham mavjud bo'ladi.
Kengaytirilgan matritsa konvertatsiyalari ( bu tizim matritsasi - faqat noma'lumlarning koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsa, bundan tashqari erkin atamalar ustuni) Gauss usulida chiziqli algebraik tenglamalar tizimi:
1) bilan torlar matritsalar mumkin qayta tartibga solish joylar.
2) agar matritsada proportsional (yoki alohida holatda) qatorlar bo'lsa, u holda o'chirish matritsadan bittadan tashqari barcha bu qatorlar.
3) agar transformatsiyalar paytida matritsada nol qator paydo bo'lsa, u ham shunday bo'ladi o'chirish.
4) matritsaning qatori bo'lishi mumkin ko'paytirish (bo'lish) noldan boshqa har qanday raqamga.
5) matritsaning qatori bo'lishi mumkin raqamga ko'paytirilgan boshqa qatorni qo'shing nolga teng emas.
Gauss usulida elementar transformatsiyalar tenglamalar tizimining echimini o'zgartirmaydi.
Gauss usuli ikki bosqichdan iborat:
- "To'g'ridan -to'g'ri harakat" - elementar transformatsiyalar yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasini "uchburchak" pog'onali shaklga keltiring: asosiy diagonal ostida joylashgan kengaytirilgan matritsaning elementlari nolga teng ("top- pastga” harakatlantiring). Masalan, ushbu shaklga:
Buning uchun biz quyidagi amallarni bajaramiz:
1) Faraz qilaylik, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasini ko'rib chiqaylik va x 1 da koeffitsient K. Ikkinchi, uchinchi va hokazo. tenglamalar quyidagicha o'zgartiriladi: har bir tenglama (noma'lumlar uchun koeffitsientlar, shu jumladan erkin atamalar) har bir tenglamada turgan noma'lum x 1 koeffitsientiga bo'linadi va K ga ko'paytiriladi, shundan so'ng biz ikkinchi tenglamadan birinchisini chiqaramiz. (noma'lumlar va erkin shartlar uchun koeffitsientlar). Ikkinchi tenglamada x 1 uchun 0 koeffitsientini olamiz.Uchinchi o'zgartirilgan tenglamadan birinchi tenglamani ayirib tashlang, birinchisidan tashqari barcha tenglamalar, noma'lum x 1 uchun koeffitsient 0 bo'lsin.
2) Keyingi tenglamaga o'ting. Bu ikkinchi tenglama bo'lsin va x 2 koeffitsienti M ga teng. Barcha "pastki" tenglamalar bilan biz yuqorida ta'riflanganidek harakat qilamiz. Shunday qilib, barcha tenglamalarda noma'lum x 2 "ostida" nolga teng bo'ladi.
3) Keyingi tenglamaga o'ting va shunga o'xshash oxirgi noma'lum va o'zgartirilgan erkin atama qolguncha davom eting.
- Gauss usulining "teskari yo'nalishi" - chiziqli algebraik tenglamalar tizimining echimini olish ("pastdan yuqoriga" siljish). Oxirgi "pastki" tenglamadan biz bitta birinchi yechimni olamiz - noma'lum x n. Buning uchun A * x n = B elementar tenglamani yechamiz. Yuqorida keltirilgan misolda x 3 = 4. Topilgan qiymatni keyingi “yuqori” tenglamaga almashtiring va uni keyingi noma’lumga nisbatan yeching. Masalan, x 2 - 4 = 1, ya'ni. x 2 = 5. Shunday qilib, biz hamma noma'lumlarni topgunimizcha.
Misol.
Ba'zi mualliflar maslahat berganidek, chiziqli tenglamalar tizimini Gauss usuli bilan yechamiz:
Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni bosqichma -bosqich shaklga keltiramiz:
Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. U erda bizda birlik bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda hech kim yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsani hal qilmaydi. Bunday hollarda birlikni elementar transformatsiya yordamida tashkil qilish kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Keling buni qilamiz:
1 -qadam
... Birinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni –1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shdik, ikkinchi qator o'zgarmadi.
Endi chap tomonda "minus bir", bu bizga juda mos keladi. +1 olishni istagan har bir kishi qo'shimcha harakatni bajarishi mumkin: birinchi qatorni –1 ga ko'paytiring (belgisini o'zgartiring).
2-qadam ... Birinchi qator 5 ga ko'paytirildi, ikkinchi qatorga 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi.
3-qadam ... Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, asosan bu go'zallik uchun. Biz, shuningdek, uchinchi qatorning belgisini o'zgartirib, ikkinchi o'ringa ko'chirdik, shuning uchun ikkinchi "qadamda bizda kerakli birlik bor.
4-qadam ... Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shilib, 2 ga ko'paytiriladi.
5-qadam ... Uchinchi qator 3 ga bo'lingan.
Hisob -kitoblarda xatolikni ko'rsatuvchi belgi (kamdan -kam hollarda - xato) - "yomon" pastki chiziq. Ya'ni, agar biz pastki qismida (0 0 11 | 23) va shunga mos ravishda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 kabi biror narsaga ega bo'lsak, unda yuqori ehtimollik bilan xatolik yuz bergan deb da'vo qilish mumkin. elementar transformatsiyalar paytida qilingan.
Biz teskari harakatni amalga oshiramiz, misollarni loyihalashda ular ko'pincha tizimning o'zini qayta yozmaydilar, lekin tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Eslatib o'taman, teskari harakat "pastdan yuqoriga" ishlaydi. Ushbu misolda biz sovg'a oldik:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, shuning uchun x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 = –1
Javob: x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Keling, xuddi shu tizimni taklif qilingan algoritmga muvofiq hal qilaylik. olamiz
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Ikkinchi tenglamani 5 ga, uchinchisini 3 ga bo'ling. Biz olamiz:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 4 ga ko'paytirib, biz quyidagilarni olamiz:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Ikkinchi va uchinchi tenglamalardan birinchi tenglamani chiqarib, bizda:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Uchinchi tenglamani 0,64 ga bo'ling:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Uchinchi tenglamani 0,4 ga ko'paytiring
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Uchinchi tenglamadan ikkinchisini chiqarib, biz "bosqichma -bosqich" kengaytirilgan matritsani olamiz:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Shunday qilib, hisob -kitoblar paytida xato to'planganligi sababli, biz x 3 = 0,96 yoki taxminan 1 ni olamiz.
x 2 = 3 va x 1 = –1.
Shu tarzda yechish, siz hech qachon hisob-kitoblarda adashmaysiz va hisoblash xatolariga qaramay, natijaga erishasiz.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning bu usuli oson dasturlashtiriladi va noma'lumlar uchun koeffitsientlarning o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olmaydi, chunki amalda (iqtisodiy va texnik hisob-kitoblarda) butun sonli bo'lmagan koeffitsientlar bilan shug'ullanish kerak.
Omad tilayman! Sinfda ko'rishguncha! O'qituvchi Dmitriy Aistraxanov.
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.
Bugun biz chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun Gauss usuli bilan shug'ullanamiz. Xuddi shu SLAElarni Cramer usuli bilan hal qilishga bag'ishlangan oldingi maqolada, ular qanday tizimlar haqida o'qishingiz mumkin. Gauss usuli hech qanday aniq bilimni talab qilmaydi, faqat diqqat va izchillik kerak. Matematika nuqtai nazaridan maktabga tayyorgarlik uni qo'llash uchun etarli bo'lishiga qaramay, bu usulni o'zlashtirgan o'quvchilar uchun ko'pincha qiyinchiliklar tug'diradi. Ushbu maqolada biz ularni bekor qilishga harakat qilamiz!
Gauss usuli
M Gauss usuli- SLAElarni hal qilishning eng ko'p qirrali usuli (juda katta tizimlardan tashqari). Yuqorida muhokama qilinganidan farqli o'laroq, u faqat bitta yechimga ega bo'lgan tizimlar uchun emas, balki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan tizimlar uchun ham mos keladi. Bu erda uchta imkoniyat mavjud.
- Tizim yagona yechimga ega (tizimning asosiy matritsasi determinanti nolga teng emas);
- Tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud;
- Hech qanday yechim yo'q, tizim mos kelmaydi.
Shunday qilib, bizda tizim mavjud (uning bitta yechimi bo'lsin) va biz uni Gauss usuli yordamida hal qilamiz. U qanday ishlaydi?
Gauss usuli ikki bosqichdan iborat - oldinga va orqaga.
Gauss uslubining oldinga siljishi
Birinchidan, biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz. Buning uchun asosiy matritsaga bo'sh a'zolar ustunini qo'shing.
Gauss usulining butun mohiyati elementar transformatsiyalar yordamida berilgan matritsani bosqichli (yoki ular aytganidek, uchburchak) shaklga keltirishdir. Ushbu shaklda matritsaning asosiy diagonali ostida (yoki yuqorida) faqat nol bo'lishi kerak.
Siz nima qila olasiz:
- Siz matritsaning qatorlarini joylarga o'zgartirishingiz mumkin;
- Agar matritsada bir xil (yoki proportsional) qatorlar bo'lsa, ulardan bittasidan tashqari hammasini o'chirishingiz mumkin;
- Siz satrni istalgan raqamga ko'paytirishingiz yoki bo'lishingiz mumkin (noldan tashqari);
- Nolinchi chiziqlar olib tashlanadi;
- Siz mag'lubiyatga nol bo'lmagan songa ko'paytirilgan qatorni qo'shishingiz mumkin.
Gauss usulini teskari o'zgartiring
Tizimni shu tarzda o'zgartirganimizdan so'ng, bitta noma'lum Xn ma'lum bo'ladi va siz barcha qolgan noma'lumlarni teskari tartibda topishingiz mumkin, bu tizim tenglamalarida allaqachon ma'lum bo'lgan xes o'rniga birinchisiga qadar.
Internet har doim yonida bo'lsa, siz tenglamalar tizimini Gauss usuli yordamida hal qilishingiz mumkin onlayn. Siz shunchaki koeffitsientlarni onlayn kalkulyatorga kiritishingiz kerak. Ammo tan olish kerakki, bu misolni kompyuter dasturi emas, balki o'z miyangiz hal qilganini anglash yanada yoqimli.
Tenglamalar tizimini Gauss usuli bilan echishga misol
Va endi - misol, shuning uchun hamma narsa aniq va tushunarli bo'ladi. Chiziqli tenglamalar tizimi berilsin va siz uni Gauss usuli bilan echishingiz kerak:
Birinchidan, kengaytirilgan matritsani yozamiz:
Endi transformatsiyalarni amalga oshiraylik. Matrisani uchburchak ko'rinishga erishishimiz kerakligini unutmang. Birinchi qatorni (3) ko'paytiring. Ikkinchi qatorni (-1) ga ko'paytiring. 2-qatorni 1-ga qo'shing va quyidagilarni oling:
Keyin 3-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 3 -qatorni 2 -chi qatorga qo'shamiz:
Birinchi qatorni (6) ko'paytiring. 2-qatorni (13) ga ko'paytiring. Birinchi qatorga 2 -qatorni qo'shamiz:
Voila - tizim tegishli shaklga keltirildi. Noma'lum narsalarni topish qoladi:
Bu misoldagi tizim bitta yechimga ega. Biz cheksiz ko'p echimlarga ega tizimlarning echimini alohida maqolada ko'rib chiqamiz. Ehtimol, dastlab siz matritsani aylantirishni qaerdan boshlashni bilmay qolasiz, lekin tegishli amaliyotdan so'ng siz qo'lingizni ushlab, yong'oq kabi Gauss usuli yordamida SLAE ni bosasiz. Va agar siz to'satdan juda qattiq bo'lib chiqadigan SLAEga duch kelsangiz, bizning mualliflarimizga murojaat qiling! sirtqi kursda ariza qoldirib yuborishingiz mumkin. Birgalikda biz har qanday muammoni hal qilamiz!
Eng buyuk matematik Karl Fridrix Gauss uzoq vaqt ikkilanib, falsafa va matematikani tanladi. Balki aynan shunday tafakkur unga jahon fanida sezilarli darajada "merosxo'rlik" qilishga imkon bergan. Xususan, "Gauss usuli" ni yaratish orqali ...
Deyarli 4 yil davomida ushbu saytdagi maqolalar maktab ta'limiga bag'ishlangan, asosan falsafa, (noto'g'ri) tushunish tamoyillari, bolalar ongiga kiritilgan. Batafsil aniqlik, misol va usullar uchun vaqt keladi ... Menimcha, bu tanish, chalkash va muhim hayot sohalari eng yaxshi natijalarni beradi.
Biz odamlar shunchalik tartiblanganmizki, siz qancha gapirmasangiz ham mavhum fikrlash, lekin tushunish har doim misollar orqali o'tadi... Agar misollar bo'lmasa, tamoyillarni tushunish imkonsizdir ... Xuddi tog 'cho'qqisida bo'lish mumkin emas, aks holda uning etagini etagidan o'tkazib bo'lmaydi.
Shuningdek, maktab bilan: xayr tirik hikoyalar etarli emas, biz instinktiv ravishda bolalarni tushunishga o'rgatilgan joy deb o'ylashni davom ettiramiz.
Masalan, Gauss usulini o'rgatish ...
5 -sinf maktabida Gauss usuli
Men darhol buyurtma beraman: Gauss usuli ancha kengroq, masalan, masalani hal qilishda chiziqli tenglamalar tizimlari... Biz gaplashadigan narsa 5-sinfda sodir bo'ladi. u boshlash Qaysi birini tushungan holda, yanada "ilg'or variantlarni" tushunish osonroq. Ushbu maqolada biz gaplashamiz usul (usul) Gauss qator yig'indisini topishda
Mana, Moskva gimnaziyasining 5 -sinfida o'qiyotgan kenja o'g'lim maktabdan misol keltirdi.
Gauss usulini maktabda namoyish qilish
Matematika o'qituvchisi interaktiv doskadan (zamonaviy o'qitish usullari) foydalanib, bolalarga kichkina Gaussning "usul yaratish" tarixi haqida taqdimot ko'rsatdi.
Maktab o'qituvchisi kichkina Karlni qamchilatdi (eskirgan usul, hozir maktablarda qo'llanilmaydi), chunki u
yig'indisini topish uchun ketma -ket 1 dan 100 gacha bo'lgan raqamlarni qo'shish o'rniga payqadi arifmetik progressiyaning chetidan teng masofada joylashgan juft sonlar bir xil songa qo'shiladi. masalan, 100 va 1, 99 va 2. Bunday juftlar sonini sanab, kichkina Gauss o'qituvchi taklif qilgan masalani deyarli bir zumda hal qildi. Buning uchun u hayratga solgan tomoshabinlar oldida qatl qilindi. Shunday qilib, qolganlar o'ylashga tushkunlikka tushishdi.
Kichkina Gauss nima qildi ishlab chiqilgan raqam hissi? E'tibor bergan ba'zi bir xususiyat doimiy qadamli sonlar qatori (arifmetik progressiya). VA aynan shu keyinchalik uni buyuk olim qildi. payqashga qodir ega sezgi, tushunish instinkti.
Bu rivojlanayotgan matematikaning qiymati ko'rish qobiliyati xususan umumiy - mavhum fikrlash... Shuning uchun, ko'pchilik ota-onalar va ish beruvchilar beixtiyor matematikani muhim fan sifatida qarang ...
"Matematika faqat shu tarzda o'qitiladi, u aqlni tartibga soladi.
MV Lomonosov ".
Biroq, kelajakdagi daholarni tayoq bilan kaltaklaganlarning izdoshlari Usulni teskari narsaga aylantirdilar. Ilmiy maslahatchim 35 yil oldin aytganidek: "Biz savolni bilib oldik". Yoki kecha kenja o'g'lim Gauss usuli haqida aytganidek: "Balki bundan buyuk fanni o'rganishga arzimaydi, to'g'rimi?"
"Olimlar" ijodining oqibatlari hozirgi maktab matematikasi darajasida, ko'pchilik tomonidan "fan malikasi" ni o'qitish va tushunish darajasida ko'rinadi.
Biroq, keling, davom etaylik ...
5 -sinf maktabida Gauss usulini tushuntirish usullari
Moskva gimnaziyasining matematika o'qituvchisi Vilenkin bo'yicha Gauss usulini tushuntirib, vazifani murakkablashtirdi.
Agar arifmetik progressiyaning farqi (bosqichi) bitta emas, boshqa raqam bo'lsa -chi? Masalan, 20.
U beshinchi sinf o'quvchilariga bergan vazifasi:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Gimnaziya usuli bilan tanishishdan oldin, Internetni ko'rib chiqaylik: maktab o'qituvchilari - matematika o'qituvchilari buni qanday qilishadi? ..
Gauss usuli: tushuntirish №1
Taniqli o'qituvchi o'zining YOUTUBE kanalida quyidagi fikrlarni aytadi:
"1 dan 100 gacha bo'lgan raqamlarni quyidagicha yozing:
birinchi navbatda 1 dan 50 gacha bo'lgan raqamlar qatori va uning ostida 50 dan 100 gacha bo'lgan boshqa qatorlar qatori, lekin teskari tartibda "
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Iltimos, diqqat qiling: yuqori va pastki qatorlardagi har bir juft sonning yig'indisi bir xil va 101 ga teng! Keling, juftlik sonini hisoblaymiz, u 50 va bir juftlik yig'indisini juftlar soniga ko'paytiramiz! Voila: The javob tayyor! "
"Agar tushuna olmasangiz, xafa bo'lmang!", - tushuntirish jarayonida o'qituvchi uch marta takrorladi. "Siz bu usulni 9 -sinfda topshirasiz!"
Gauss usuli: tushuntirish № 2
Boshqa o'qituvchi, unchalik taniqli bo'lmagan (qarashlar soniga qarab), ilmiy nuqtai nazardan yondashadi va ketma-ket to'ldirilishi kerak bo'lgan 5-bandli algoritmni taklif qiladi.
Boshlanmaganlar uchun: 5 - an'anaviy ravishda sehrli deb hisoblangan Fibonachchi raqamlaridan biri. 5 bosqichli usul har doim 6 bosqichli usulga qaraganda ilmiyroqdir. ... Va bu tasodif emas, ehtimol, muallif Fibonachchi nazariyasining yashirin tarafdori.
Arifmetik progressiya berilgan: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Gauss usuli yordamida ketma -ket sonlar yig'indisini topish algoritmi:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Bunday holda, siz bu haqda eslashingiz kerak ortiqcha bitta qoida : olingan qismga bittasini qo'shish kerak: aks holda biz haqiqiy juft sonidan bittaga kam natijani olamiz: 42 + 1 = 43.
Bu 6 dan farqli 4 dan 256 gacha bo'lgan arifmetik progressiyaning kerakli yig'indisi!
Gauss usuli: Moskva gimnaziyasining 5 -sinfida tushuntirish
Va ketma-ket yig'indini topish masalasini qanday hal qilish kerak edi:
20+40+60+ ... +460+480+500
Moskva gimnaziyasining 5-sinfida Vilenkinning darsligi (o'g'limning so'zlaridan).
Taqdimotni ko'rsatgandan so'ng, matematika o'qituvchisi Gauss usulidan foydalangan holda bir nechta misollar ko'rsatdi va sinfga 20 ga teng bo'lgan ketma-ket raqamlarning yig'indisini topish masalasini berdi.
Bu quyidagilarni talab qildi:
Ko'rib turganingizdek, bu yanada ixcham va samarali texnikadir: 3 raqami ham Fibonachchi ketma -ketligiga kiradi.
Gauss usulining maktab versiyasiga sharhlarim
Buyuk matematik, agar uning "uslubi" izdoshlari nimaga aylanishini oldindan bilganida, albatta falsafani tanlagan bo'lardi. Nemis tili o'qituvchisi, kim Karlni tayoqlar bilan qamchilagan. U simvolizmni ham, dialektik spiralni ham, "o'qituvchilar" ning abadiy ahmoqligini ham ko'rgan bo'lardi. algebra bilan o'lchashga harakat qilib, tirik matematik fikr uyg'unligini noto'g'ri tushunadi ....
Aytgancha: bilasizmi. ta'lim tizimimiz 18-19-asrlardagi nemis maktabiga asoslanganmi?
Ammo Gauss matematikani tanladi.
Uning usulining mohiyati nimada?
V soddalashtirish... V kuzatish va tushunish oddiy raqamlar naqshlari. V quruq maktab arifmetikasini aylantirish qiziqarli va hayajonli faoliyat , bu esa yuqori xarajatli aqliy faoliyatni blokirovka qilishdan ko'ra, miyada davom etish istagini faollashtiradi.
Yuqoridagi "Gauss usulini o'zgartirish" laridan biri yordamida deyarli arifmetik progressiya sonlarining yig'indisini hisoblash mumkinmi? bir zumda? "Algoritmlarga" ko'ra, kichkina Karl kaltaklashdan qochishga kafolatlangan, matematikaga nisbatan nafratni kuchaytirgan va o'zining ijodiy impulslarini ildizida bostirgan.
Nega o'qituvchi beshinchi sinf o'quvchilariga 9-sinfda "bunday" muammolarni hal qilishlariga ishontirib, "noto'g'ri tushunishdan qo'rqmaslikni" qat'iy maslahat berdi? Psixologik savodsiz harakat. Belgilash uchun yaxshi qabul bo'ldi: "Ko'rishguncha allaqachon 5 -sinfda mumkin faqat 4 yildan keyin boshingizdan kechiradigan muammolarni hal qiling! Siz qanday yaxshi do'stlarsiz! "
Gauss usulini ishlatish uchun 3 -darajali sinf etarli, qachon oddiy bolalar 2-3 xonali sonlarni qo'shish, ko'paytirish va bo'lishni bilishadi. Muammolar "kirmaydigan" kattalar o'qituvchilarining oddiy narsalarni oddiy matematik tilda emas, oddiy odam tilida qanday tushuntirishlari, matematikaga qiziqa olmaydigan va hatto tushkunlikka tusha olmaydiganlar tufayli paydo bo'ladi. ular "qobiliyatli".
Yoki, o'g'lim izohlaganidek, "bundan buyuk ilm yaratish".
Gauss usuli, mening tushuntirishlarim
Xotinim bilan men bu "usul" ni bolamizga tushuntirdik, shekilli, maktabdan oldin ham ...
Murakkablik o'rniga oddiylik yoki savollar o'yini - javoblar
"Qarang, mana bu raqamlar 1 dan 100 gacha. Siz nimani ko'ryapsiz?"
Bu bola nimani ko'rishi haqida emas. Ayyorlik unga qarashdir.
"Qanday qilib ularni katlay olasiz?" O'g'li bunday savollar "xuddi shunday" berilmasligini va siz savolga "qandaydir boshqacha, odatdagidan boshqacha" qarash kerakligini tushundi.
Bolaning yechimini darhol ko'rishi muhim emas, bu dargumon. U muhim qarashdan qo'rqishni to'xtatdi yoki men aytganidek: "vazifani o'zgartirdi"... Bu tushunish yo'lining boshlanishi
"Qaysi biri osonroq: masalan, 5 va 6 yoki 5 va 95 ni qo'shish?" Etakchi savol ... Lekin, oxir -oqibat, har qanday mashg'ulot odamni "javob" ga "yo'naltirish" ga to'g'ri keladi - har qanday tarzda unga ma'qul.
Ushbu bosqichda hisob-kitoblarni qanday qilib "tejash" haqida taxminlar paydo bo'lishi mumkin.
Biz faqat maslahat berdik: hisoblashning "boshqa, chiziqli" usuli yagona mumkin emas. Agar bola buni kesib tashlagan bo'lsa, keyinchalik u yana shunday usullarni kashf qiladi. qiziq!!! Va u, albatta, matematikani "noto'g'ri tushunish" dan qochadi, bundan jirkanmaydi. U g'alaba qozondi!
Agar bola topildi shuni anglatadiki, jami yuzga teng bo'lgan juft sonlarning qo'shilishi juda oddiy mashqdir "1 farqli arifmetik progressiya"- bola uchun juda qayg'uli va qiziq bo'lmagan narsa - to'satdan unga hayot topdi . Tartib tartibsizlikdan paydo bo'ldi va bu har doim ishtiyoqni uyg'otadi: biz shundaymiz!
Noqulay savol: nima uchun bola tushuncha olganidan so'ng, uni yana quruq algoritmlar doirasiga o'tkazadi, bundan tashqari, bu holda funktsional jihatdan foydasiz?!
Nima uchun ahmoqona qayta yozish kerak daftarda ketma -ket raqamlar: shunday qilib, hatto qobiliyatli odamlarda ham tushunish uchun yagona imkoniyat yo'qmi? Albatta, statistik ma'lumotlarga ko'ra, lekin ommaviy ta'lim "statistika" ga qaratilgan ...
Nol qaerga ketdi?
Va shunga qaramay, 100 ga qadar qo'shilgan raqamlarni qo'shish 101 ni berishdan ko'ra aqlga ko'proq ma'qul keladi ...
"Maktab Gauss usuli" aynan shuni talab qiladi: o'ylamasdan buking progressiya markazidan teng masofada joylashgan juft sonlar, nima bo'lganda ham.
Va agar qarasangiz?
Zero, nol - insoniyatning eng katta ixtirosi, uning yoshi 2000 yildan oshadi. Matematika o'qituvchilari esa unga e'tibor bermaslikda davom etadilar.
1 dan boshlangan raqamlar qatorini 0 dan boshlanadigan qatorga aylantirish ancha oson. Yig'indi o'zgarmaydi, shunday emasmi? Siz "darsliklar bilan o'ylashni" to'xtatib, qidirishni boshlashingiz kerak ... Va yig'indisi 101 bo'lgan juftlarni 100 yig'indisiga almashtirish mumkinligini ko'rish uchun!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Plyus 1 qoidasini qanday olib tashlash mumkin?
Rostini aytsam, men bunday qoida haqida birinchi marta YouTube o'qituvchisidan eshitganman ...
Qator a'zolarining sonini aniqlash zarur bo'lganda nima qilishim kerak?
Men ketma-ketlikka qarayman:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
va butunlay charchaganingizda, oddiyroq qatorga:
1, 2, 3, 4, 5
va men taxmin qilaman: agar siz 5 dan bittasini ayirsangiz, 4 bo'ladi, lekin men juda aniqman qarang 5 raqam! Shuning uchun, siz uni qo'shishingiz kerak! Boshlang'ich maktabda rivojlangan sonlar tuyg'usi shuni ko'rsatadiki: qator a'zolari soni butun Google bo'lsa ham (10 dan yuzinchi kuchgacha), naqsh o'zgarmaydi.
Qoidalar qanday? ..
Bir-ikki yoki uch yil ichida peshona va boshning orqa qismi orasidagi butun bo'shliqni to'ldirish va o'ylashni to'xtatish uchunmi? Va qanday qilib non va sariyog 'topish mumkin? Axir biz raqamli iqtisodiyot davriga bir qatorda o'tmoqdamiz!
Gaussning maktab usuli haqida ko'proq: "nega bundan ilm-fan yaratish kerak? .."
O'g'limning daftaridan skrinshotni joylashtirishim bejiz emas edi ...
- Darsda nima bor edi?
"Xo'sh, men darhol hisobladim, qo'limni ko'tardim, lekin u so'ramadi. Shuning uchun boshqalar hisoblayotganda, men vaqtni boy bermaslik uchun rus tilida DZ qila boshladim, keyin boshqalar yozishni tugatgandan so'ng (? ??), u meni doskaga chaqirdi. Men javobni aytdim.
– To‘g‘ri, buni qanday hal qilganingizni ko‘rsating, – dedi domla. Men ko'rsatdim. U: "Noto'g'ri, men ko'rsatganimdek hisoblashingiz kerak!"
"Ikki qo'ymaganim yaxshi. Va men ularni daftarga "yechim yo'li"ni ularning tilida yozishga majbur qildim. Nega bundan katta fan qilish kerak? .."
Matematika o'qituvchisining asosiy jinoyati
Birozdan keyin u holda Karl Gauss maktab matematika o'qituvchisiga nisbatan yuksak hurmat tuyg'usiga ega edi. Ammo u qanday qilib bilsa edi o'sha o'qituvchining izdoshlari usulning mohiyatini buzadi... u g'azab bilan bo'kirgan bo'lardi va Butunjahon intellektual mulk tashkiloti orqali WIPO uning yaxshi nomini maktab darsliklarida ishlatishni taqiqlab qo'ydi! ..
Nimada maktab yondashuvining asosiy xatosi? Yoki men aytganimdek, maktab matematika o'qituvchilarining bolalarga qarshi jinoyati?
Tushunmaslik algoritmi
Ko'pchilik fikrlashni bilmaydigan maktab metodistlari nima qilishadi?
Usullar va algoritmlar yaratilgan (qarang). u o'qituvchilarni tanqiddan himoya qiladigan mudofaa reaktsiyasi ("Hamma narsa ... ga muvofiq amalga oshiriladi") va bolalarni tushunishdan. Shunday qilib - o'qituvchilarni tanqid qilish istagidan!(Byurokratik "donolikning ikkinchi hosilasi", muammoga ilmiy yondashuv). Ma'noni tushunmagan odam maktab tizimining ahmoqligini emas, balki o'zining tushunmovchiligini ayblaydi.
Bu aynan shunday bo'ladi: ota -onalar o'z farzandlarini ayblashadi, o'qituvchilar esa "matematikani tushunmaydigan bolalar bilan ham xuddi shunday!"
Siz jur'at etasizmi?
Kichkina Karl nima qildi?
Shablon vazifasiga mutlaqo noan'anaviy yondashdi... Bu Uning yondashuvining mohiyatidir. u maktabda o'rgatish kerak bo'lgan asosiy narsa: darsliklar bilan emas, balki boshingiz bilan o'ylang... Albatta, qidiruvda juda yaxshi ishlatilishi mumkin bo'lgan instrumental komponent ham mavjud oddiyroq va samaraliroq hisoblash usullari.
Gauss usuli Vilenkin
Maktab Gauss usuli shunday ekanligini o'rgatadi
nima, agar ketma -ket elementlar soni g'alati bo'lib chiqsa, muammoda bo'lgani kabi, siz ham o'g'lingizdan so'raganmisiz? ..
"Tutish" bu holatda qatorning "qo'shimcha" raqamini topishingiz kerak va uni juftlarning yig'indisiga qo'shing. Bizning misolimizda bu raqam 260 ga teng.
Qanday aniqlash mumkin? Daftarga barcha juft raqamlarni qayta yozish!(Shu sababli o'qituvchi bolalarni Gauss usuli bilan "ijodkorlikni" o'rgatishga urinib, bolalarni bu ahmoqona ishni qilishga majburlagan ... Va shuning uchun bunday "usul" katta ma'lumotlar seriyasida amalda qo'llanilmaydi va shuning uchun ham Gauss usuli emas).
Maktab tartibida ozgina ijodkorlik ...
O'g'il boshqacha harakat qildi.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Qiyin emas, to'g'rimi?
Va amalda bu yanada osonroq, bu sizga rus tilida DZ-da 2-3 daqiqani o'yib chiqarishga imkon beradi, qolganlari esa "hisoblanadi". Bundan tashqari, u metodologiyaning qadamlar sonini saqlab qoladi: 5, bu yondashuvni ilmiy bo'lmagan deb tanqid qilishga imkon bermaydi.
Shubhasiz, bu yondashuv Metod uslubida sodda, tezroq va universalroqdir. Lekin ... o'qituvchi nafaqat maqtadi, balki meni "to'g'ri yo'l" bilan qayta yozishga majbur qildi (skrinshotga qarang). Ya'ni, u ijodiy impulsni va matematikani ildizida tushunish qobiliyatini bo'g'ish uchun umidsiz harakat qildi! Ko'rinishidan, keyin repetitor sifatida yollash uchun ... U noto'g'ri odamga hujum qildi ...
Men uzoq va zerikarli ta'riflagan hamma narsani oddiy bolaga maksimal yarim soat ichida tushuntirish mumkin. Misollar bilan birga.
Va shuning uchun u buni hech qachon unutmaydi.
Va shunday bo'ladi tushunishga qadam... faqat matematika emas.
Tan oling: hayotingizda necha marta Gauss usulini qo'shgansiz? Va men hech qachon!
Lekin tushunish instinkti, maktabda matematik usullarni o'rganish jarayonida rivojlanadigan (yoki o'chadigan) ... Oh! .. Bu haqiqatan ham almashtirib bo'lmaydigan narsa!
Ayniqsa, partiya va hukumatning qat'iy rahbarligi ostida biz sezilmas tarzda kirib kelgan universal raqamlashtirish asrida.
O'qituvchilarni himoya qilish uchun bir necha so'z ...
Bunday ta'lim uslubi uchun to'liq javobgarlikni faqat maktab o'qituvchilariga yuklash adolatsiz va noto'g'ri. Tizim ishlaydi.
Biroz o'qituvchilar nima sodir bo'layotganining bema'niligini tushunishadi, lekin nima qilish kerak? Ta'lim to'g'risidagi qonun, federal davlat ta'lim standartlari, metodologiyalar, darslarning texnologik xaritalari ... Hamma narsa "mos va asosda" amalga oshirilishi kerak va hamma narsa hujjatlashtirilishi kerak. Yon tomonga bir qadam - ishdan bo'shatish uchun navbatga turdi. Ikkiyuzlamachilik qilmaylik: Moskva o'qituvchilarining maoshi juda yaxshi ... Ular otishadi - qaerga borish kerak? ..
Shuning uchun, bu sayt ta'lim haqida emas... U haqida individual ta'lim, olomondan chiqishning yagona mumkin bo'lgan yo'li avlod Z ...
Biz chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqishda davom etamiz. Ushbu dars mavzu bo'yicha uchinchi darsdir. Agar sizda chiziqli tenglamalar tizimi umuman nima ekanligi haqida noaniq tasavvurga ega bo'lsangiz, o'zingizni choynak kabi his qilyapsiz, men sahifadagi asoslardan boshlashni maslahat beraman Keyinchalik darsni o'rganish foydalidir.
Gauss usuli oson! Nega? Mashhur nemis matematigi Yoxann Karl Fridrix Gauss hayoti davomida barcha zamonlarning eng buyuk matematikasi, dahosi va hatto "matematika qiroli" laqabi sifatida tan olingan. Va aqlli hamma narsa, siz bilganingizdek, oddiy! Aytgancha, nafaqat so'rg'ichlar, balki daholar ham pul evaziga pul to'laydilar - Gauss portreti Deutschmark 10 banknotasida (evro muomalaga kirgunga qadar) bo'lgan va Gauss hamon oddiy pochta markalaridan nemislarga sirli tabassum qilmoqda.
Gauss usuli oddiy, chunki 5-sinf o'quvchisining bilimlari uni o'zlashtirish uchun BARCHA. Siz qo'shish va ko'paytirish qobiliyatiga ega bo'lishingiz kerak! O'qituvchilar maktab matematika fani bo'yicha noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usulini ko'pincha ko'rib chiqishlari bejiz emas. Paradoksal ravishda, Gauss usuli talabalar uchun eng qiyin. Buning ajablanarli joyi yo'q - hamma narsa metodologiyada, men sizga usulning algoritmi haqida tushunarli shaklda aytib berishga harakat qilaman.
Birinchidan, chiziqli tenglamalar tizimlari haqidagi bilimlarni tizimlashtiramiz. Chiziqli tenglamalar tizimi quyidagilarni bajarishi mumkin:
1) Noyob yechimga ega bo'ling. 2) cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling. 3) Hech qanday echim yo'q (bo'lishi mos kelmaydigan).
Gauss usuli - bu yechim topishning eng kuchli va ko'p qirrali vositasi har qanday chiziqli tenglamalar tizimi. Biz eslaganimizdek Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki mos kelmaydigan holatlarda yaroqsiz. Va noma'lumlarni ketma -ket yo'q qilish usuli nima bo'lganda ham bizni javobga olib boradi! Ushbu darsda biz yana 1-holat uchun Gauss usulini ko'rib chiqamiz (tizimning yagona echimi), 2-3-bandlar uchun maqola ajratilgan. E'tibor bering, usulning algoritmi hamma uch holatda bir xil ishlaydi.
Keling, darsdan eng oddiy tizimga qaytaylik Chiziqli tenglamalar tizimini qanday hal qilish mumkin? va uni Gauss usuli bilan hal qiling.
Birinchi bosqichda siz yozishingiz kerak kengaytirilgan tizim matritsasi:. Koeffitsientlar qanday printsip asosida yozilgan, menimcha, hamma ko'radi. Matritsa ichidagi vertikal chiziq hech qanday matematik ma'noga ega emas - bu dizayn qulayligi uchun shunchaki pastki chiziq.
ma'lumotnoma : eslab qolishni tavsiya qilaman shartlari chiziqli algebra. Tizim matritsasi Matrisa faqat noma'lum koeffitsientlardan tuzilganmi, bu misolda tizim matritsasi: . Kengaytirilgan tizim matritsasi - bu tizimning bir xil matritsasi va bo'sh a'zolar ustuni, bu holda: ... Har qanday matritsani qisqalik uchun oddiy matritsa deb atash mumkin.
Tizimning kengaytirilgan matritsasi yozilgandan so'ng, u bilan ba'zi harakatlar bajarilishi kerak, ular ham deyiladi elementar transformatsiyalar.
Quyidagi elementar transformatsiyalar mavjud:
1) Iplar matritsalar mumkin qayta tartibga solish joylar. Masalan, ko'rib chiqilayotgan matritsada siz og'riqsiz birinchi va ikkinchi qatorlarni o'zgartirishingiz mumkin: 
2) Agar matritsada proportsional qatorlar bo'lsa (yoki paydo bo'lsa), u holda o'chirish matritsadan bittadan tashqari barcha bu qatorlar. Masalan, matritsani ko'rib chiqing 
... Ushbu matritsada oxirgi uchta qator proportsionaldir, shuning uchun ulardan faqat bittasini qoldirish kifoya: 
.
3) Agar transformatsiyalar paytida matritsada nol qator paydo bo'lgan bo'lsa, u holda ham shunday bo'ladi o'chirish... Men chizmayman, albatta, nol chiziq qaysi chiziqdir bitta nol.
4) matritsaning qatori bo'lishi mumkin ko'paytirish (bo'lish) har qanday raqam bilan, nolga teng... Masalan, matritsani ko'rib chiqing. Bu erda birinchi qatorni -3 ga, ikkinchisini esa 2 ga ko'paytirish tavsiya etiladi: 
... Ushbu harakat juda foydali, chunki u keyingi matritsalarni o'zgartirishni soddalashtiradi.
5) Bu transformatsiya eng qiyin, lekin aslida hech qanday murakkab narsa yo'q. Matritsa qatoriga siz mumkin raqamga ko'paytirilgan boshqa qatorni qo'shing nolga teng emas. Bizning matritsamizni amaliy misoldan ko'rib chiqing:. Birinchidan, men konvertatsiyani batafsil tasvirlab beraman. Birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring: 
, va ikkinchi qatorga –2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing: 
... Endi birinchi qatorni "2" ga "orqaga" bo'lish mumkin. Ko'rib turganingizdek, qo'shadigan chiziq LIE – o'zgarmadi. Har doim qatorni QO'ShIMChA QO'SHIShGA o'zgartiradi UT.
Amalda, albatta, ular bu qadar batafsil tasvirlamaydilar, lekin qisqacha yozadilar: 
Yana bir bor: ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shdi... Ip odatda og'zaki yoki qoralama ko'paytiriladi, hisob-kitoblarning aqliy yo'nalishi esa quyidagicha:
"Men matritsani qayta yozaman va birinchi qatorni qayta yozaman: 
»
"Birinchi ustun birinchi. Pastki qismida men nolni olishim kerak. Shuning uchun men yuqoridagi birlikni –2 :, ga ko'paytiraman va birinchisini ikkinchi qatorga qo'shaman: 2 + (–2) = 0. Men natijani ikkinchi qatorga yozaman: 
»
"Endi ikkinchi ustunga. Yuqorida –1 - 2 ga ko'paytiriladi. Men birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shaman: 1 + 2 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: 
»
"Va uchinchi ustun. Yuqorida -5 ga ko'paytiriladi -2:. Ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: –7 + 10 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: 
»
Iltimos, ushbu misolni diqqat bilan tushunib oling va ketma-ket hisoblash algoritmini tushuning, agar buni tushunsangiz, Gauss usuli amalda "cho'ntagingizda". Lekin, albatta, biz bu transformatsiya ustida ishlaymiz.
Elementar transformatsiyalar tenglamalar tizimining echimini o'zgartirmaydi
! DIQQAT: ko'rib chiqilgan manipulyatsiyalar foydalana olmaydi, agar sizga matrisalar "o'zlari" berilgan vazifa taklif qilinsa. Masalan, "klassik" bilan matritsalar bilan amallar Hech qanday holatda siz matritsalar ichida biror narsani o'zgartirmasligingiz kerak! Keling, tizimimizga qaytaylik. U amalda bo'laklarga bo'linadi.
Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni kamaytiramiz bosqichli ko'rinish:
(1) Ikkinchi qatorga –2 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi. Va yana: nima uchun birinchi qator aynan -2 ga ko'paytiriladi? Pastki qismida nolga erishish uchun, bu ikkinchi qatordagi bitta o'zgaruvchidan xalos bo'lishni anglatadi.
(2) Ikkinchi qatorni 3 ga bo'ling.
Elementar o'zgarishlarning maqsadi
–
matritsani bosqichli shaklga keltiring: 
... Topshiriqni loyihalashda "narvon" oddiy qalam bilan belgilanadi va "qadamlar" da joylashgan raqamlar aylana shaklida yoziladi. "Bosqich turi" atamasi umuman nazariy emas, ilmiy va o'quv adabiyotlarida u tez -tez shunday nomlanadi trapezoidal ko'rinish yoki uchburchak ko'rinish.
Elementar o'zgarishlar natijasida biz qo'lga kiritdik ekvivalent Asl tenglamalar tizimi:
Endi tizimni teskari yo'nalishda "burilishsiz" qilish kerak - pastdan yuqoriga, bu jarayon deyiladi orqaga qaytgan Gauss usuli.
Pastki tenglamada bizda allaqachon tayyor natija bor:.
Tizimning birinchi tenglamasini ko'rib chiqing va unga ma'lum bo'lgan "o'yin" qiymatini o'rnating:
Gauss usuli uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini echishni talab qiladigan eng keng tarqalgan vaziyatni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Tenglamalar tizimini Gauss usuli bilan hal qiling: 
Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz: 
Endi men darhol yechim jarayonida keladigan natijani chiqaraman: 
Va yana, bizning maqsadimiz matritsani elementar transformatsiyalar yordamida bosqichma -bosqich shaklga keltirishdir. Aksiyani qaerdan boshlash kerak?
Birinchidan, biz yuqori chap raqamga qaraymiz: 
Bu deyarli har doim bu erda bo'lishi kerak birlik... Umuman aytganda, -1 yaxshi bo'ladi (va ba'zida boshqa raqamlar), lekin qandaydir tarzda shunday bo'ladiki, odatda u erda birlik joylashadi. Birlikni qanday tashkil qilish kerak? Biz birinchi ustunga qaraymiz - bizda tayyor birlik bor! Birinchi o'zgartirish: birinchi va uchinchi qatorlarni almashtiring: 
Endi birinchi satr yechim oxirigacha o'zgarishsiz qoladi.... Endi yaxshi.
Yuqori chapdagi birlik tashkil etilgan. Endi siz bu joylarda nollarni olishingiz kerak: 
Biz nollarni faqat "qiyin" transformatsiya yordamida olamiz. Birinchidan, biz ikkinchi qator bilan shug'ullanamiz (2, –1, 3, 13). Birinchi pozitsiyada nolga erishish uchun nima qilish kerak? Kerakli ikkinchi qatorga –2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing... Aqliy yoki qoralamada birinchi qatorni –2 ga ko'paytiring: (–2, –4, 2, –18). Va biz doimiy ravishda (yana aqliy yoki qoralama) qo'shimchani amalga oshiramiz, ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing:
Natijani ikkinchi qatorga yozamiz: 
Uchinchi qator bilan ham xuddi shunday ishlaymiz (3, 2, –5, –1). Birinchi pozitsiyada nolni olish uchun sizga kerak uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing... Aqliy yoki qoralamada birinchi qatorni –3 ga ko'paytiring: (–3, –6, 3, –27). VA uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing:
Natijani uchinchi qatorga yozamiz:
Amalda, bu harakatlar odatda og'zaki tarzda amalga oshiriladi va bir bosqichda qayd etiladi: 
Hamma narsani bir vaqtning o'zida hisoblashning hojati yo'q... Hisoblash va natijalarni "yozish" tartibi izchil va odatda shunday: avval biz birinchi qatorni qayta yozamiz va o'zimizni ayyorona puflaymiz - SEQUENTIAL va Diqqat bilan:
Va men yuqorida hisob-kitoblarning aqliy kursini muhokama qildim.
Ushbu misolda buni qilish oson, biz ikkinchi qatorni -5 ga bo'lamiz (chunki barcha raqamlar 5 ga qoldiqsiz bo'linadi). Shu bilan birga, biz uchinchi qatorni -2 ga ajratamiz, chunki sonlar qanchalik kichik bo'lsa, echim ham shunchalik oson bo'ladi:
Elementar o'zgarishlarning yakuniy bosqichida siz bu erda yana bir nolga ega bo'lishingiz kerak: 
Buning uchun uchinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing:
Bu harakatni o'zingiz tahlil qilishga harakat qiling - aqliy ravishda ikkinchi qatorni –2 ga ko'paytiring va qo'shing.
Oxirgi bajarilgan harakat - natijaning soch turmagi, uchinchi qatorni 3 ga bo'ling.
Elementar transformatsiyalar natijasida chiziqli tenglamalarning ekvivalent boshlang'ich tizimi qo'lga kiritildi: 
Salqin.
Endi Gauss uslubining teskarisi kuchga kiradi. Tenglamalar pastdan yuqoriga qarab "ochiladi".
Uchinchi tenglamada bizda allaqachon tayyor natija bor:
Biz ikkinchi tenglamani ko'rib chiqamiz:. "Z" ning ma'nosi allaqachon ma'lum, shuning uchun:
Va nihoyat, birinchi tenglama:. "Ygrek" va "z" ma'lum, masala kichik:
Javob: 
Ko'p marta ta'kidlanganidek, har qanday tenglamalar tizimi uchun topilgan echimni tekshirish mumkin va kerak, xayriyatki, bu oson va tez.
2 -misol
Bu o'z-o'zidan bajariladigan namuna, yakuniy namuna va dars oxirida berilgan javob.
Shuni ta'kidlash kerakki, sizning qaror qabul qilish kursi Mening qarorimga to'g'ri kelmasligi mumkin va bu Gauss usulining xususiyatidir... Lekin javoblar bir xil bo'lishi kerak!
Misol 3
Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echish 
Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. U erda bizda birlik bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda hech kim yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsani hal qilmaydi. Bunday hollarda birlikni elementar transformatsiya yordamida tashkil qilish kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Men buni qildim: (1) Birinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing... Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni –1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shdik, ikkinchi qator o'zgarmadi.
Endi chap tomonda "minus bir", bu bizga juda mos keladi. +1 olishni istagan har bir kishi qo'shimcha tana harakatini amalga oshirishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring).
(2) Ikkinchi qatorga 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi, uchinchi qatorga 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi.
(3) Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, asosan bu go'zallik uchun. Biz, shuningdek, uchinchi qatorning belgisini o'zgartirib, ikkinchi o'ringa ko'chirdik, shuning uchun ikkinchi "qadamda bizda kerakli birlik bor.
(4) Uchinchi qatorga 2 ga ko'paytirilgan ikkinchi qator qo'shildi.
(5) Uchinchi qator 3 ga bo'lingan.
Hisoblashda xatolikni ko'rsatadigan yomon belgi (kamroq - matn terish xatosi) "yomon" pastki chiziqdir. Ya'ni, agar pastki qismida biz shunga o'xshash narsalarni olsak va shunga mos ravishda 
, keyin yuqori ehtimollik bilan elementar transformatsiyalar jarayonida xatolikka yo'l qo'yilganligi haqida bahslashish mumkin.
Biz teskari zarbani zaryad qilamiz, misollarni loyihalashda tizimning o'zi ko'pincha qayta yozilmaydi va tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Eslatib o'taman, teskari harakat pastdan yuqoriga ishlaydi. Ha, bu erda sovg'a chiqdi:
Javob: 
.
Misol 4
Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echish 
Bu mustaqil echimga misol, biroz murakkabroq. Agar kimdir sarosimaga tushib qolsa, yaxshi. Qo'llanma oxirida to'liq echim va namuna dizayni. Sizning yechimingiz mening qarorimdan farq qilishi mumkin.
Oxirgi qismda biz Gauss algoritmining ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Birinchi xususiyat shundaki, ba'zida tizim tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar etishmayapti, masalan: 
Kengaytirilgan tizim matritsasini qanday to'g'ri yozish kerak? Men darsda bu lahza haqida gapirganman. Kramer qoidasi. Matritsa usuli... Tizimning kengaytirilgan matritsasida etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nol qo'yamiz: 
Aytgancha, bu juda oson misol, chunki birinchi ustunda allaqachon bitta nol bor va amalga oshiriladigan elementar o'zgarishlar kamroq.
Ikkinchi xususiyat quyidagicha. Ko'rib chiqilgan barcha misollarda biz "qadamlar" ga -1 yoki +1 qo'ydik. Boshqa raqamlar bo'lishi mumkinmi? Ba'zi hollarda, ular mumkin. Tizimni ko'rib chiqing: 
.
Bu erda yuqori chap "qadam" da bizda ikkitasi bor. Ammo biz birinchi ustundagi barcha raqamlar qoldiqsiz 2 ga bo'linishini, qolgan ikkitasi va oltitasini aniqlaymiz. Va chap yuqori qismdagi ikkilanish bizga mos keladi! Birinchi qadamda siz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak: ikkinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing; uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Bu bizga birinchi ustunda kerakli nollarni beradi.
Yoki boshqa shartli misol: 
... Bu erda ikkinchi "qadam" dagi uchtasi ham bizga mos keladi, chunki 12 (nol olishimiz kerak bo'lgan joy) 3 ga qoldiqsiz bo'linadi. Quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish kerak: uchinchi qatorga -4 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing, natijada bizga kerak bo'lgan nol olinadi.
Gauss usuli universaldir, lekin bitta o'ziga xoslik mavjud. Tizimlarni boshqa usullar bilan qanday hal qilishni ishonchli tarzda o'rganishingiz mumkin (Kramer usuli, matritsa usuli) tom ma'noda birinchi marta - juda qattiq algoritm mavjud. Ammo Gauss usulida o'zingizni ishonchli his qilish uchun siz "qo'lingizni to'ldiring" va kamida 5-10 ta o'nta tizimni hal qilishingiz kerak. Shuning uchun, birinchi navbatda, chalkashliklar, hisob-kitoblarda xatolar bo'lishi mumkin va bunda g'ayrioddiy yoki fojiali narsa yo'q.
Yomg'irli kuzgi ob -havo derazadan tashqarida .... Shuning uchun hamma uchun mustaqil echim uchun murakkabroq misol:
Misol 5
To‘rtta noma’lumli 4 ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching. 
Amalda bunday vazifa unchalik kam emas. O'ylaymanki, hatto bu sahifani yaxshilab o'rgangan choynak ham, bunday tizimni hal qilish algoritmi intuitiv ravishda tushunarli. Asosan, hamma narsa bir xil - faqat ko'proq harakatlar mavjud.
Darsda tizimning yechimlari bo'lmagan (mos kelmaydigan) yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan holatlar ko'rib chiqiladi. Umumiy yechim bilan mos kelmaydigan tizimlar va tizimlar... Gauss usulining ko'rib chiqilgan algoritmi ham u erda o'rnatilishi mumkin.
Omad tilayman!
Yechimlar va javoblar:
2-misol:
Yechim
:
Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz.
Elementar o'zgarishlar amalga oshirildi:
(1) Ikkinchi qatorga –2 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi. Uchinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi.
Diqqat!
Uchinchi qatordan birinchisini olib tashlash jozibador bo'lishi mumkin, men ayirishni juda tavsiya etmayman - xatolik xavfi sezilarli darajada oshadi. Faqat qo'shing!
(2) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Ikkinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi.
Eslatma
"qadamlarda" bizni nafaqat bitta, balki -1 ham qoniqtiradi, bu yanada qulayroq.
(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 5 ga ko'paytirildi.
(4) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Uchinchi qator 14 ga bo'lingan.
Teskari:
Javob
:
.
Misol 4:
Yechim
:
Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni bosqichma -bosqich shaklga keltiramiz:
Amalga oshirilgan konversiyalar: (1) ikkinchisi birinchi qatorga qo'shildi. Shunday qilib, kerakli birlik yuqori chap "qadam" da tashkil etilgan. (2) Ikkinchi qatorga 7 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi, uchinchi qatorga 6 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi.
Ikkinchi qadam yomonlashmoqda , "Nomzodlar" bu 17 va 23 raqamlari va bizga bitta yoki -1 kerak. O'zgarishlar (3) va (4) kerakli birlikni olishga qaratilgan bo'ladi (3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi. (4) Ikkinchi qatorga uchinchi qator qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi. Ikkinchi bosqichda kerakli narsa olinadi . (5) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shilib, 6 ga ko'paytiriladi. (6) Ikkinchi qator -1 ga ko'paytirildi, uchinchi qator -83 ga bo'lindi.
Teskari:
Javob :
5 -misol:
Yechim
:
Keling, tizimning matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
Amalga oshirilgan konversiyalar: (1) Birinchi va ikkinchi qatorlar almashtiriladi. (2) -2 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi. Uchinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi. -3 ga ko'paytirilgan birinchi qator to'rtinchi qatorga qo'shildi. (3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 4 ga ko'paytirildi. Ikkinchi qator to'rtinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi. (4) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi. To'rtinchi qator 3 ga bo'lingan va uchinchi qator o'rniga qo'yilgan. (5) To'rtinchi qatorga uchinchi qator -5 ga ko'paytirildi.
Teskari:
Javob :